初中数学人教版 (五四制)八年级上册20.4 课题学习 最短路径问题精品课件ppt

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20.4 最短路径问题
第二课时
（1）在平面内，一个图形沿一定方向、移动一定的距离，这样的图形变换称为平移变换（简称平移）. 平移不改变图形的形状和大小.（2）三角形三边的数量关系：三角形两边的差小于第三边.
上节课我们认识了精通数学、物理学的学者海伦，解决了数学史中的经典问题——“将军饮马问题”，但善于观察与思考的海伦在解决“两点（直线同侧）一线” 的最短路径问题时他从另一角度发现了“最大值”的情况，今天我们一起来探究下.
探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题
活动1
回顾旧知，引入新知
探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题
活动2
整合旧知，探究新知
例1. 如图， A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．
怎么作图呢？
【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法. 此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交于点C.
解：如图1所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的延长线交l于点C，则点C即为所求．
探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题
回忆我们是怎么利用轴对称的知识证明“两点（直线同侧）一线型”时AC +BC最小的吗？试类比证明“｜AC－BC｜最大”的作法是否正确性？
探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题
活动3
类比建模，证明新知
理由：在直线l上任找一点C ′ (异于点C )，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.又在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.
练习 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系，如图所示. 若P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，请在图中画出点P与点Q.
【思路点拨】当点P与A、B共线时，即在线段AB的延长线上，点P为直线AB与x轴的交点，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB. 将点A、B看成y轴同侧有两点：在y轴上求一点Q，使得QA+QB最小
探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题
如图，点P与点Q即为所求.
解：⑴延长线段AB，AB与x轴交于点P，则此时P是x轴上使得|PA－PB|的值最大的点，即｜PA－PB｜=AB；⑵作点A关于x轴的对称点A′，A′B的连线交y轴于点Q，则点Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点.
探究一：运用轴对称解决距离之差最大问题
常说“遇山开路，遇水搭桥”，生活中的建桥问题与我们所学习的轴对称有什么关系呢？如图，在笔直河岸CD上的点A处需建一座桥，连接河岸EF，且CD∥EF. 显然当桥AB垂直于河岸时，所建的桥长最短.
探究二：利用平移解决造桥选址问题
活动1
结合实际，难点分解
例2. 如图，A、B两地位于一条河的两岸，现需要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
探究二：利用平移解决造桥选址问题
活动2
生活中的实际问题
【思路点拨】需将实际问题抽象成数学问题：从点A到点B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．如图1，此时两线段AM、BN应在同一平行方向上，平移MN到A A′，则AA′=MN，AM+NB= A′N+NB，这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
探究二：利用平移解决造桥选址问题
如图2，连接A′，B两点的线中，线段 A′B最短，因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径A→M→N→B是最短的.
作法：⑴如图2，平移MN到 AA′（或者过点A作A A′垂直于河岸），且使AA′等于河宽．⑵连接B A′与河岸的一边b交于点N.⑶过点N作河岸的垂线交另一条河岸a于点M. 如图所示，则MN为所建的桥的位置．
探究二：利用平移解决造桥选址问题
上述作图为什么是最短的？请你想想.
探究二：利用平移解决造桥选址问题
活动3
几何证明
证明：由平移的性质，得 MN∥AA′， 且MN= AA′， AM=A′N， AM∥A′N，所以A、B两地的距离：AM+MN+BN= AA′+ A′N+ BN = AA′+ A′B.如图2，不妨在直线b上另外任意取一点N′， 若桥的位置建在N′M′处，过点N′作N′M ′⊥a，垂足为M ′，连接AM ′，A′N ′，N ′B.由平行知：AM′=A′N′， AA′= N′M′，则建桥后AB两地的距离为：AM′+M′N′+N′B=A′N′+AA′+N′B=AA′+A′N′+N′B. 在△A′N′B中，∵A′N′+N′B＞A′B，∴AA′+A′N′+N′B＞AA′+A′B ，即AM′+M′N′+N′B＞AM+MN+BN.所以桥建在MN处，AB两地的路程最短.
练习 如图1，江岸两侧有A、B两个城市，为方便人们从A城经过一条大江到B城的出行，今欲在江上建一座与两岸垂直的大桥，且笔直的江岸互相平行. 应如何选择建桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？
解： (1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽；(2)连接BC与河岸的一边交于点N；(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.如图2所示，则MN为所建的桥的位置．
探究二：利用平移解决造桥选址问题
知识梳理
本堂课主要知识为两个最值问题：（1）利用轴对称知识解决“线段距离之差最大”问题；（2）利用平移、两点间线段最短解决“造桥选址”问题．
重难点归纳
解决线段最值问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
（1）“距离之差最大”问题的两种模型：①如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大；②如果两点在一条直线的异侧时，先作其中一点关于直线的对称点，转化为①即可. 通常求最大值或最小值的情况，常取其中一个点的对称点来解决，而用三角形三边的关系来推证说明其作法的正确性．
重难点归纳
（2）“造桥选址”问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
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