2022年广东省深圳市龙岗区中考数学调研试卷

这是一份2022年广东省深圳市龙岗区中考数学调研试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省深圳市龙岗区中考数学调研试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列各数中属于无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
2．（3分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　）
A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10﹣4 D．39×10﹣3
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝8a3 D．a3÷a＝a3
4．（3分）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
6．（3分）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）

A．25° B．50° C．65° D．75°
8．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．同旁内角互补
B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大
C．若∠α＝72°55′，则∠α的补角为107°45'
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
9．（3分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．（3分）因式分解：8a3﹣2ab2＝　 　．
12．（3分）一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是　 　．
13．（3分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　 　．

14．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是 　 　．

15．（3分）在矩形ABCD中，点E为AD的中点，点F为CD的中点，连接BF、CE交于点G，若AB＝4，∠DCE＝2∠CBF，则线段BG的长为　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（5分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
17．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
18．（8分）2020年3月，中共中央，国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周运动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表．

（1）这次调查活动共抽取 　 　人；
（2）m＝　 　，n＝　 　；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
19．（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．

21．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

22．（10分）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 　 　．
（2）探究与证明：
将正方形的CEGF绕点C顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H，若AG＝4，GH，则BC＝　 　．


2022年广东省深圳市龙岗区中考数学调研试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）下列各数中属于无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：3.14，，是有理数，
是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．（3分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　）
A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10﹣4 D．39×10﹣3
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
【解答】解：39000＝3.9×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（2a）3＝8a3 D．a3÷a＝a3
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B、a2•a3＝a5，故此选项不合题意；
C、（2a）3＝8a3，故此选项符合题意；
D、a3÷a＝a2，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念，可得答案．
【解答】解：A、是中心对称图形，故A错误；
B、是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，故C正确；
D、是中心对称图形，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．（3分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数/册
1
2
3
4
5
人数/人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【分析】找到出现次数最多的数据，即为众数；求出第10、11个数据的平均数即可得这组数据的中位数，从而得出答案．
【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为3（册），
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出题目中等量关系，列出相应的方程组．
7．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）

A．25° B．50° C．65° D．75°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出∠AOC＝2∠ABC是解此题的关键．
8．（3分）下列命题正确的是（　　）
A．同旁内角互补
B．一组数据的方差越大，这组数据波动性越大
C．若∠α＝72°55′，则∠α的补角为107°45'
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据方差的意义对B进行判断；根据补角的定义对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A选项错误；
B、一组数据的方差越大，这组数据波动性越大，所以B选项正确；
C、若∠α＝72°55′，则∠α的补角为107°5'，所以C选项错误；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9．（3分）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据点P运动路径分段写出△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数关系式即可．
【解答】解：∵BC∥AD，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵∠PEC＝∠D＝90°，
∴△PCE∽△CAD，
∴，
∵AD＝3，CD＝4，
∴AC5，
∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，
PEx，
CEx，
∴yPE•CEx2，
当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，
PE＝CD＝4，
CE＝8﹣x，
∴yPE•CE4×（8﹣x）＝16﹣2x，
综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数和二次函数的性质，熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED＝EH＝EG、∠DAE＝∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD＝AH、CG＝CH，设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，由AC＝10可得x＝2，即BD＝DE＝2、AD＝4，再证△ADF∽△ABC可得DF，据此得出EF＝DF﹣DE．
【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，

∵EF∥BC、∠ABC＝90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵，
∴△DAE≌△HAE（AAS），
∴AD＝AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG＝CH，
设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，
∵AC10，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
解得：x＝2，
∴BD＝DE＝2，AD＝4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，即，
解得：DF，
则EF＝DF﹣DE2，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．（3分）因式分解：8a3﹣2ab2＝　2a（2a+b）（2a﹣b）　．
【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：8a3﹣2ab2＝2a（4a2﹣b2）
＝2a（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．（3分）一个不透明的布袋中只装有红球和白球两种球，它们除颜色外其余均相同．若白球有9个，摸到白球的概率为0.75，则红球的个数是　3　．
【分析】设红球的个数是x，根据概率公式列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：设红球的个数是x，根据题意得：
0.75，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
答：红球的个数是3；
故答案为：3．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以E，F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP＝3，则点P到BD的距离为　3　．

【分析】首先结合作图的过程确定BP是∠ABD的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可．
【解答】解：结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A＝90°，AP＝3，
∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，
故答案为：3．
【点评】考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分∠ABD．
14．（3分）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是 　3　．

【分析】过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，），可表示出BC和DC的长度，又S△BCD8，即可求出k的值．
【解答】
解：过点A作AE∥y轴，交BC与点E，设点A（a，）则B（﹣a，），
∴BE＝2a，
∵△ABC是等腰三角形，底边BC∥x轴，CD∥y轴，
∴BC＝4a，
∴点D的横坐标为3a，
∴点D的纵坐标为，
∴CD，
∵S△BCD8，
∴，
∴k＝3，
故答案为3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出BC和CD的长度是解决本题的关键．
15．（3分）在矩形ABCD中，点E为AD的中点，点F为CD的中点，连接BF、CE交于点G，若AB＝4，∠DCE＝2∠CBF，则线段BG的长为　　．

【分析】方法一：如图，延长CE交BA的延长线于M．在BC上取一点N，使得BN＝FN，连接FN．设FN＝BN＝x，CN＝y．构建方程组求出x．y，利用勾股定理求出BF，再利用平行线分线段成比例定理证明FG：BG＝FC：BM＝1：4即可解决问题．
方法二：延长BF交AD的延长线于T，设AE＝ED＝a，则BC＝DT＝2a，证明CG＝CF＝2，利用勾股定理求出BT，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长CE交BA的延长线于M．在BC上取一点N，使得BN＝FN，连接FN．设FN＝BN＝x，CN＝y．
∵NF＝NB，
∴∠NBF＝∠NFB，
∴∠FNC＝∠NBF+∠NFB＝2∠NBF，
∵∠DCE＝2∠NBF，
∴∠FNC＝∠DCE，
∵∠FCN＝∠D＝90°，
∴△FNC∽△ECD，
∴，
∵点E为AD的中点，点F为CD的中点，
∴CF＝2，DEADAB（x+y），
∴，
∴y（x+y）＝16 ①，
在Rt△CFN中，则有x2＝y2+4 ②，
由①②解得，
∴BC＝x+y＝6，
在Rt△BCF中，BF2，
∵∠EAM＝∠D＝90°，AE＝ED，∠AEM＝∠CED，
∴△AEM≌△DEC（ASA），
∴AM＝CD，
∵CD＝2CF，AB＝CD＝AM，
∴BM＝4CF，
∵CF∥BM，
∴，
∴BGBF，
方法二：延长BF交AD的延长线于T，设AE＝ED＝a，则BC＝DT＝2a，

设∠CBF＝α，则∠ECD＝2α，∠BCG＝90°﹣2α，
∴∠CGF＝∠GBC+∠GCB＝90°﹣α，
∵∠CFB＝90°﹣α，
∴CF＝CG＝DF＝2，
∵BC∥ET，
∴EG：GC＝ET：BC＝3：2，
∴EG＝3，
∴CE＝5，DE3，
∴AT＝4a＝12，
∴BT4，
∵，
∴BGBT，
故答案为．

【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（5分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1
＝2﹣1+3﹣4
＝0．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
17．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．
【分析】一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
【解答】解：
解不等式①，x＞﹣3，
解不等式②，x≤2，
∴﹣3＜x≤2，
解集在数轴上表示如下：

∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【点评】本题考查了不等式的解集，正确理解数轴上不等式解集的意义是解题的关键．
18．（8分）2020年3月，中共中央，国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周运动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表．

（1）这次调查活动共抽取 　200　人；
（2）m＝　86　，n＝　27　；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
【分析】（1）根据一周劳动次数一次以下的人数和所占的百分比，求出抽取的总人数；
（2）用总人数乘以3次的人数所占的百分比求出m，再用4次及以上的人数除以总人数即可求出n；
（3）用总人数乘以2次的人数所占的百分比求出2次的人数，从而补全统计图；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出该校一周劳动4次及以上的学生人数．
【解答】解（1）20÷10%＝200（人），
故答案为：200；

（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，n＝27，
故答案为：86，27；

（3）200×20%＝40（人），
补全条形统计图如图所示：


（4）3000×27%＝810（人），
答：估计该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．
（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；
（2）求AB的长度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73）

【分析】（1）利用正切函数即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝120，AB＝CF，在△BEF中利用正切函数即可求得EF，进而即可求得AB＝CF＝CE﹣EF≈243米．
【解答】解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），
在Rt△ACD中，tan∠ADC，
∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120120（m），
答：无人机的高度AC是120米；

（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，
∴BF＝AC＝120，AB＝CF，
在Rt△BEF中，tan∠BEF，
∴EF276.8（m），
∵CE＝8×（15+50）＝520（m），
∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），
答：隧道AB的长度约为243米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．
20．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，AB＝6，求阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接OD，求出OD∥AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出OD＝2，求出OB＝4，得出∠B＝30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．
【解答】解：（1）直线BC与⊙O的切线，理由如下：
连接OD，如图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝6﹣r，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
∴r2+（2）2＝（6﹣r）2，
解得：r＝2，
∴OB＝4，OD＝2，
∴ODOB，
∴∠B＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣∠B﹣∠ODB＝60°，
∴阴影部分的面积S＝S△ODB﹣S扇形DOF2 22．

【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
21．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

【分析】（1）由抛物线交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，设二次函数的交点式y＝a（x+1）（x﹣3），代入C（0，）可得解析式．
（2）由BE＝2OE，设OE为x，BE＝2x，由勾股定理得OE，BE，过点E作TG平行于OB，根据相似三角形的判定得△ETO∽△OEB，有相似比的性质得出3TE，解出E的坐标为（，），直线OE的解析式为y＝﹣2x，直线OE与抛物线于点D，联立方程可得D的坐标．
（3）根据，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，直线BC的解析式为yx，当x＝﹣1时，得F坐标为（﹣1，﹣2），设M（x，x2﹣x），MT（x）2，根据二次函数的性质得出，MTmax，即可解出的最值．
【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（0，）得：a•1•（﹣3），
解得：a，
∴y（x+1）（x﹣3）x2﹣x；
（2）∵BE＝2OE，
设OE为x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
x2+4x2＝9，
解得：x1，x2（舍），
∴OE，BE，
过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G，

∴△ETO∽△OEB，
∴，
∴OE2＝OB•TE，
∴TE，
∴OT，
∴E（，），
∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，
∵OE的延长线交抛物线于点D，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），
当x＝1时，y＝﹣2，
∴D（1，﹣2）；
（3）如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J，

∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴，
∵S1NB•MJ，S2NB•AH，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为yx，
当x＝﹣1时，y•（﹣1）2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
设M（x，x2﹣x），
∴MTx（x2﹣x）（x）2，
∴a0，
∴MTmax，
∴．
【点评】本题考查二次函数的应用，涉及到了勾股定理，二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度系数大，数形结合思想是解本题的关键．
22．（10分）如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 　　．
（2）探究与证明：
将正方形的CEGF绕点C顺时针方向旋转α（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H，若AG＝4，GH，则BC＝　2　．

【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；
（3）证明△AHG∽△CHA，由相似三角形的性质得出，设BC＝CD＝AD＝a，则ACa，求出a的值，则可得出答案．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，
∴EG＝EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为：；

（2）连接CG，

由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
cos45°、cos45°，
∴，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AGBE；

（3）由（2）知△BCE∽△ACG，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∵∠CGF＝45°，
∴∠AGC+∠CGF＝180°，
∴A、G、F三点共线．
∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC＝135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC＝∠BEC＝135°，
∴∠AGH＝∠CAH＝45°，
∵∠CHA＝∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC＝CD＝AD＝a，则ACa，
则由得，
∴AH，
则DH＝AD﹣AH，CHa，
∴，
∴，
解得：a＝2，即BC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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