数学（广东B卷）-2023年高考第二次模拟考试卷

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·参考答案

13． （5分）   14．2026   （5分）  15．  （5分）   16．  （5分）

17．【解析】（1）因为，所以．

又，所以，

所以，

所以，（3分）

两边同时除以可得，

所以．（5分）

（2）因为，所以，

所以，所以，．

又为锐角三角形，所以，

所以，即

．

令，则，

．

当，即时，，，

的最小值为8．（10分）

18．【解析】（1）零假设为：对党史知识的了解情况与性别无关.

根据列联表中的数据，经计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分的理由说明不成立，则不能认为对党史知识的了解情况与性别有关；（6分）

（2）设事件A为“第二支部从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，

事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件为“第一支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则彼此互斥，且，

，

，（8分）

，（10分）

所求概率即是A发生的条件下发生的概率：

. （12分）

19．【解析】（1）根据题意得

故，．（6分）

（2）∵ （8分）

∴．

又∵

∴ （10分）

．

综上，．（12分）

20．【解析】（1）取的中点为，连，，因为，则；

又为棱的中点，则为△的中位线，所以，（2分）

因为，则，则；

由于，平面，平面，

则平面，因为平面，所以.

（5分）

（2）由（1）得，且平面平面，平面平面，平面，

则平面，又，

则以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，（6分）

因为，，则，则，

则，，，，

因为，则，

则，，

设为平面的一个法向量，

则，令，则，，得，（10分）

又设点到平面的距离为d，

则，

则点到平面的距离为. （12分）

21．【解析】（1）由，得，则有 ，直线轴时，不妨设，

曲线在点处切线的斜率为，切线方程为： ，（3分）

同理切线的方程为：，

联立方程得， ，则，得抛物线的方程 （5分）

（2）设直线方程：，，

与抛物线方程联立方程组得：，则有，

由，得，则有 ，所以，

切线方程： ，切线方程： ，联立得，（7分）

，，又，得，

又，，所以，

 ，（11分）

所以，则直线方程：或. （12分）

22．【解析】（1）记函数，由，

则，所以函数在区间上单调递减，

又．根据零点存在定理，

存在时，，

即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（3分）

而，，

所以函数在区间上有一个零点，在区间上有一个零点，

故函数在区间上有2个零点．（5分）

（2）由函数有两个极值点，

则时，方程有两个不等实根．记，则，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（6分）

因此有极大值，且时，时，，

于是，且．

先证明，只要证，即证，（7分）

设，

则，因为，所以，

即函数在区间上单调递增，于是，

所以．

再证明．

先证当时，；当时，．

设，则，

于是，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因此，所以函数在区间上单调递增，而，（9分）

即当时，；当时，，

于是，当时，；

当时，，

设方程的两个根为，则，（10分）

即方程的两个根为，

于是

故．（12分）