数学八年级上册20.1 轴对称获奖课件ppt

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20.1.2 线段的垂直平分线的性质
（1）轴对称的概念：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.（2）两个图形成轴对称：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.（3）线段的垂直平分线：经过线段中点且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线．
问题1：分别量一量点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？ 相等
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点
探究一：线段垂直平分线的性质
活动1
整合旧知，探究线段垂直平分线的性质
问题2：把上图沿着直线l折叠，你有什么发现？ 线段P1A与P1B，P2A与P2B，P3A与P3B重合.
问题3：P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，你能从推理的角度给出证明吗？
探究一：线段垂直平分线的性质
证明：∵l⊥AB ∴ ∠PCA=∠PCB 在△PAC和△PBC中 AC=BC ∠PCA=∠PCB PC=PC ∴△PAC≌△PBC ∴ PA=PB
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC ，点P在l上. 求证：PA=PB
探究一：线段垂直平分线的性质
重点、难点知识★▲
问题4：上述问题中，如果PA=PB，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 如果在请证明，如果不在请说明理由.
点P在线段AB的垂直平分线上
探究一：线段垂直平分线的性质
∴∠PCA=∠PCB=90°在Rt△PAC和Rt△PBC中 PA=PBPC=PC∴Rt△PAC≌Rt△PBC∴AC=BC∴点P在线段AB的垂直平分线上
证明：过点P作PC⊥AB于点C，
点P在线段AB的垂直平分线上
探究一：线段垂直平分线的性质
问题5：上述问题中，辅助线的添加还有别的方法吗？
反思刚才的辅助线添加方法，是作垂直证明点C 是中点，是否可以连接点P和AB的中点，证明PC垂直AB呢？
可以
探究一：线段垂直平分线的性质
证明：连接点P与AB的中点C， ∵点C 是AB中点 ∴ AC=BC在△PAC和△PBC中 PA=PB PC=PC AC=BC ∴△PAC≌△PBC ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴点P在线段AB的垂直平分线上
探究一：线段垂直平分线的性质
问题6：反思PA=PB，可以得到点P在线段AB的垂直平分线上，平面内，像点P这样的点有多少个？它们有怎样的特征？
到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
探究一：线段垂直平分线的性质
1．通过前面的探究，我们知道线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2．求两条线段相等的方法：通常将所求线段设法转化到两个三角形中，利用三角形全等来解决.
探究二：运用线段垂直平分线的性质
活动1
线段垂直平分线的性质
例1 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB于点D，CE=4，△BCD的周长为16，则△ABC的周长是______ .
解：∵ED是线段AC的垂直平分线， CE=4∴DC=DA，CE=AE=4∵△BCD的周长为16∴DC+DB+BC=16∴DA+DB+BC=16，即CB+AB=16∴△ABC的周长为16+8=24
【思路点拨】由线段垂直平分线的定义可知DC=DA，CE=AE=4，DC+DB+BC=DA+DB+BC=16，所以△ABC的周长为16+8=24.
探究二：运用线段垂直平分线的性质
练习：如图，AD垂直平分线段BC，点C在AE的垂直平分线上. 则线段AB、BD、DE之间的数量关系是_________.
解：∵AD垂直平分线段BC∴BD=CD，AB=AC∵点C在AE的垂直平分线上∴CA=CE∴AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE
【思路点拨】由线段垂直平分线的性质可得：BD=CD，AB=AC，CA=CE，所以AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE.
探究二：运用线段垂直平分线的性质
探究二：运用线段垂直平分线的性质
活动2
线段垂直平分线的判定
例2 如图，已知PA=PB，QA=QB. 求证：直线PQ垂直平分线段AB.
方法1证明：在△PAQ和△PBQ中 ∴△PAQ≌△PBQ ∴∠APQ=∠BPQ在△PAC和△PBC中 ∴△PAC≌△PBC∴ AC=BC，∠ACP=∠BCP=90°∴ 直线PQ垂直平分线段AB
例2 如图，已知PA=PB，QA=QB. 求证：直线PQ垂直平分线段AB.
探究二：运用线段垂直平分线的性质
方法2证明：∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 ∵QA=QB. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上 ∴直线PQ垂直平分线段AB
【思路点拨】由三角形全等或线段垂直平分线的判定可以直接得出结论.
练习：如图，AD、BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE. 求证：OE垂直平分BD.
证明：在△AOB和△COD中 ∠A=∠C OA=OC ∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD ∴OB=OD ∴点O在线段BD的垂直平分线上 ∵BE=DE ∴点E在线段BD的垂直平分线上 ∴OE垂直平分BD
探究二：运用线段垂直平分线的性质
例1 已知：直线AB和AB 外一点P. 求作：AB的垂线，使它经过点P.
作法：1.任意取一点Q，使P、Q在AB的两旁. 2.以P为圆心，PQ长为半径画弧，交直线AB于点C、D. 3.分别以C、D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点E. 4.作直线PE. 直线PE即为所求.
探究三：利用线段垂直平分线的性质作图
活动1
过一点作已知直线的垂线
练习：已知：直线AB上一点P. 求作：AB的垂线，使它经过点P.
作法： 1.以P为圆心，任意长为半径画弧，交直线AB于点C、D. 2.分别以C、D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点E、F. 3.作直线EF. 直线EF即为所求.
探究三：利用线段垂直平分线的性质作图
例2 如图所示的五角星图案是一个轴对称图形，你能作出它的一条对称轴吗？
作法： 1.确定并连接轴对称图形的一对对应点. 2.作所连线段的垂直平分线对应点所连线段的垂直平分线即为所求.
探究三：利用线段垂直平分线的性质作图
活动2
作轴对称图形的对称轴
【思路点拨】因为轴对称图形沿着对称轴折叠能够完全重合，所以作对应点所连线段的垂直平分线即为轴对称图形的对称轴.
练习：如图，在直线AB的同一侧有A、B两点，在直线l上确定一点P，使得点P到A和B的距离相等.
作法： 1.连接AB. 2.作线段AB 的垂直平分线，交直线l于点P . 所以，点P为所求.
【思路点拨】到线段AB两端的距离相等，说明点P在线段AB的垂直平分线上，要在直线l上，说明线段AB的垂直平分线与直线l的交点就正好满足要求.
探究三：利用线段垂直平分线的性质作图
知识梳理
（1）线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（2）过一点作已知直线的垂线的方法.（3）作轴对称图形的对称轴的方法：连接一对对应点，作对应点所连线段的垂直平分线.
重难点归纳
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
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