高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题37 过曲线上一点的切线、切点弦 （新高考地区专用）

高考二轮数学复习策略

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。

2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。

3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。

4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。

5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。

6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

专题37   过曲线上一点的切线、切点弦

【方法点拨】

1. 已知为圆上的一点，则过点且与圆相切的直线方程是：；

2．已知为椭圆上的一点，则过点且与椭圆相切的直线方程是：；

3. 已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：.

说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，).

【典型题示例】

例1    过抛物线C：x2＝2py上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G(1，)，则p＝       ．

【答案】

【解析一】设，

则l1，l2的方程分别是，

由解得，，即

又因为△MPQ的重心为G(1，)

所以，解之得，故

将代入x2＝2py得.

【解析二】设

则PQ的方程为

由消x得

所以，（，）

又因为△MPQ的重心为G(1，)

所以，解之得，.

 例2   已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M（－1，－1）满足·＝0，则｜AB｜＝     （     ）

   A．        B．           C．5               D．6

【答案】C

【分析】（一）本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.

（二）将·＝0直接代入坐标形式，列出关于A，B中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A，B中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，·＝0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单.

【解析一】易知p=2，y2＝4x

由阿基米德三角形得AB为切点弦

所以AB方程是－y＝2（x－1），即y＝－2 x＋2

代入y2＝4x消y得：x2－3x＋1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2=3

∴，答案选C.

【解析二】易知p=2

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=1，y1y2=－4，，

∵·＝0

∴，化简得

设A、B中点坐标为（x0，y0），则              ①

又由直线的斜率公式得，

∴，即     ②

由①、②解得

∴，答案选C.

例3  在平面直角坐标系 xoy 中， 已知圆C :(x  2)2  (y  2)2 ＝ 20 与x 轴交于 A 、 B（点 A在点 B的左侧），圆C 的弦 MN 过点T(3，4)，分别过 M、N 作圆C 的切线，交点为 P，则线段 AP 的最小值为 　　 ．

【答案】

【分析】设出点P坐标，根据切点弦求出点P轨迹方程，再利用点线距以垂线段最小求解.

【解析】设点P坐标为(a，b )

则切点弦MN的方程为：(a  2) (x  2)  (b  2) (y  2)＝ 20

又因为弦 MN 过点T(3，4)，

故(a  2) (3  2)  (b  2) (4  2)＝ 20，即a 2b  26＝0

即点P的轨迹方程是x 2y  26＝0

点A（－2,0）到该直线的距离为，

因为定点到直线上任意一点间的距离中垂线段最小

所以点A（－2,0）到该直线的距离即为AP 的最小值.

例4  如图，在平面直角坐标系中，直线与椭圆、圆都相切，切点分别是点、，则当线段长度最大时，圆的半径的值为 　     　 ．

【答案】

【分析】先设出点坐标，写出直线的方程，再利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于，布列约束等式，最后，利用勾股定理列出关于的目标函数，求出最值及取得最值时的值．

【解析】设点坐标为（）

    则过点的椭圆的切线，即直线的方程为：，

即

又因为直线与圆相切，所以，且

在中，

而，当且仅当时，“=”成立，此时，的最大值为1

所以当线段长度最大时，圆的半径的值为．

【巩固训练】

1. 已知圆，直线，为直线上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点

A．  B．    C．   D．

2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，

AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为      ．

3.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___ _ _  __.

4. 已知为椭圆上的一个动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，到椭圆在点处的切线为，若，则=　　 ．

5. 已知点P在直线上，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB距离的最大值为（    ）

A． B． C．2 D． 

【答案与提示】

1.【答案】A

【解析】设

则直线AB的方程是，即

令，解得，所以直线AB过定点 .

2.【答案】

【提示】设A，则直线PQ的方程是，即

所以直线PQ过定点 .

则PQ长的最小值是过且平行于轴的弦，易得此时PQ，直径是其上界.

3.【答案】＋＝1

【提示】AB的方程是2x＋y－2＝0，令x=0，y＝2；令y=0，x＝1.故c＝2，b＝1.

4.【答案】

【提示】，切线方程：.

5.【答案】D

【解析】设，则直线AB的方程是，

即，当且，即，时该方程恒成立，

所以直线AB过定点N(1，1)，

点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，，

所以点M(3，2)到直线AB距离的最大值为.故选:D.