人教版高中数学选择性必修第一册第三章综合训练含答案

这是一份人教版高中数学选择性必修第一册第三章综合训练含答案，共19页。
第三章综合训练
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为(　　)
A.2 B.22
C.4 D.42
2.(2021广东东莞期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是(　　)
A.(0,2) B.(0,4)
C.(2,0) D.(4,0)
3.已知双曲线x29-y2m=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为(　　)
A.13 B.10 C.213 D.25
4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为(　　)
A.(x-1)2+y2=4
B.(x-1)2+y2=16
C.(x-2)2+y2=16
D.(x+2)2+y2=4
5.(2021陕西咸阳期末)设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积是7,则a+b=(　　)
A.3+7 B.9+7
C.10 D.16
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　　)
A.13 B.223
C.23 D.23
7. 我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(xb>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为(　　)


A.72,1 B.3,1
C.5,3 D.5,4
8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(　　)
A.a2=132 B.a2=13
C.b2=12 D.b2=2
二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.当α∈π4,3π4时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是(　　)
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
10.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为x216-y29=1的是(　　)
A.离心率为54
B.双曲线过点5,94
C.渐近线方程为3x±4y=0
D.实轴长为4
11.(2021北京通州期中)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的方程为x2-2xy=a(a>0),则下列关于曲线C的结论正确的是(　　)
A.曲线C关于y轴对称
B.曲线C关于原点对称
C.若点P(m,n)在曲线C上,则mn的取值范围是-12a,+∞
D.当00,设点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2是轴截面与x,y轴的交点,阴影部分是宝珠轴截面,其以曲线x2+y2=4为边界,F1,F2在宝珠珠面上,△F0F1F2为等边三角形,则以下命题中正确的是(　　)


A.椭圆C1的离心率是217
B.椭圆C2的离心率大于椭圆C1的离心率
C.椭圆C2的焦点在y轴上
D.椭圆C2的长短轴之比大于椭圆C1的长短轴之比
三、填空题.
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=　　　　　. 
14.(2021宁夏银川期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角,则满足条件e的范围是　　　　　　. 
15.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为　　　　　　　　,|AB|=　　　　　. 

16.数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与(x-a)2+(y-b)2相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程:|x2+8x+20-x2-8x+20|=4的解为　　　　　. 
四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设A,B分别是双曲线x225-y220=1两条渐近线上的动点,且|AB|=25,设O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB,求动点P的轨迹方程.







18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23,且过点P3,12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,求直线l的方程.

19.(2021四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.














20.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A点在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过(4,0)点的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.


















21.从椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围.













22.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为22,点(2,2)在C上.
(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”方程;
(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1⊥l2,与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N,证明:弦长|MN|为定值.












第三章综合训练
1.D　由椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2)可得λ=2,
即椭圆方程为x22+y28=1,则a=22,
由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.
2.C　因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).
故选C.
3.C　由题意得m3=23,∴m=4,
则双曲线的焦距为29+m=213.
4.A　根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,
则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,
则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.
故选A.
5.A　由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则
12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,
∴a=3,c=4.
∴b=c2-a2=7.
∴a+b=3+7.
故选A.
6.B　设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由y=k(x+2),y2=8x,
得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4.①
根据抛物线的定义得,
|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=223.
7.A　|OF2|=b2-c2=12,
|OF0|=c=3|OF2|=32,
∴b=1,∴a2=b2+c2=74,
得a=72,即a=72,b=1.
8.C　由题意,知a2=b2+5,
因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,
双曲线的一条渐近线方程为y=2x,
联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,
所以直线截椭圆的弦长d=5×2a4-5a25a2-5=23a,
解得a2=112,b2=12.
9.ACD　当α∈π4,3π4时,sin α∈22,1,cos α∈-22,22,
可得方程x2sin α+y2cos α=1表示的曲线可以是椭圆(sin α>0,cos α>0),
也可以是双曲线(sin α>0,cos α0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),
可得c=5,如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,A正确;
c=5,如果双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2-8116b2=1,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,所以B正确;
c=5,如果渐近线方程为3x±4y=0,可得ba=34,a2+b2=25,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,所以C正确;
c=5,如果实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24-y221=1,所以D不正确.
故选ABC.
11.BD　对于A,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),将(-x,y)代入x2-2xy=a,可得x2+2xy=a,故选项A错误;
对于B,点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),将(-x,-y)代入x2-2xy=a,可得x2-2xy=a,故选项B正确;
对于C,若点P(m,n)在曲线C上,则m2-2mn=a,
若m=0,则a=0不成立,
所以m≠0,故n=m2-a2m,
则mn=mm2-a2m=m22-a2>-a2,故选项C错误;
对于D,联立方程组x2-2xy=a,2x-y-a=0,
可得3x2-2ax+a=0,
当0c>0,可得半椭圆C1的焦点在x轴上,即F0为右焦点,则半椭圆C2的焦点在y轴上,且|d|=b,由宝珠的轴截面以曲线x2+y2=4为边界可知,其形状是一个圆,半径R=2,可得|F1F2|=4,即有d2-c2=4,
由△F0F1F2为等边三角形可得|OF0|=23,
则c=23,
即有a2-b2=12,b2-12=4,即b=4,a=27,
可得椭圆C1的离心率是2327=217,故A正确;
由椭圆C2的离心率为16-124=1245°,
所以P0O