人教版高中数学选择性必修第一册第三章测评含答案

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第三章测评
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则a的值为(　　)
A.8 B.-4 C.-8 D.-16
2.(2021辽宁沈阳期中)方程x1-y2+y1-x2=1的对应曲线图形是(　　)

3.若双曲线x2a2-y24=1(a>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则a=(　　)
A.233 B.433 C.32 D.3
4.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(　　)
A.有且只有一条 B.有且只有两条
C.有且只有三条 D.有且只有四条
5.在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线x216-y29=1上,则sinCsinA-sinB=(　　)
A.53 B.±53 C.±54 D.-54
6.(2021吉林长春月考)已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,则|FM|等于(　　)
A.2 B.433 C.23 D.4
7.(2021安徽合肥期中)19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在椭圆x23+y2=1的蒙日圆上,则b的值为(　　)
A.±1 B.±5
C.±21 D.±25
8. (2021江苏泰州期中)如图,椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e,F是Γ的右焦点,点P是Γ上第一象限内任意一点.且sin∠POF0),FQ·OP=0,若λ>e,则离心率e的取值范围是(　　)


A.0,62 B.63,1
C.22,1 D.0,22
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021湖南长沙期中)已知椭圆C的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆C的标准方程可能为(　　)
A.x24+y29=1 B.x29+y25=1
C.x29+y24=1 D.x25+y29=1
10.(2021辽宁大连期中)已知F是双曲线C:x2a2-y2a2=1(a>0)的右焦点,点P是双曲线上任意一点,则∠POF的大小可能是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.150°
11.某同学在研究教材中一例问题“设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-49,求点M的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为-49”拓展为“斜率之积为常数k(k≠0)”之后,进行了探究.
则下列结论正确的有(　　)
A.k5)的离心率为e=23,求椭圆C的方程;
(2)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的焦距为42,渐近线方程之一为y=x,求双曲线C的方程.











18.(12分)(2021陕西咸阳期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程为x=-2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l:y=x-2与抛物线C交于A,B两点,求|AB|.








19.(12分)(2021浙江绍兴期中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为8,离心率e=54.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线l与双曲线C相交于P,Q两点,弦PQ的中点坐标为A(8,3),求直线l的方程.



















20. (12分)(2021宁夏银川期中)如图,把半椭圆Γ1:x2a2+y2b2=1(x≥0)与圆弧Γ2:(x-1)2+y2=a2(x0).


(1)若T是抛物线C的焦点,求直线l的方程;
(2)若|TE|2=|PA|·|PB|,求t的值.








22.(12分)(2021上海虹口期末)已知椭圆Γ:x212+y28=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,交y轴于点P(0,t).
(1)若F1P⊥F2P,求t的值.
(2)若点A在第一象限,满足F1A·F2A=7,求t的值.
(3)在平面内是否存在定点Q,使得QA·QB是一个确定的常数?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.



第三章测评
1.D　因为抛物线x2=ay(a≠0)的焦点F0,a4在直线y=2x-4上,所以a4=-4,即a的值为-16.
2.A　由方程x1-y2+y1-x2=1,可知x∈[-1,1],y∈[-1,1],
显然x2p=2.
所以符合条件的直线有且只有两条.
5.C　由双曲线的方程x216-y29=1可得a2=16,b2=9,
所以c2=a2+b2=25,
即焦点坐标恰好为A,B的坐标,
所以|AB|=10,|BC|-|AC|=±2a=±8,
由正弦定理知sinCsinA-sinB=|AB||BC|-|CA|=10±8=±54.
6. D　如图所示,由题意得焦点坐标F(1,0),准线方程x=-1,


设M的坐标y24,y,∠xFM=60°,
∴y24>1,
∴|y|=3y24-1,整理得3y2-4|y|-43=0,
解得|y|=23,又∠xFM=60°,∴|FM|=23sin60°=4.
7.C　由椭圆的定义知,x23+y2=1的蒙日圆r2=3+1=2,
所以蒙日圆为x2+y2=4.蒙日圆的半径r1=2.
因为圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在蒙日圆上,所以两圆相切.
由已知r2=3,
所以22+b2=r1+r2=5,
解得b=±21.
8.B　因为点P是Γ上第一象限内任意一点,故∠POF为锐角,
又sin∠POF