数学（北京A卷）-2023年高考第二次模拟考试卷

2023年高考数学第二次模拟考试卷（北京A卷）

数学·参考答案

11．   12．##  13．①②④  14．          (答案不唯一)

15．     0（答案不唯一）     4

16．（13分）【详解】（1）由题意得，；

整理得，；

∴；…………………………………………3分

由得，，又；

∴；

∴；…………………………………………5分

∴；………………………………………………………………6分

（2）∵，

∴由正弦定理可得，可得为锐角，可得，……………10分

∴

．…………………………………………13分

17．（14分）【详解】（1）由题知：直线平面，

∵平面，∴…………………………2分

平面平面，平面平面，

 平面，所以平面，…………………………4分

因为平面，所以.…………………………5分

（2）若选择①:

因为平面，平面，平面平面

所以，又,因此四边形为平行四边形，即为中点

若选择②:…………………………7分

因为平面，平面，所以，又

所以四边形为平行四边形，即为中点，…………………………7分

（选择①和选择②都能证明为中点，以下的解析过程两种选择相同.）

所以 ，，

因为直线平面，所以直线与平面所成角为，有，

 则，，………………………9分

如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，，，

设平面的一个法向量为 且 ，

  ，令，则，解得 ， …………………………11分

平面的一个法向量为，，，

，令，则，，………………………13分

设平面与平面所成锐二面角为，

 .

所以平面与平面的夹角的余弦值为.…………………………14分

18．（14分）【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为，

亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，

估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为………………3分

（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，

，，

，

，，…………………………9分

所以，随机变量的分布列如下表所示：

.…………………………10分

（3）解：建议农科所推广该项技术改良，

设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，

设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，…………………………12分

所以，增产的会产生增加的收益为，

故建议农科所推广该项技术改良.…………………………14分

19．（14分）【详解】（1）由题设得，解得，，，

所以椭圆的方程为.…………………………5分

（2）由，得，

由，得.…………………………7分

设、，则，，…………………………9分

所以点的横坐标，纵坐标，

所以直线的方程为.…………………………11分

令，则点的纵坐标，则，

因为，所以点、点在原点两侧.

因为，所以，所以.

又因为，，…………………………13分

所以，解得，所以.…………………………14分

20．（15分）【详解】（1）时，，

∴，…………………………1分

∵当，，为单调减函数．

当，，为单调增函数．…………………………5分

∴的单调减区间为，单调增区间为；…………………………6分

（2）∵，在区间上是减函数，

∴对任意恒成立，

即对任意恒成立，………………………8分

令，则，

因为函数在上都是减函数，

所以函数在上单调递减，∴，

∴；………………………10分

（3）设切点为，

由题意得，

∴,

∴曲线在点切线方程为，

即．………………………12分

又切线过原点，

∴，

整理得，

设，

则恒成立，在上单调递增，………………………14分

又，

∴在上只有一个零点，即，

∴切点的横坐标为，

∴切线有且仅有一条，且切点的横坐标为.………………………15分

21．（15分）【详解】（1）对①：取，对，则，可得，

显然不存在，使得，故数列不满足性质；………………………2分

对②：对于，则，

故，

∵，则，且，

∴存在，使得，故数列满足性质.………………………2分

（2）若数列满足性质，且，则有：

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

故数列中存在，使得，即，………………………5分

反证：假设为有限集，其元素由小到大依次为，

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

取，均存在，使得，

即这与假设相矛盾，故集合为无限集.………………………8分

（3）设周期数列的周期为，则对，均有，

设周期数列的最大项为，最小项为，

即对，均有，………………………9分

若数列满足性质：

反证：假设时，取，则，使得，

则，即，

这对，均有矛盾，假设不成立；则对，均有；…………10分

反证：假设时，取，则，使得，

这与对，均有矛盾，假设不成立，即对，均有；

综上所述：对，均有，…………12分

反证：假设1为数列中的项，由（2）可得：为数列中的项，

∵，即为数列中的项，

这与对，均有相矛盾，即对，均有，同理可证：，

∵，则，

当时，即数列为常数列时，设，故对，都存在，

使得，解得或，即或符合题意；

当时，即数列至少有两个不同项，则有：

①当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；

②当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；

③当为数列中的项，则，即为数列中的项，但，不成立；

综上所述：或.…………15分