2022年广东省深圳市罗湖区中考数学模拟试卷（3月份）

这是一份2022年广东省深圳市罗湖区中考数学模拟试卷（3月份），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省深圳市罗湖区中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（30分）
1．（3分）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（　　）

A．2 B． C． D．﹣2
2．（3分）将数1033000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.033×108 B．0.1033×108 C．1.033×109 D．0.1033×109
3．（3分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
5．（3分）小马虎做题很快，但经常不仔细思考，所以往往错误率很高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（　　）
A．（2x3）2＝2x6 B．a2•a3＝a6 C．±2 D．2x3•x2＝2x5
6．（3分）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0
7．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）
A．20 B．20
C． D．
8．（3分）已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝40°，则∠BAD的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③9a+3b+c＞0；
④c＜﹣3a；
⑤a+b≥m（am+b），
其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝4EF＝4，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝（　　）

A．2 B． C． D．
二、填空题（15分）
11．（3分）分解因式：2x2+4x+2＝　 　．
12．（3分）抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 　 　．
13．（3分）定义新运算“*”，规则：a*b，如1*2＝2，（）*．若x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1*x2＝　 　．
14．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝45°，BE⊥AD于点E，以B为圆心，BE为半径画弧，分别交AB，CB于点F，G，则图中阴影部分的面积为 　 　．（结果保留π）．

15．（3分）如图，正方形OABC中，A，C分别在x，y轴正半轴上，反比例函数y的图象与边BC，BA分别交于点D，E，且BD＝BE＝2，对角线AC把△ODE分成面积相等的两部分，则k＝　 　．

三、解答题（55分）
16．（9分）（1）解方程：．
（2）解不等式组．
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2．
18．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是6，求点P的坐标；
（3）当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为 　 　．

19．（8分）商场有甲、乙两种商品，卖出一件甲商品比卖出一件乙商品多赚40元，卖出甲商品20件比卖出乙商品30件少赚2000元．
（1）求甲、乙两种商品各卖出一件能赚多少钱；
（2）甲、乙两种商品共卖出100件，卖出乙商品数量不少于甲商品的四倍，求甲、乙两种商品总利润的最大值．
20．（8分）在⊙O中，弦CD平分圆周角∠ACB，连接AB，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAB，且B是CE的中点，⊙O的直径是，求DE的长．
（3）P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP，过点D作DH⊥BP于点H，请探究点P在运动的过程中，
的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
21．（8分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　 　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．

22．（9分）平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；
（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE＝2S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长．


2022年广东省深圳市罗湖区中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（30分）
1．（3分）如图，数轴上点A所表示的数的绝对值是（　　）

A．2 B． C． D．﹣2
【分析】观察数轴易知点A表示的数为﹣2，找到﹣2的绝对值即可．
【解答】解：由题易知点A表示的数为﹣2，
∵|﹣2|＝2，
故选：A．
【点评】本题考查数轴和绝对值，会求数轴上点表示数的绝对值是解题关键．
2．（3分）将数1033000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.033×108 B．0.1033×108 C．1.033×109 D．0.1033×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数1033000000用科学记数法表示为1.033×109．
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）一次函数y＝﹣x﹣2的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据一次函数y＝﹣x﹣2中k＝﹣1，b＝﹣2判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2中k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0，
∴此函数的图象经过三、二、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＜0时，函数图象经过三、二、四象限．
4．（3分）已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y中即可得到k的值．
【解答】解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y得k＝1×3＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
5．（3分）小马虎做题很快，但经常不仔细思考，所以往往错误率很高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（　　）
A．（2x3）2＝2x6 B．a2•a3＝a6 C．±2 D．2x3•x2＝2x5
【分析】根据积的乘方判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据算术平方根的定义判断C选项；根据单项式乘单项式判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝4x6，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝a5，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝2x5，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，单项式乘单项式，掌握am•an＝am+n是解题的关键．
6．（3分）若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1且k≠0
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣1，
所以k的取值范围为k≥﹣1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）
A．20 B．20
C． D．
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
8．（3分）已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠C＝40°，则∠BAD的度数是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠BOA，根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接OB，
∵∠C＝40°，
∴∠BOA＝2∠C＝80°，
∵OA＝OB
∴∠BAD（180°﹣80°）＝50°，
故选：C．

【点评】本题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②2a﹣b＝0；
③9a+3b+c＞0；
④c＜﹣3a；
⑤a+b≥m（am+b），
其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②∵x1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②不正确；
③由对称知，当x＝3时，函数值小于0，即y＝9a+3b+c＜0，
故③不正确；
④∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a＜﹣c，即c＜﹣3a，
故④正确；
⑤当x＝1时，y＝a+b+c值最大．
∴a+b+c≥am2+bm+c，
故a+b≥am2+bm，即a+b≥m（am+b），
故⑤正确．
故④⑤正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝4EF＝4，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】连接FG、FC，根据射影定理求出AF，根据勾股定理求出AD，证明△FAG∽△FDC，根据相似三角形的性质求出AG，求出DG．
【解答】解：连接FG、FC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵AF⊥DE，
∴AF2＝EF•DF＝4，
∴AF＝2，
∴AD2，
∵四边形FCDG是圆内接四边形，
∴∠FCD＝∠FGA，
∵AB∥CD，
∴∠FDC＝∠AEF，
∵∠BAD＝90°，AF⊥DE，
∴∠FAG＝∠AEF，
∴∠FDC＝∠FAG，
∴△FAG∽△FDC，
∴，即，
解得：AG，
∴DG＝AD﹣AG，
故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
二、填空题（15分）
11．（3分）分解因式：2x2+4x+2＝　2（x+1）2　．
【分析】根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：原式＝2（x2+2x+1）＝2（x+1）2，
故答案为：2（x+1）2．
【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再利用和的平方公式．
12．（3分）抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是 　（1，﹣1）　．
【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝2x2﹣3向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣1．
所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，﹣1）．
故答案是：（1，﹣1）．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
13．（3分）定义新运算“*”，规则：a*b，如1*2＝2，（）*．若x2﹣2x﹣3＝0的两根分别为x1，x2，则x1*x2＝　3　．
【分析】求出已知方程的解，代入原式再利用新定义计算即可得到结果．
【解答】解：方程x2﹣2x﹣3＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
则原式＝3*（﹣1）＝3或（﹣1）*3＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的性质及解法是解本题的关键．
14．（3分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝45°，BE⊥AD于点E，以B为圆心，BE为半径画弧，分别交AB，CB于点F，G，则图中阴影部分的面积为 　8﹣2π　．（结果保留π）．

【分析】根据题意和菱形的性质、勾股定理可以求得AE和BE的值，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABE的面积减去扇形FBE的面积的二倍，从而可以解答本题．
【解答】解：在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD＝45°，BE⊥AD，
∴AE＝BE，∠BEA＝90°，
∴BE＝AE
∴BE＝AE＝2，
∴图中阴影部分的面积是：[22−]×2＝（4﹣π）×2＝8﹣2π．
故答案为：8﹣2π．
【点评】本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）如图，正方形OABC中，A，C分别在x，y轴正半轴上，反比例函数y的图象与边BC，BA分别交于点D，E，且BD＝BE＝2，对角线AC把△ODE分成面积相等的两部分，则k＝　2+2　．

【分析】设AD与AC交于点F，OE与AC交于点G，先根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得，再根据CD∥AO，推△CDF∽△AOF，推比例线段求出，设OA＝a，根据同一条线段的长列等式求出a也就求出k．
【解答】解：如图所示，AD与AC交于点F，OE与AC交于点G，

∵四边形OABC是正方形，
∴∠B＝90°，∠BCA＝45°，
∵BD＝BE＝2，
∴∠BDE＝∠BED＝45°，DE＝2，
∴∠BDE＝∠BCA，
∴DE∥CA，
∴△OFG∽△ODE，
∴，
∵对角线AC把△ODE分成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∵CD∥AO，
∴△CDF∽△AOF，
∴，
设OA＝a，CD＝（1）a，
∵CD＝a﹣2，
∴a﹣2＝（1）a，
∴a＝2，
即OA＝BC＝2，
∴CD＝22，
∴D（，2），
∵点D在反比例函数上，
∴k2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了反比例比例系数k的几何意义、正方形的性质、相似三角形的性质，掌握这几种性质的综合应用，由平行推相似，推比例线段是解题关键．
三、解答题（55分）
16．（9分）（1）解方程：．
（2）解不等式组．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集中的公共部分即可．
【解答】解：（1）去分母得：6﹣3＝x﹣1，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝4；
（2），
由①得：x≤2，
由②得：x≥0，
则不等式组的解集为0≤x≤2．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
17．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：

•
，
当a＝2时，原式2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
18．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A（1，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是6，求点P的坐标；
（3）当一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围为 　x＞1或﹣3＜x＜0　．

【分析】（1）通过反比例函数过点A，求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，最后利用待定系数法求得直线解析式；
（2）先求出点C的坐标，设点P的坐标为x，表达CP的长，最后根据三角形面积公式列出方程即可；
（3）根据图象可直接得出结论．
【解答】解：（1）∵A（1，3），B（﹣3，n）两点是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象的两个交点，
∴m＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y，
∴﹣3n＝3，解得n＝﹣1，
∴B（﹣3，﹣1），
把A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）令y＝x+2＝0，解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
设点P的坐标为x，
∴CP＝|x+2|，
∴S△ACP3|x+2|＝6．
解得x＝2或﹣6，
∴点P的坐标为（2，0）或（﹣6，0）．
（3）∵y1＞y2，
∴一次函数的图象在反比例函数图象上方，
由函数图象可知，此时x＞1或﹣3＜x＜0．
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，（3）中要注意数形结合思想的应用．
19．（8分）商场有甲、乙两种商品，卖出一件甲商品比卖出一件乙商品多赚40元，卖出甲商品20件比卖出乙商品30件少赚2000元．
（1）求甲、乙两种商品各卖出一件能赚多少钱；
（2）甲、乙两种商品共卖出100件，卖出乙商品数量不少于甲商品的四倍，求甲、乙两种商品总利润的最大值．
【分析】（1）设卖出一件乙商品赚x元，则卖出一件甲商品赚（x+40）元，根据卖出甲商品20件比卖出乙商品30件少赚2000元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出卖出一件乙商品的利润，再将其代入（x+40）中即可求出卖出一件甲商品的利润；
（2）设甲商品卖出m件，则乙商品卖出（100﹣m）件，根据卖出乙商品数量不少于甲商品的四倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设卖出甲、乙两种商品总利润为w元，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设卖出一件乙商品赚x元，则卖出一件甲商品赚（x+40）元，
依题意得：30x﹣20（x+40）＝2000，
解得：x＝280，
∴x+40＝280+40＝320．
答：卖出一件甲商品赚320元，卖出一件乙商品赚280元．
（2）设甲商品卖出m件，则乙商品卖出（100﹣m）件，
依题意得：100﹣m≥4m，
解得：m≤20．
设卖出甲、乙两种商品总利润为w元，则w＝320m+280（100﹣m）＝40m+28000．
∵40＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w取得最大值，最大值＝40×20+28000＝28800．
答：甲、乙两种商品总利润的最大值为28800元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
20．（8分）在⊙O中，弦CD平分圆周角∠ACB，连接AB，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CAB，且B是CE的中点，⊙O的直径是，求DE的长．
（3）P是弦AB下方圆上的一个动点，连接AP和BP，过点D作DH⊥BP于点H，请探究点P在运动的过程中，
的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
【分析】（1）利用垂径定理即可证得结论；
（2）构建直角三角形，利用勾股定理求出线段长度即可求解；
（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之间的关系，然后转化为线段的关系进行求解．
【解答】证明：（1）如图1，连接OD交AB于点F，连接OA，OB，AD，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵AB∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
解：（2）如图2，连接OC，OD，OE，过点O作OF⊥BC于点F，

∴∠BOC＝2∠BAC，
∵OB＝OC，OF⊥BC，
∴∠COF＝∠∠COB＝∠CAB，
∴tan∠COFtan∠CAB，
设CF＝x，OF＝3x，
∵⊙O的直径是，
∴OC，
∵OC2＝OF2+CF2，
∴（）2＝（3x）2+x2，
解得：x，
∴CF，OF，
∴BC＝1，
∵B是CE的中点，
∴BE＝BC＝1，
∴EF，
∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（）2+（）2，
∵OD2+DE2＝OE2，
∴DE．
（3）解法一：如图3，延长BP至Q使得PQ＝AP，连接AQ，OC，连接OB，BD，连接OD交AB于点K，连接HK，

∵A，P，B，C四点共圆，
∴∠APQ＝∠ACB，
∵AP＝PQ，
∴∠Q＝∠QAP，
∴∠Q＝90°∠ACB，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵DE∥AB，
∴OD⊥AB，
∴K是AB的中点，
∵DH⊥BH，
∴∠BHD＝90°，
∵∠BKD＝90°，
∴B，K，H，D四点共圆，
∴∠BHK＝∠ODB，
∵∠BOD＝∠ACB，OB＝OD，
∴∠ODB＝90°∠ACB，
∴∠ODB＝∠Q，
∴∠BHK＝∠Q，
∴AQ∥HK，
∴，
∵BQ＝BP+QP，QP＝AP，
∴BQ＝BP+AP，
∴．
解法二：如图4，在BP上截取BM＝AP，连接DM，BD，DP，AD，

∵弦CD平分圆周角∠ACB，
∴AD＝BD，
∵，
∴∠PAD＝∠PBD＝∠MBD，
∴△APD≌△BMD（SAS），
∴DP＝DM，AP＝BM，
∵DH⊥BP，
∴DH为△PDM的中线，
∴HP＝HM，
∴BP＝BM+PM＝BM+2HM，
∵BH＝BM+HM，
∴．
解法三：如图：连接DA，DB，DP，CD，将△APD沿PD翻折得到△A'PD，

∵∠APD+∠ACD＝180°，，
∴∠BPD＝∠ACD，
∴∠BPD+∠APD＝180°，
由翻折得△APD≌△A'PD，
∴∠A'PD＝∠APD，AD＝A'D，
∴∠A'PD+∠BPD＝180°，
∴A'，P，B三点共线，
∵，
∴AD＝BD，
∴A'D＝BD，
又∵DH⊥A'B，
∴A'H＝HBA'B，
∴AP+PHAP+PB，
∴比值不变，恒为．
【点评】本题考查了勾股定理，圆内接四边形，垂径定理等知识点，难度较大，解题的关键是作出辅助线，属于中考压轴题．
21．（8分）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF　是　（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE⊥AD于E．
①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；
②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．

【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根据正方形的性质得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；
（2）①首先证明四边形CDEF是矩形，则DE＝CF，EF＝CD＝2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE＝CF，AE＝BF，等量代换即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，设BE＝x，根据勾股定理求出x的值即可；
②延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，证明△ABE∽△CGH，根据相似三角形的性质求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根据勾股定理求出BG，即可求解．
【解答】解：（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，

∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，
∴∠EBF+∠D＝180°，
∵∠EBF＝90°，BF＝BE，
∴四边形BEDF是“直等补”四边形．
故答案为：是；
（2）①证明：∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，
∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠D＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥BE，
∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE＝CF，EF＝CD＝2，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵DE＝CF，
∴BE＝DE；
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF＝CD＝2，
∵△ABE≌△BCF，
∴AE＝BF，
∴AE＝BE﹣2，
设BE＝x，则AE＝x﹣2，
在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，
解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），
∴BE的长是8；
②∵△BCM周长＝BC+BM+CM，
∴当BM+CM的值最小时，△BCM的周长最小，
如图，延长CD到点G，使DG＝CD，连接BG交AD于点M′，过点G作GH⊥BC，交BC的延长线于点H，

∵∠ADC＝90°，
∴点C与点G关于AD对称，
∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，
∴当点M与M′重合时，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周长最小，
在Rt△ABE中，AE6，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠GCH＝180°，
∴∠A＝∠GCH，
∵∠AEB＝∠H＝90°，
∴△ABE∽△CGH，
∴，即，
∴GH，CH，
∴BH＝BC+CH＝10，
∴BG2，
∴△BCM周长的最小值为210．
【点评】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明三角形全等，第（2）②题关键确定M的位置．
22．（9分）平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式和tan∠DAC；
（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且S△ACE＝2S△ACD，求点E的坐标；
（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长．

【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx+3可解的a，b的值，从而得到解析式，tan∠DAC，可根据表达式求出C，D的坐标然后计算DC和AC的长度计算；
（2）可取一点E，过E作EF平行于x轴，交AC于F此时可表示出S△ACE，根据类方程S△ACE＝2S△ACD，求E点坐标即可；
（3）根据题能得到Q的运动轨迹为直线，且当P在A处时Q在C处，当P运动到C处时，分别求出CQ，DQ'的长，即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx+3可得：
，解得；
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴D（﹣1，4），C（0，3）；
∴AC，DC；
∴tan∠DAC．
（2）如图1所示，过E作EF∥x轴交AC于点F，设点E（m，﹣m2﹣2m+3），直线AC的表达式为y＝kx+n，
将A（﹣3，0），C（0，3）分别代入y＝kx+n可得：
，解得，
∴直线AC表达式为y＝x+3，
∴F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），
∴EF＝m+m2+2m＝m2+3m，
∴S△ACE（yC﹣yA）EF，
∵S△ACDAC•CD＝3，
∴S△ACE（xC﹣xA）EF＝2S△ACD＝6，
∴（m2+3m）＝6，
解得m1＝1，m2＝﹣4，
∴E（1，0）或（﹣4，﹣5）．

（3）如图2所示

当点P与点A重合时，
∵∠ADQ＝∠DCA＝90°，
∴∠DAC+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠QDC，
∴∠DAC＝∠QDC，
又∵∠DCA＝∠DCQ＝90°，
∴△ADC∽△DQC，
∴，
∴CQ，
当点P与点C重合时，
∴∠Q'DC＝∠ACD＝90°，
∴DQ'∥CQ，
∵∠DAC＝∠Q'P'D，∠Q'DP'＝∠ACD＝90°，
∴△ADC∽△P'Q'D，
∴，
∴DQ'，
∴DQ'＝CQ，
∴四边形DQ'QC是平行四边形，
∴QQ'＝CD．
【点评】本题综合性比较强，主要考查二次函数点相关知识，解题的关键在于找出变换后的图形，根据已知条件，建立方程求解．
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