2022年广东省深圳市中考数学三模试卷

这是一份2022年广东省深圳市中考数学三模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年广东省深圳市中考数学三模试卷
一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）在这四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．﹣1 D．
2．（3分）2022年3月，在第十三届全国人民代表大会第五次会议上，国务院总理李克强在政府工作报告中指出：2021年，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到1140000亿元，增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.114×107 B．1.14×107 C．1.14×106 D．11.4×105
3．（3分）如图的一个几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（ab2）2＝ab4
C．（a+b）2＝a2+b2 D．5m2⋅m3＝5m5
5．（3分）共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（　　）
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差小 D．平均数大，方差大
6．（3分）化简的结果是（　　）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
7．（3分）《九章算术》中有问题：把一份文件送到900里外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间、设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（　　）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°，cos67°，tan67°，sin37°，cos37°，tan37°）

A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　）

A．2 B． C． D．
二、填空题：（每小题3分，共计15分）
11．（3分）分解因式：m3﹣4m2+4m＝　 　．
12．（3分）一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为 　 　．
13．（3分）上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14）．如图，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×100，在电子计算机中用的二进制，如二进制中110＝1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，八进制数字3745换算成十进制是 　 　．

14．（3分）如图，点A是反比例函数y的图象的第三象限上一点，AC⊥x轴，垂足为点C，E为AC上一点，且，连接OE并延长交上的图象的第三象限上另一点B，过B点作BD⊥x轴，垂足为点D，四边形BECD的面积为2，则k的值是 　 　．

15．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为 　 　．

三、解答题：（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（π）0+2﹣2﹣2cos45°+|1|．
17．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为对角线的正方形ACBD，点C，D为格点．
（2）在图2中画出以AB为边且周长最大的平行四边形ABCD，点C，D为格点（画一个即可）．


18．（8分）某初中学校组织了全校学生参加“珍惜生命，远离新冠病毒”的知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩，分为5组：A组50～60；B组60～70；C组70～80；D组80～90；E组90～100（每组含最小值不含最大值），统计后得到如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）抽取学生的总人数是 　 　人，扇形C的圆心角是 　 　度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有2200名学生，若成绩在70分以下（不含70分）的学生防疫意识不强，有待进一步加强，则该校防疫意识不强的学生约有多少人？
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．

20．（8分）草莓基地对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售，每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓多卖4元．
（1）问草莓基地销售A，B两个等级草莓每千克各是多少元？
（2）某超市从该草莓基地购进200千克草莓，A级草莓不少于40千克，且总费用不超过3800元，超市对购进的草莓进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A级草莓多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？
草莓等级
每包中草莓重量（千克）
售价（元/包）
每个包装盒的成本（元）
A级
1
80
2
B级
2
120
2
21．（10分）（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；
（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且，∠ACD＝∠ABE，求BD的长；
（3）拓展创新：如图3，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，且，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接写出AB的长．


22．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．


2022年广东省深圳市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计30分）
1．（3分）在这四个数中，最小的数是（　　）
A． B．0 C．﹣1 D．
【分析】实数比较大小，正数大于负数，正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值越大这个数越小．
【解答】解：在，0，﹣1，中，0＞﹣1，
∴最小的数为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，比较简单．
2．（3分）2022年3月，在第十三届全国人民代表大会第五次会议上，国务院总理李克强在政府工作报告中指出：2021年，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到1140000亿元，增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.114×107 B．1.14×107 C．1.14×106 D．11.4×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1140000＝1.14×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图的一个几何体，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，是一列三个相邻的矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图象是左视图．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2x+3y＝5xy B．（ab2）2＝ab4
C．（a+b）2＝a2+b2 D．5m2⋅m3＝5m5
【分析】A、不能合并同类项；
B、根据积的乘方计算；
C、根据完全平方公式计算；
D、根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘计算．
【解答】解：A、原式＝2x+3y，∴不符合题意；
B、原式＝a2b4，∴不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2＝，∴不符合题意；
D、原式＝5m5，∴符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、积的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相乘，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．（3分）共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（　　）
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差小 D．平均数大，方差大
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．
故选：C．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）化简的结果是（　　）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式x+1．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）《九章算术》中有问题：把一份文件送到900里外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间、设规定时间为x天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据快马的速度是慢马的2倍，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
2，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
8．（3分）某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（　　）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°，cos67°，tan67°，sin37°，cos37°，tan37°）

A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7
【分析】设BC＝xm，则AC＝（x+2）m，由∠OBC＝67°，∠OAC＝37°可得OC＝BC•tan67°，OC＝AC•tan37°，从而可得BC•tan67°＝AC•tan37°，即x（x+2），解得x，即可求解OC．
【解答】解：设BC＝xm，
∵AB＝2m，
∴AC＝（x+2）m，
∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°
∴tan∠OBC＝tan67°，tan∠OAC＝tan37°，
∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°（x+2），
∴x（x+2），
解得：x，
∴OCx2.2m，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是选用适当锐角三角函数或边角关系解直角三角形．
9．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示．已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．
①abc＜0；
②4a+2b+c＜0；
③8a+c＜0；
④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
上述结论中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由已知条件得出：a＜0，，c＞0，a﹣b+c＝0，利用上述条件进行适当变形，再结合二次函数图象的性质对每个结论进行逐一分析，得出正确选项．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，b＞0．
∵抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
①∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0．
故①正确；
②∵b＝﹣2a，
∴4a+2b+c＝4a+2×（﹣2a）+c＝4a﹣4a+c＝c＞0．
故②错误；
③∵a﹣b+c＝0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝0，即3a+c＝0．
∴8a+c＝3a+c+5a＝5a＜0．
故③正确；
④∵抛物线经过点（﹣3，n），其对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线必经过点（5，n），
∴当y＝n时，x＝﹣3或5．
∵y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴当ax2+bx+c＝n（a≠0）时，x＝﹣3或5．
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．
故④正确；
综上，正确的结论有：①③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标的特征．利用图象求出a，b，c的范围，以及将特殊值的代入得到特殊的式子是解题的关键．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】过点E作EH⊥AD，交延长线于H，再根据正方形的性质，推出∠H＝∠BCD，根据同角的余角相等，推出∠1＝∠3，证明△DEH∽△DGC，推出，AC是正方形ABCD对角线，推出∠EAH＝∠DAC＝45°，求出EH＝HA，进而求出DF．
【解答】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
∴∠H＝90°，

在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD，
∵DE⊥DG，
∴∠EDG＝90°，
∴∠2+∠1＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△DEH∽△DGC，
∴，
∵，
∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x，
∴，
∴DH＝3EH，
∵AC是正方形ABCD对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵∠EAH＝∠DAC＝45°，
∴∠HEA＝45°，
∴EH＝HA，
∴EH2+HA2＝9，
∴EH＝HA，
∴DH，
∴AD＝3，
∴GC，
∴DG2，
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴，
∴DF＝3GF，
∴DF；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．
二、填空题：（每小题3分，共计15分）
11．（3分）分解因式：m3﹣4m2+4m＝　m（m﹣2）2　．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：m3﹣4m2+4m
＝m（m2﹣4m+4）
＝m（m﹣2）2．
故答案为：m（m﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．（3分）一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为 　6　．
【分析】设绿球的个数为x，根据经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6得0.6，解之即可得出答案．
【解答】解：设绿球的个数为x，
根据题意，得：0.6，
解得x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
∴袋中绿球的个数为6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．（3分）上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14）．如图，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×100，在电子计算机中用的二进制，如二进制中110＝1×22+1×21+0×20等于十进制的数6，八进制数字3745换算成十进制是 　2021　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3745＝3×83+7×82+4×81+5×80
＝1536+448+32+5
＝2021．
所以八进制数字3745换算成十进制是2021．
故答案为：2021．
【点评】此题考查了有理数的混合运算和科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）如图，点A是反比例函数y的图象的第三象限上一点，AC⊥x轴，垂足为点C，E为AC上一点，且，连接OE并延长交上的图象的第三象限上另一点B，过B点作BD⊥x轴，垂足为点D，四边形BECD的面积为2，则k的值是 　10　．

【分析】连接OA，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC＝S△BODk，进一步得到S△AOE＝S四边形BECD＝2，根据不同底等高的三角形面积的关系求得S△COE＝3，即可求得S△AOC＝5，从而求得k＝10．
【解答】解：连接OA，
由题意可知，S△AOC＝S△BODk，
∴S△AOC﹣S△COE＝S△BOD﹣S△COE，
∴S△AOE＝S四边形BECD＝2，
∵，
∴S△COE＝3，
∴S△AOC＝2+3＝5，
∴k＝5，
∴k＝10，
故答案为：10．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确的作出辅助线，求得S△AOE＝S四边形BECD＝2是解题的关键．
15．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE⊥CD于F，交BC于E，连接BF，若∠BFE＝45°，则的值为 　　．

【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的性质和判定解答即可．
【解答】解：过点B作BG⊥AE交AE的延长线于点G，
∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，
∴△BFG为等腰直角三角形，
设BG＝FG＝a，
∵AG⊥DF，AG⊥BG，D为AB边上的中点，
∴DF为△AGB的中位线，
∴DFa，AG＝2a，
∴ABa，
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴CDa，
∴CFa，
∵CF∥GB，
∴△CFE∽△BGE，
∴，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，根据已知条件作出辅助线是解决本题的关键．
三、解答题：（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分，共55分）
16．（5分）计算：（π）0+2﹣2﹣2cos45°+|1|．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（π）0+2﹣2﹣2cos45°+|1|
＝121
＝11
．
【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
17．（6分）如图是由边长为1的小正方形构成的6×6的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为对角线的正方形ACBD，点C，D为格点．
（2）在图2中画出以AB为边且周长最大的平行四边形ABCD，点C，D为格点（画一个即可）．


【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据平行四边形的定义以及题目要求画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ACBD即为所求；
（2）如图2中，四边形ABCD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．（8分）某初中学校组织了全校学生参加“珍惜生命，远离新冠病毒”的知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩，分为5组：A组50～60；B组60～70；C组70～80；D组80～90；E组90～100（每组含最小值不含最大值），统计后得到如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）抽取学生的总人数是 　300　人，扇形C的圆心角是 　144　度；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校共有2200名学生，若成绩在70分以下（不含70分）的学生防疫意识不强，有待进一步加强，则该校防疫意识不强的学生约有多少人？
【分析】（1）由D组频数及其所占比例可得总人数，用360°乘以C组人数所占比例可得；
（2）用总人数分别乘以A、B组的百分比求得其人数，再用总人数减去A、B、C、D的人数求得E组的人数可得；
（3）用总人数乘以样本中A、B组的百分比之和可得．
【解答】解：（1）抽取学生的总人数为78÷26%＝300（人），
扇形C的圆心角是360°144°，
故答案为：300；144；
（2）A组人数为300×7%＝21人，B组人数为300×17%＝51（人），
则E组人数为300﹣（21+51+120+78）＝30（人），
补全频数分布直方图如下：

（3）2200×（7%+17%）＝528（人）．
答：该校创新意识不强的学生约有528人．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系，是正确解答的前提．
19．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB＝ED．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF＝2，tanA＝2，求BE的长．

【分析】（1）利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）设CD与⊙O交于点G，连接BF，BG，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得BF，设AC＝BC＝x，则CF＝x﹣2，利用勾股定理列出方程求得x值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC，
∵EB＝ED，
∴∠EBD＝∠D．
∵CD⊥AC，
∴∠A+∠D＝90°，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠CBE＝180°﹣（∠ABC+∠EBD）＝90°．
∴OB⊥BE，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：设CD与⊙O交于点G，连接BF，BG，如图，

∵BC为⊙O的直径，
∵∠CFB＝∠CGB＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形CFBG为矩形．
∴BG＝FC．
在Rt△AFB中，
∵AF＝2，tanA＝2，
∴BF＝4．
设AC＝BC＝x，则CF＝x﹣2．
∵CF2+BF2＝BC2，
∴（x﹣2）2+42＝x2，
解得：x＝5，
∴FC＝3，BC＝5．
∴BG＝3．
∵∠CBE＝90°，BG⊥CE，
∴△CBG∽△BGE．
∴，
∴，
∴EG．
∴BE．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
20．（8分）草莓基地对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售，每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，3千克A级草莓比5千克B级草莓多卖4元．
（1）问草莓基地销售A，B两个等级草莓每千克各是多少元？
（2）某超市从该草莓基地购进200千克草莓，A级草莓不少于40千克，且总费用不超过3800元，超市对购进的草莓进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A级草莓多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？
草莓等级
每包中草莓重量（千克）
售价（元/包）
每个包装盒的成本（元）
A级
1
80
2
B级
2
120
2
【分析】（1）设草莓基地销售A等级草莓每千克是x元，销售B等级草莓每千克是y元，可得：，即可解得草莓基地销售A等级草莓每千克是28元，销售B等级草莓每千克是16元；
（2）设购进A级草莓m千克，则购进B级草莓（200﹣m）千克，根据A级草莓不少于40千克，且总费用不超过3800元可得40≤m≤50，设销售所获总利润为w元，则w＝（80﹣28﹣2）m+（120﹣2×16﹣2）7m+8600，由一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设草莓基地销售A等级草莓每千克是x元，销售B等级草莓每千克是y元，
根据题意得：，
解得，
答：草莓基地销售A等级草莓每千克是28元，销售B等级草莓每千克是16元；
（2）由题意可得，设购进A级草莓m千克，则购进B级草莓（200﹣m）千克，
∴，
解得40≤m≤50，
设销售所获总利润为w元，
根据题意得：w＝（80﹣28﹣2）m+（120﹣2×16﹣2）7m+8600，
∵7＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝50时，w取最大值，最大值为7×50+8600＝8950（元），
∴包装A级草莓50÷1＝50（包），
答：当包装A级草莓50包时，所获总利润最大，最大总利润为8950元．
【点评】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
21．（10分）（1）问题背景：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，若∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB；
（2）尝试应用：如图2，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB上一点，点E为CD上一点，且，∠ACD＝∠ABE，求BD的长；
（3）拓展创新：如图3，平行四边形ABCD中，E是AB上一点，且，EF∥AC，连接DE，DF，若∠EDF＝∠BAC，DF＝5，直接写出AB的长．


【分析】（1）根据两个角相等，证明△ACD∽△ABC，得，即可得出结论；
（2）过点C作CF∥BE，交AB的延长线于点F，先证△AFC∽△ACD，得出AC2＝AD•AF，再根据BE∥FC，得到，最后列出62＝（9﹣BD）（9+2BD），求解即可；
（3）延长EF，交DC的延长线于点G，先证出△EDF∽△EGD，得到EDEF，再根据平行线分线段定理得出CGBE，最后根据GD＝AB+CG得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD•AB；
（2）过点C作CF∥BE，交AB的延长线于点F，

∵BE∥CF，
∴∠ABE＝∠AFC，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠ACD，
在△AFC和△ACD中，
，
∴△AFC∽△ACD，
∴，
∴AC2＝AD•AF，
∵AB＝9，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣BD，
∵BE∥FC，
∴，
∵，
∴，
∴BF＝2BD，
∴AF＝AB+BF＝9+2BD，
∵AC＝6，
∴AC2＝AD•AF，即62＝（9﹣BD）（9+2BD），
解得：BD或BD＝﹣3（不合题意，舍去），
∴BD；
（3）如图，延长EF，交DC的延长线于点G，

∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵EF∥AC，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴∠BAC＝∠G，
∵∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴ED2＝EF•EG，
∵，EF∥AC，
∴，
∵AB∥DC，
∴，
∴FGEF，
∴EG＝EF+FGEF，
∴，
∴EDEF，
∵，
∴GDDF15，即GD＝AB+CG，
∵AB∥CD，
∴，
∴CGBE，
∵，
∴BE＝2AE，
∴AB＝3AE，
∴CG＝AEAB，
∴CG＝ABAB＝15，
∴AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q（﹣4，0）作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
（3）如图3，长度为的线段CD（点C在点D的左边）在射线AB上移动（点C在线段AB上），连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．

【分析】（1）将点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）代入y＝ax2+bx，即可求解；
（2）设P（t，t2t），﹣5＜t＜0，分别求出直线AP的解析式为ytxt，直线PO的解析式为y＝（t）x，由题意求出M（﹣4，t），N（﹣4，﹣2t﹣10），则可求QMt，QN＝2t+10，所以4QM+QN＝﹣2t+2t+10＝10，4QM+QN的值不变；
（3）求出直线AB的解析式为yx，设D（m，m），C（m﹣2，m），求出直线OD的解析式为y＝（）x，由CE∥OD，求出直线CE的解析式为y＝（）xx（x+1），则当x+1＝0时，x＝﹣2，此时y＝1，则直线CE经过定点F（﹣2，1），过点F作FK⊥x轴交直线AB于点K，过点E作EG∥FK交AB于点G，由平行的性质得，当GE最大时，的值最小，设E（n，n2n），则G（n，n），GE（n+3）2+2，当n＝﹣3时，GE有最大值3，可求的最小值为．
【解答】解：（1）将点A（﹣5，0），点B（﹣1，﹣2）代入y＝ax2+bx，
∴，
解得，
∴yx2x；
（2）4QM+QN的值为定值，
设P（t，t2t），﹣5＜t＜0，
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴ytxt，
设直线PO的解析式为y＝k'x，
∴t2t＝tk'，
∴k't，
∴y＝（t）x，
∵点Q（﹣4，0），
∴M（﹣4，t），
∴N（﹣4，﹣2t﹣10），
∴QMt，QN＝2t+10，
∴4QM+QN＝﹣2t+2t+10＝10，
∴4QM+QN的值不变；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx，
设D（m，m），
∵CD，点C在点D的左边，
∴C（m﹣2，m），
设直线OD的解析式为y＝k'x，
∴mk'm，
∴k'，
∴y＝（）x，
∵CE∥OD，
∴直线CE的解析式为y＝（）xx（x+1），
当x+1＝0时，x＝﹣2，此时y＝1，
∴直线CE经过定点F（﹣2，1），
过点F作FK⊥x轴交直线AB于点K，过点E作EG∥FK交AB于点G，
∴，
∵点F（﹣2，1），
∴K（﹣2，），
∴FK，
∴当GE最大时，的值最小，
设E（n，n2n），则G（n，n），
∴GE（n+3）2+2，
∴当n＝﹣3时，GE有最大值2，
∴的最小值为．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，线段平行的性质，通过构造平行将所求问题进行转化是解题的关键．
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