2022年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷

这是一份2022年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷，共26页。

2022年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷
一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km．将数字55000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．5.5×106 D．55×106
4．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
36.2
36.3
36.2
36.4
36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（　　）

A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
6．（3分）在△ABC中，AB＜AC．用尺规在BC边上找一点D，使AD+DC＝BC的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．正六边形的每一个内角为120°
B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．对角线相等的四边形是矩形
8．（3分）某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（5，2）在直线l：y＝kx+4上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（　　）

A． B． C． D．2
10．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为8π，MN＝2，则△AMN周长的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3m2﹣3＝　 　．
12．（3分）若x＝4是关于x的方程3的解，则m的值为 　 　．
13．（3分）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝10米，CD＝8米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为 　 　米．
（参考数据：1.414，1.732，结果按四舍五入保留一位小数）

14．（3分）规定：若（x1，y1），（x2，y2），则•x1x2+y1y2．例如（1，2），（3，4），则1×3+2×4＝3+8＝11．已知（x+1，x﹣1），（x﹣2，3），则•的最小值是 　 　．
15．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则　 　．

三．解答题（共7小题）
16．（6分）计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1|+（）﹣2．
17．（6分）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
18．（8分）某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄x（岁）分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）抽取的C类市民有 　 　人，并补全条形统计图；
（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形．
（2）若BD＝30，MN＝16，求菱形BNDM的周长．

20．（8分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
21．（9分）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

22．（10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB＝1，c＝4时，a＝　 　，b＝　 　；
如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a＝　 　，b＝　 　；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．


2022年广东省深圳市南山区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的.）
1．（3分）﹣2021的绝对值是（　　）
A．﹣2021 B．2021 C． D．
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
2．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km．将数字55000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．5.5×106 D．55×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）新冠疫情防控形势下，学校要求学生每日测量体温．某同学连续一周的体温情况如表所示，则该同学这一周的体温数据的众数和中位数分别是（　　）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温（℃）
36.3
36.7
36.2
36.3
36.2
36.4
36.3
A．36.3和36.2 B．36.2和36.3 C．36.3和36.3 D．36.2和36.1
【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为36.2，36.2，36.3，36.3，36.3，36.4，36.7，
该名同学这一周体温出现次数最多的是36.3℃，共出现3次，因此众数是36.3，
将这七天的体温从小到大排列处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3，
故选：C．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是正确判断的前提．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（　　）

A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，根据勾股定理求出AC，进而求出BD、OD，最后根据三角形中位线求出EF的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴EFOD＝2.5cm，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
6．（3分）在△ABC中，AB＜AC．用尺规在BC边上找一点D，使AD+DC＝BC的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由于AD＝BD，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．
【解答】解：∵BD+DC＝BC，
∴当AD＝BD时，AD+DC＝BC，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质．
7．（3分）下列命题是真命题的是（　　）
A．正六边形的每一个内角为120°
B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．有一个角是60°的三角形是等边三角形
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】对各个命题逐一判断后找到正确的即可确定真命题．
【解答】解：A、正六边形的每一个内角为120°，是真命题；
B、正六边形的外角和等于正五边形的外角和，原命题是假命题；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题；
D、对角线相等且平分的四边形是矩形，原命题是假命题；
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确性．
8．（3分）某班级开展活动共花费2300元，但有4位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的同学平均分摊，则每人比原来多支付4元，设原来有x人参加活动，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设原来有x人参加活动，则实际有（x﹣4）人参加活动，根据“总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付4元”列出方程，此题得解．
【解答】解：设原来有x人参加活动，则实际有（x﹣4）人参加活动，
根据题意，得．
故选：D．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点B（5，2）在直线l：y＝kx+4上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（　　）

A． B． C． D．2
【分析】先待定系数法求出直线l的解析式，过B作BM⊥OE于点M，过C作CN⊥OF于点N，易证△DAO≌△ABM（AAS），根据全等三角形的性质可得OA和OD的长，再证△CDN≌△DAO（AAS），易得点C坐标，再根据平移可得平移后的点C坐标，代入直线l解析式即可求出m的值．
【解答】解：∵点B（5，2）在直线l：y＝kx+4上，
∴5k+4＝2，
∴k，
∴直线l的解析式为yx+4，
过B作BM⊥OE于点M，过C作CN⊥OF于点N，如图所示：

则∠AMB＝90°，∠CND＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝DA，
∴∠DAO+∠BAM＝90°，
∴∠DAO＝∠ABM，
∴△DAO≌△ABM（AAS），
∴OA＝BM，OD＝AM，
∵B（5，2），
∴BM＝2，OM＝5，
∴OA＝2，
∴AM＝3，
∴OD＝3，
同理可证△CDN≌△DAO（AAS），
∴DN＝OA＝2，CN＝DO＝3，
∴ON＝OD+DN＝5，
∴C（3，5），
∵正方形ABCD沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上，
设平移后点C的坐标为（3，5﹣m），
∴5﹣m3+4，
解得m，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为8π，MN＝2，则△AMN周长的最小值是（　　）

A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝2，连接AA′交BD于点N，取NM＝2，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解答】解：⊙O的面积为8π，则圆的半径为2，则BD＝4AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝2，
连接AA′交BD于点N，取NM＝2，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+2为最小，
则A′A6，
则△AMN的周长的最小值为6+2＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）因式分解：3m2﹣3＝　3（m﹣1）（m+1）　．
【分析】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（m2﹣1）＝3（m﹣1）（m+1），
故答案为：3（m﹣1）（m+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
12．（3分）若x＝4是关于x的方程3的解，则m的值为 　5　．
【分析】解方程可得x＝9﹣m，由题意可得4＝9﹣m，求出m的值即可．
【解答】解：，
2x﹣m＝3（x﹣3），
2x﹣3x＝﹣9+m，
x＝9﹣m，
∵方程的解为x＝4，
∴4＝9﹣m，
∴m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
13．（3分）如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD，测得BC＝10米，CD＝8米，∠BCD＝150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为 　20.9　米．
（参考数据：1.414，1.732，结果按四舍五入保留一位小数）

【分析】延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DF、CF的长，根据等腰三角形EF＝DF，得到BE的长，由AB＝BE得到结果．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，

∵∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝30°，又CD＝8米，
∴DF＝4米，CF4（米），
由题意得∠AEB＝45°，
∴EF＝DF＝4米，
∴BE＝BC+CF+EF＝10+44＝（14+4）米，
∴AB＝BE＝14+420.9（米），
故答案为：20.9．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（3分）规定：若（x1，y1），（x2，y2），则•x1x2+y1y2．例如（1，2），（3，4），则1×3+2×4＝3+8＝11．已知（x+1，x﹣1），（x﹣2，3），则•的最小值是 　﹣6　．
【分析】由题意可得•（x+1）（x﹣2）+3（x﹣1）＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，则当x＝﹣1时，（x+1）2﹣6取得最小值为﹣6，即可得出答案．
【解答】解：∵（x+1，x﹣1），（x﹣2，3），
∴•
＝（x+1）（x﹣2）+3（x﹣1）
＝x2﹣2x+x﹣2+3x﹣3
＝x2+2x﹣5
＝（x+1）2﹣6，
∴当x＝﹣1时，（x+1）2﹣6取得最小值为﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查平面向量、二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
15．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与y的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数y的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则　　．

【分析】如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．利用相似三角形的性质证明，设A（m，），则B（，），由BC∥x轴，EC∥y轴，推出C（2m，），E（2m，），求出直线OC，BE的解析式，构建方程组确定点F的坐标，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A作AN⊥x轴于N，过点B作BM⊥x轴于M．

∵AN∥BM，
∴△OBM∽△OAN，
∵S△OBM，S△AON＝2k，
∴（）2，
∴，
设A（m，），则B（，），
∵BC∥x轴，EC∥y轴，
∴C（2m，），E（2m，），
∴直线OC的解析式为yx，直线BE的解析式为yx，
由，解得，
∴F（，），
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
三．解答题（共7小题）
16．（6分）计算：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1|+（）﹣2．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（π﹣2021）0﹣3tan30°+|1|+（）﹣2
＝1﹣31+4
＝11+4
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17．（6分）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜x≤2中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝[]•
•

，
∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，
∴x的整数值为﹣1，0，1，2且x≠±1，2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式1．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18．（8分）某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄x（岁）分为四类：A类：18≤x＜30；B类：30≤x＜40；C类：40≤x＜50；D类：50≤x≤59．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）抽取的C类市民有 　30　人，并补全条形统计图；
（2）若本次抽取人数占已接种市民人数的5%，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
（3）区防疫站为了获取更详细的调查资料，从D类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据抽取的C类的百分比求出其他三类的百分比，由其他三类的人数和除以其他三类的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的C类的百分比即可得抽取的C类人数，从而补全条形统计图；
（2）根据本次抽取人数占已接种市民人数的5%即可求解；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男和一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，其他三类的百分比为1﹣25%＝75%，
其他三类的人数和为20+20+50＝90（人），
抽取的总数为90÷75%＝120（人），
抽取的C类市民有120×25%＝30（人），
补全条形统计图如下：

故答案为：30；

（2）120÷5%＝2400（人），
答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有2400人；

（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男和一女的有8种结果，
∴抽取的两人恰好是一男和一女的概率为．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图，扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形．
（2）若BD＝30，MN＝16，求菱形BNDM的周长．

【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，再由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得BN＝DN＝DM＝BM，再由勾股定理求出BN＝17，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：由（1）可知，OBBD＝15，OM＝ONMN＝8，四边形BNDM是菱形，
∴BN＝DN＝DM＝BM，
∵MN⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∴BN17，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝68．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（8分）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，根据总得分＝4×答对题目数﹣1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，
解得：x＝22．
答：该参赛同学一共答对了22道题．
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，
依题意得：4y﹣（25﹣y）≥90，
解得：y≥23．
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（9分）如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r，OC⊥AB于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）求证：直线AB与⊙O相切．
（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．

【分析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，把点B的坐标代入即可求出a的值，即可得出抛物线解析式；
（2）根据切线的判定，证明OC是⊙O的半径即可；
（3）由题意知，AC是以M，O，A，C为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线OM的解析式，直线OM与抛物线的交点为P，即可求出PM的长．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（0，2），
∴可设抛物线的解析式为：y＝ax2+2，
∵抛物线经过点B（2，0），
∴4a+2＝0，
解得：a，
∴抛物线的解析式为：yx2+2；
（2）证明：∵A（0，2），B（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
∵OC⊥AB，
∴•OA•OB•AB•OC，
∴2×22•OC，
解得：OC，
∵⊙O的半径r，
∴OC是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
（3）∵点P在抛物线yx2+2上，
∴可设P（x，x2+2），
以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：AC＝OM，CM＝OA＝2，
∵点C是AB的中点，
∴C（1，1），M（1，﹣1），
设直线OM的解析式为y＝kx，将点M（1，﹣1）代入，
得：k＝﹣1，
∴直线OM的解析式为y＝﹣x，
∵点P在OM上，
∴x2+2＝﹣x，
解得：x1＝1，x2＝1，
∴y1＝﹣1，y2＝﹣1，
∴P1（1，﹣1），P2（1，﹣1），
如图，当点P位于P1位置时，
OP1（1），
∴P1M＝OP1﹣OM，
当点P位于P2位置时，同理可得：OP2，
∴P2M＝OP2﹣OM2；
综上所述，PM的长是或2．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，圆的切线的判定，二次函数与几何图形的综合运用等知识，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．
22．（10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB＝1，c＝4时，a＝　4　，b＝　4　；
如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a＝　　，b＝　　；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3，AB＝3，求AF的长．

【分析】（1）①首先证明△APB，△PMN都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．
②连接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性质求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）结论a2+b2＝5c2．设MP＝x，NP＝y，则AP＝2x，BP＝2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，∵CN＝AN，CM＝BM，
∴MN∥AB，MNAB＝2，
∵tan∠PAB＝1，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠PNM＝∠PMN＝45°，
∴PN＝PM＝2，PB＝PA＝4，
∴AN＝BM2．
∴b＝AC＝2AN＝4，a＝BC＝4．
故答案为4，4，
如图2中，连接NM，
，∵CN＝AN，CM＝BM，
∴MN∥AB，MNAB＝1，
∵∠PAB＝30°，
∴PB＝1，PA，
在RT△MNP中，∵∠NMP＝∠PAB＝30°，
∴PN，PM，
∴AN，BM，
∴a＝BC＝2BM，b＝AC＝2AN，
故答案分别为，．
（2）结论a2+b2＝5c2．
证明：如图3中，连接MN．
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MNAB，
∴△MPN∽△APB，
∴，
设MP＝x，NP＝y，则AP＝2x，BP＝2y，
∴a2＝BC2＝4BM2＝4（MP2+BP2）＝4x2+16y2，
b2＝AC2＝4AN2＝4（PN2+AP2）＝4y2+16x2，
c2＝AB2＝AP2+BP2＝4x2+4y2，
∴a2+b2＝20x2+20y2＝5（4x2+4y2）＝5c2．

（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴AG＝FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP＝BF，PE＝CF＝2BF，
即PE∥CF，PE＝CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2＝5BF2，
∵AB＝3，BFAD，
∴9+AF2＝5×（）2，
∴AF＝4．
解法二：证明△BFH∽△DEC，就可以轻松证明CE和FH平行，因为得出BE和FH垂直，可得结论．




【点评】本题考查四边形综合题、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造全等三角形，学会利用新的结论解决问题，属于中考压轴题．
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