江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题（含答案）

这是一份江西省宜春市2023届高三模拟考试数学（文）试题（含答案），共13页。试卷主要包含了若则，在Rt中，等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.回答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合或，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.非零向量满足与的夹角为，则在上的投影为（ ）
A.1 B. C.-1 D.
4.已知实数满足约束条件则的最大值是（ ）
A.3 B. C. D.
5.从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.若则（ ）
A. B.
C. D.
7.在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数只有1为公约数，则称互质，对于正整数是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，.记为数列的前项和，则（ ）
A. B. C. D.
8.函数的图象关于直线对称，将的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合，下列说法正确的是（ ）
A.函数图象关于直线对称
B.函数图象关于点对称
C.函数在单调递减
D.函数最小正周期为
9.在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，是双曲线的左右焦点，点，分别在两条渐近线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C.2 D.
11.已知数列满足，若数列的前项和，对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，且，则的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则到点的距离为2的点的坐标可以是__________.（写出一个满足条件的点就可以）
14.已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是__________.
15.已知某线路公交车从6：30首发，每5分钟一班，甲､乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6：30-7：00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6：45-7：15任意时刻随机到达，那么甲､乙两人搭乘同一辆公交车的概率是__________.
16.如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为的中点时，平面；
②存在点，使得；
③直线与所成角的余弦值的最小值为；
④三棱锥的外接球的表面积为.
其中正确的结论序号为__________.（填写所有正确结论的序号）
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选做题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
18.（12分）
如图1，在直角梯形中，，点，分别是边的中点，现将沿边折起，使点到达点的位置（如图2所示），且.
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
19.（12分）
为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：
（1）由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.
（2）某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：
（i）求这200位竞拍人员报价的平均数和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i）中所求的样本平均数及方差估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.
附：，若，则，.
20.（12分）
已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若方程有两个不同的实数根且，证明：.
21.（12分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左､右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xy中，曲线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.
（1）求曲线的普通方程；
（2）若直线与曲线有两个不同公共点，求的取值范围.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数满足，求证：.
宜春市2023届高三年级模拟考试数学（文）答案
一､选择题.
二､填空题.
13.上的任意一点都可以 14. 15. 16.①④
三､解答题.
17.（1）证明：在中，，
由正弦定理得，
又，
因为
所以
所以又
所以，且
所以，故.
（2）由（1）得，
所以，
因为
所以
当且仅当即
且当且仅当时等号成立，
所以当时，的最小值为.
18.（1）证明：由题意，连接，因为，
是边的中点，所以，则
又是边的中点，则，在折起中.
又，所以，
又平面平面，
故平面，又平面，所以平面平面.
（2）由（1）中取的中点，连接，
由（1）可知，平面，所以，
而，
所以，
同理，
所以
所以是等腰三角形，
所以，
又，即，
所以
即点到平面的距离为.
19.（1），
，
，
关于的线性回归方程
2023年5月份对应，所以
所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.
（2）（i）由题意可得：
（ii）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为万元，
根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为
根据假设报价可视为服从正态分布，
令，由于，
，所以得
所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元.
20.解：（1）由题意可知：函数的定义域为：.
则，令，解得.
当，函数单调递减；
当，函数单调递增.
所以为极小值点，且.
所以函数的最小值为-1.
（2）根据题意可知：，根据（1）设，
构造函数.
，所以在上单调递减.
则有，也即.
因为，所以，也即
因为，由（1）可知在上单调递增，
所以，也即.由已知，所以.
21.（1）解：依题意得
则
则所以椭圆的方程为
（2）直线
设
则
则中点同理可算
①当直线斜率存在时，设直线点在直线上
则
易知为方程的两个根，
则得
所以直线则直线恒过点
②当直线的斜率不存在时，由对称性可知由
不妨设所以
直线过根据①②可知，
直线恒过点
因为的面积
的面积
所以.
22.（1）因为
则曲线的普通方程为
（2）则由
得得
有两个不等正根
则
23.解：（1）则
或则
或则
所以原不等式解集为
（2）
所以
因为
所以成立
月份
2022.12
2023.1
2023.2
2023.3
2023.4
月份编号
1
2
3
4
5
竞拍人数（万人）
1.7
2.1
2.5
2.8
3.4
报价区间（万元）
频数
20
60
60
30
20
10
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
A
B
A
A
D
C
C
A
C
B