高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题23 极化恒等式 （新高考地区专用）

这是一份高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题23 极化恒等式 （新高考地区专用），共10页。试卷主要包含了明确模拟练习的目的，查漏补缺，以“错”纠错，严格有规律地进行限时训练，保证常规题型的坚持训练，注重题后反思总结等内容，欢迎下载使用。
高考二轮数学复习策略第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。  专题23   极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决.【典型例题】例1   如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，
则的值是            ．     【答案】【解析】设，由极化恒等式得，解之得可得，，因此，，因此．　　21*cnjy*co点评：     紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.例2   已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为　  　．【答案】【分析】本题的难点在于如何将“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.【解析】设，则，在上所以如图，取中点为，由极化恒等式得在，由余弦定理得所以当，即为中点时，所以的最小值，此时为中点.     例3  如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则·的取值范围是       .   【答案】【分析】取AB的中点设为O，则，然后利用平几知识确定PO的取值范围，代入即可.【解析】取AB的中点设为O，则，当O、P、C共线时， PO取得最小值为；当P 与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2，所以的取值范围是.例4   半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（       ）A.             B.          C.           D. 【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可.【解析】由得在平行四边形中，，故易知四边形是菱形，且设四边形对角线的交点为E由极化恒等式得所以因为是圆内一点，所以所以，即，选A.      例5     在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝       ．【答案】【分析】取MN的中点P，由极化恒等式将“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得∵的最小值为    ∴由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小.如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA=所以cos∠ACB＝cos（150o －A）=.     例6   已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（  ）A．    B．    C．     D．    【答案】D【解析】设中点为，则，又因为，所以，故选：D.
【巩固练习】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________.    2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为             .3.若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________.4.已知平面向量a，b，e满足|e|＝1，a·e＝1，b·e＝－2，|a＋b|＝2，那么a·b的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是        ．6.已知单位向量，，满足，则的值为（    ）A． B． C． D．17. 已知，且向量与的夹角为120°，又，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．8.已知平面向量满足，，，，那么的最小值为________．9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．10.在中，，若是所在平面内的一点，且，则的最大值为_____.11.已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD的边长为1，中心为O，直线l经过中心O，交AB于点M，交CD于点N，P为平面上一点，若2＝λ＋(1－λ)，则·的最小值为__________.13.设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当·取得最小值时，sin∠PAC的值为________．14.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，AB＝2，若点P满足·＝2，则OP的取值范围为________．15.在△ABC中，E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则·＋2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________．
【答案与提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由得，.2.【答案】【提示】设矩形的对角线交点为O，由，得，.3.【答案】【解析】根据极化恒等式得：，故，所以的最小值为．4.【答案】－【提示】 由a·e＝1，b·e＝－2得: a·e －b·e＝3，即（a－b）·e＝3，|a－b|cos＝3a·b=[|a＋b|2－|a－b|2]≤－5.【答案】【提示】取BC的中点为D，则，所以因为BC边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值．6.【答案】A【解析】∵，∴，如图，   设中点为，则，且，∴三点共线，，，，∴为等腰三角形，∴，∴.故选：A.7. 【答案】C【解析】连结，则设的中点为，由，易知，所以故，故选：C8.【答案】【解析】由，得，即      又（其中为向量与的夹角）      所以      所以.9.【答案】10.【答案】【提示】方法同上.11.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【解析】如图，取OB的中点D，连接PD，      则·＝PD2－OD2＝PD2－，即求PD的最小值．由图可知，当PD⊥OB时，PDmin＝，则·的最小值是－.