人教版（五四学制）九上数学 28.1.4 二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象和性质第3课时 课件+教案

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28.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第三课时
（1）二次函数表达式常见的三种形式是：
（h,k）
活动1
探究一：利用一般式求二次函数解析式
回顾旧知,引出新知
重点、难点知识★▲
问题1：一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
2个
问题2：求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法：(1)设：（表达式）；(2)代：（坐标代入）；(3)解：方程（组）；(4)还原：（写解析式）
问题3：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？
3个
活动2
探究一：利用一般式求二次函数解析式
重点、难点知识★▲
已知二次函数图象经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的解析式.
解析：设一般式y＝ax2＋bx＋c，再把已知三点坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可.
解： 设这个二次函数的表达式是y＝ax2＋bx＋c，
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y＝ax2＋bx＋c得
解得
∴所求的二次函数的表达式是y＝-x2-4x-3.
问题：已知抛物线上三个点如何确定二次函数解析式？
活动2
探究一：利用一般式求二次函数解析式
重点、难点知识★▲
一般式法求二次函数解析式的方法：
这种已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数解析式.
若题目给出了二次函数图象上三个点的坐标，则可采用一般式求解.
活动
探究二：利用顶点式求二次函数解析式
重点、难点知识★▲
问题：已知顶点坐标及图象上另一点坐标，能否求出二次函数解析式？如何进行？
已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，且经过点N(2，3)，求此二次函数的解析式．
解析：因为抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，所以设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N (2，3)代入解析式解答．
解：已知抛物线的顶点坐标为M(1，－2)，设此二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－2，把点N(2，3)代入解析式，得a－2＝3，即a＝5，∴此函数的解析式为y＝5(x－1)2－2.
活动
探究二：利用顶点式求二次函数解析式
重点、难点知识★▲
顶点式法求二次函数解析式的方法：
这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法.
①设函数解析式是y=a(x-h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数解析式.
若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
活动
探究三：利用交点式求二次函数解析式
重点、难点知识★▲
问题：已知抛物线与x轴两交点坐标或一交点坐标和对称轴如何确定二次函数解析式？
已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，－3)，且对称轴是直线x＝2，求此二次函数的解析式．
解析：可设交点式y＝a(x－1)(x－3)，然后把B点坐标代入求出a即可；
解：∵对称轴是直线x＝2，∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(3，0)．设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把B(0，－3)代入得a(－1)×(－3)＝－3，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3.
活动
探究三：利用交点式求二次函数解析式
重点、难点知识★▲
交点式法求二次函数解析式的步骤：
这种知道抛物线与x轴的交点坐标，求解析式的方法叫做交点式法.
②先把两交点的横坐标x1，x2代入到解析式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数解析式.
已知抛物线与x轴两交点或一交点和对称轴，则采用交点式求解简单．
活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
基础型例题
例1 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.
【解题过程】
【思路点拨】已知二次函数图象经过任意三点，可直接设表达式为一般式，代入可得三元一次方程组，解之即可求出待定系数.
活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
练习:已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B(2，-3)，C(0，-3)，求函数的表达式和对称轴.
【解题过程】
基础型例题
活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
例2 已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求这个二次函数的表达式.
【解题过程】
【思路点拨】此题只告诉了两个点的坐标，但其中一点为顶点坐标，所以表达式可设顶点式：y=a(x-h)2+k，即可得到一个关于字母a的一元一次方程，再把另一点代入即可求出待定系数.在设表达式时注意h的符号.
基础型例题
活动1
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
【解题过程】
∴与x轴交点坐标为(-3，0)、(1，0).
基础型例题
活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
提升型例题
例3 已知抛物线经过三点（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
【解题过程】
即y＝-x2-4x-3.
【思路点拨】因为已知点为抛物线与x轴的交点，表达式可设为交点式，再把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程组简单.而顶点可根据顶点公式求出.
活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
练习：已知一抛物线经过三点A(-2，0)、B(1，0)、C(2，8).试求该抛物线的表达式及顶点坐标.
【解题过程】
解:∵A(-2，0)、B(1，0)是抛物线与x轴两交点，∴设表达式为y=a(x+2)(x-1)，把C(2，8)代入上式，则有a(2+2)(2-1)=8,∴a=2.∴此函数的表达式为y=2x2+2x-4.
提升型例题
活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
例4 如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
【解题过程】
解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC=AB=5，∴点C的坐标为（0，5）；
所以这个二次函数的解析式为：
提升型例题
活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
【思路点拨】（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这个二次函数解析式．
提升型例题
例4 如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．
（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．
活动2
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
练习：已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C.
【解题过程】
解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6，得0=9+3b+6，解得b=﹣5，所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6； ∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
提升型例题
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
探究型例题
例5 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?
【解题过程】
解法1：
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
探究型例题
例5 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?
【解题过程】
解法2：
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
【思路点拨】分别找出用三种方法求解析式的条件，分别求解.
探究型例题
例5 一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?
【解题过程】
解法3：
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
练习：如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象，请求出其表达式。
【解题过程】
解：∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,
∴设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3，
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为
【思路点拨】观察图象知，已知抛物线的顶点和另一点坐标，用顶点式求解.
探究型例题
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
【解题过程】
（2）对称轴为x=2 ；顶点坐标为（2，-10）．
探究型例题
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6．
探究型例题
【解题过程】
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
【思路点拨】（1）用待定系数法求解析式；（2）用对称轴方程和顶点坐标公式写出，也可用配方法写出；（3）先将P（m，m）代入抛物线解析式求出m值，再求Q点坐标.
探究型例题
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
【解题过程】
探究型例题
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
探究型例题
练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
【解题过程】
活动3
探究四：用待定系数法求二次函数解析式的训练
重点、难点知识★▲
探究型例题
练习：如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
知识梳理
（1）待定系数法求解析式的一般步骤：
①设：（表达式）；②代：（坐标代入）；③解：方程（组）；④还原：（写解析式）
（2）待定系数法求二次函数解析式的一般方法：
(其中x1，x2为交点的横坐标）
重难点归纳
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴或最大（小）值，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
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