备战2023年中考：2023年安徽省滨湖寿春中考数学一模试卷重点试题讲解（含答案）

2023年安徽省滨湖寿春中考数学一模试卷重点试题讲解

东方岳（2023.04.05）

1.（滨湖寿春一模-9）关于x的一元二次方程新定义：若关于x的一元二次方程：a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+n=0称为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0就是“同族二次方程”.现在有关于x的一元二次方程：2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.那么代数式-ax2+bx+2015取的最大值是（    ）

A.2020  B.2021  C.2022  D.2023

简解：∵2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”

∴(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2) (x-1)2+1=(a+2)x2-2(a+2)x+a+3

∴

解得，

∴-ax2+bx+2015=-5x2-10x+2015=-5(x+1)2+2020

【考点】本题考查了配方法的应用，利用新定义构造模型建立方程组求解，弄清题中新定义是解本题的关键.

2. （滨湖寿春一模-10）如图，四边形ABCD是矩形，CE平分∠BCD，AE⊥CE，EA，CB的延长线交于点F，连接DE，连接BD交CE于点G.下列结论错误的是（    ）

A.图中共有三个等腰直角三角形  B.∠DGC=∠EBC

C.AB·AD=CG·CE     D. △CDG∽△CBE

简证：如图，∵△FEB≌△CED（ASA）

∴△ABF，△CEF，△BED为等腰直角三角形，故A正确；

∵△CDG∽△CEB，故B正确，D错误

又，

∴AB•AD=BC•CD=CG•CE，故C正确

∴结论错误的是D

【考点】本题考查等腰直角三角形性质，共点顶点等腰旋转模型，四点共圆导相似，另外相似三角形字母要严格对应等知识点.

3. （滨湖寿春一模-14）已知抛物线y=ax2+bx-a，其中a为实数.

（1）若抛物线经过点（1，4），则b=_______；

（2）该抛物线经过点A（2，-a），已知点B（1，-a），C（2，2），若抛物线与线段BC有交点，则a的取值范围为___________.

简解：（1）y=ax2+bx-a过点（1，4），则b=4；

（2）y=ax2+bx-a过A（2，-a），则b=-2a

∴y=ax2-2ax-a=a(x-1)2-2a

1）当a>0，x=1时，-a>-2a

∴点B在顶点上方

x=2时，-a<2

∴点C在抛物线上方

故抛物与线段BC无交点

2）当a<0，x=1时，-2a>-a

∴顶点在点B上方

x=2，-a≤2时，抛物线与线段有交点

故有交点时，-2≤a<0

【考点】本题考查了二次函数与系数关系，重点是画图，根据函数图象分类讨论求解.

4. （滨湖寿春一模-20）Rt△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径 的圆与BC相切于点D.

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）连接DE，若AB=2BD，求cos∠CDE的值.

（1）简证：如图，连接OD，∵⊙O与BC相切

∴OD⊥BC

∴∠ODB=∠C=90°

∴OD//AC

∴∠CAD=∠ODA

又，OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD=∠OAD

∴AD平分∠BAC

（2）如图，连接DF，

∵AF为圆O的直径

∴∠ADF=90°

∴∠DAF+∠AFD=90°

又，∠FDB+∠ODF=90°，∠ODF=∠OFD

∴∠DAB=∠FDB，又，∠B=∠B

∴△DBF∽△ABD

∴

又，∠CDE+∠CED=90°，∠CED=∠AFD

∴∠CDE=∠FAD

可令，DF=a，则AD=2a

解△ADF得，AF=a

∴cos∠CDE=cos∠FAD=

【考点】本题考查了切线性质，弦切角判定，角平分线定理等，利用相似和勾股解形求三角函数值，综合性强.

5. （滨湖寿春一模-23）如图1，平行四边形ABCD中，AB=7，BC=10，点P是BC边上的点，连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP.

（1）如图1，连接CQ，若CQ//AP，求BP的长；

（2）如图2，当点P，Q，D三点共线时，恰有∠DCQ=∠DPC，求BP的长；

（3）如图3，若点P在边BC上运动的过程中，点Q到CD的最短距离为1，求BP的长.

  图1      图2       图3

（1）简解：∵CQ//AP

∴∠APQ=∠PQC，∠APB=∠PCQ

由对称性知，∠APB=∠APQ，BP=QP

∴∠PQC=∠PCQ

∴CP=QP=BP=5

（2）简解：∵四边形ABCD为平行四边形

∴CD=AB=7，BC//AD

∴∠APB=∠DAP

又，由对称性知，∠APB=∠APD

∴∠DAP=∠APD

∴DP=AD=10

又，∠DCQ=∠DPC，∠CDQ=∠PDC

∴△CDQ∽△PDC

∴，即，∴DQ=，∴BP=DQ-DQ=10-=

（3）简解：延长AQ交CD于H，延长AP交DC的延长线于G

当AH⊥CD，且QH=1时，点Q到CD的最短距离为1

此时，AH=AQ+QH=8

解△ADH得，DH=6，CH=1

又，∠G=∠BAP=∠HAG

∴GH=AH=8，CG=GH-CH=7

∴AB=CG

又，∠B=∠GCP

∴△ABP≌△GCP（SAS）

∴BP=CP=5

【考点】本题是平行四边形综合题，考查了点到线垂线段最短，相似、勾股解形，三角形全等、平行导角等重要知识点，综合性强，有一定难度.