数学（新高考Ⅱ卷A卷）-2023年高考第二次模拟考试卷

2023年高考数学第二次模拟考试卷

数学·参考答案

13．（5分）   14．（5分）  15．（5分）    16．（5分）

17．（1）对于，则有：

令，则，解得；（1分）

令，则，解得；（2分）

当时，则，整理得，

则；（4分）

注意到也满足上式，故.（5分）

（2）由（1）可得，（7分）

则，（9分）

∵当时，恒成立，故.（10分）

18．（1）因为，

所以，（2分）

所以，

解得．

因为，所以．（4分）

（2）因为△ABC的面积是，

所以，解得．（5分）

因为，

所以，

所以，

所以．（7分）

因为，

所以，

所以．

因为，（10分）

当且仅当，即时，等号成立，

所以，（11分）

即当时，AD取得最小值．（12分）

19．（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，，，，，，

的频率分别为0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，

∴估计这50个加盟店日销售额的平均数为：

（百元）．（2分）

∵，，

∴中位数在内，设中位数为x百元，

则，解得．（4分）

∴估计中位数为13百元．

（2）由（1）知，

∵，，

∴，

∴估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为．（6分）

（3）由（1）得样本中“四星级”加盟店有（个），“五星级”加盟店有（个），

∴Y的所有可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

．（10分）

∴Y的概率分布列为

∴．（12分）

20．（1）设求到平面的距离为，矩形中对角线互相平分，到平面的距离也为，

因为直三棱柱的体积为2，即可得，故,

又，（3分）

解得，所以到平面的距离为；（4分）

（2）连接，因为直三棱柱中，，

故为正方形，即，

又平面平面，

平面平面平面，

故平面，平面, 所以，

又因为平面,平面,

所以平面，且，

故平面，平面, 则，

所以三条直线两两垂直，（6分）

故建立如图以为原点建立空间直角坐标系

设，则，

由条件可得 ，解得，（7分）

则的中点，

所以，设平面的一个法向量为， ，取，

同理可求得平面的一个法向量为（10分）

所以．

所以二面角的正弦值为

可以判断此二面角为钝角，所以二面角的正切值为．（12分）

21．（1）设，由点A在椭圆C上，得，解得，

所以，（1分）

又焦点F与短轴两端点构成等边三角形，

所以，所以，，

所以椭圆C的方程为．（2分）

（2）①设，当l与x轴垂直时，恒成立；（3分）

当l与x轴不垂直时，因为OE都平分，即，

所以，

设，，直线l的斜率为，

则直线l的方程为，

又，，

所以，（4分）

又，，

所以，即，（5分）

联立方程组消去y，得，，

所以，，（7分）

代入上式可得，即点．（8分）

②当l与x轴垂直时，；（9分）

当l与x轴不垂直时，，

令，则，（11分）

当时，即时，取到最大值，此时最大，最大为，

综上，的面积的最大值为．（12分）

22．（1）由题意，，设切点坐标为，则切线方程为．（1分）

因为直线l过点，所以把点的坐标代入切线方程，

得，整理得．（2分）

令，则，

当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，（4分）

又，，所以有唯一实数解，则，

所以．（5分）

（2），等价于，．（6分）

令，则，

令，则在上恒成立，所以在上单调递增．

因为，，所以在上存在唯一，使得，

即，则，所以．（8分）

令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，又由，，得，即．（10分）

当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，

得，

所以，即:,

则a的取值范围为．（12分）