人教版（五四学制）九上数学 31.4 弧长和扇形面积第2课时 课件+教案

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31.4 弧长和扇形面积
第二课时
（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾
弧长 ，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）
扇形面积 ，（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）
上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？
上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？
（2）圆锥的再认识
它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面.
我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？
为什么是相等的呢？
有无数条，它们是相等的.
如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？
探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
活动1
创设情景，感受新知
重点知识★
要想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体的那个部分？ 圆锥体的侧面
由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法将其转化为平面图形呢？ 沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形.
要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了，这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了. 但是求这个扇形的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？
探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
重点知识★
①需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，但圆心角度数是未知的；②也可以通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来的，因此也相当于是已知的.
探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
重点知识★
大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为_____；（3）因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为__________.
活动2
小组合作，探究新知
l
2πr
πrl
πr (l+r)
探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
重点知识★
归纳：①如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，根据上节课学习的扇形面积公式 （其中l表示扇形的弧长，R表示扇形半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是 ；②圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：③通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积.
探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式
重点知识★
例1 已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_______，全面积是____________.
解：∵母线l＝4，底面半径r＝3 ∴由圆锥侧面积计算公式得： 由圆锥全面积计算公式得：
【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得.
活动1
基础性例题
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
练习 已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是_______，全面积是_________.
解：∵母线l＝8，底面半径r＝4 ∴由圆锥侧面积计算公式得： 由圆锥全面积计算公式得：
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
例2 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_______，全面积是_______.
解：∵底面半径为3，高为4， ∴由勾股定理得，母线＝5
【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时，并没有直接告诉圆锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线.
∴由圆锥侧面积计算公式得： 由圆锥全面积计算公式得：
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
练习 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=8，BC=6，将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（ ）A. 30π B. 40π C. 50π D. 60π
解：将△ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到的是一个圆锥体
∵ ∠ACB=90o，AC=8，BC=6
∴由勾股定理，AB＝10∴由圆锥侧面积计算公式得：
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
例1 已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm²，则这个圆锥的底面半径是________.
【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”.
解：∵母线长l＝5cm，圆锥侧面积 ∴圆锥侧面积计算公式： 解得： r=4 ∴底面半径为4cm.
活动2
提升型例题
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
练习 用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则该圆锥的底面半径是________.
解：∵围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm ∴圆锥的侧面积为 而圆锥侧面积 解得： r=20 ∴该圆锥的底面半径是20cm.
【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形，因此它的面积还可以用扇形的另一个计算公式计算 ，用两种计算方式可以得到一个等量关系.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______.
解法一：∵圆锥的底面半径是4，母线长是12∴圆锥侧面积＝设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n所以展开图的面积还可以表示为： ∴ ，解得：n＝120∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
解法二：∵圆锥的底面半径是4∴底面周长＝2π×4=8π设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n∵圆锥的母线长是12∴侧面展开图的弧长＝∴ ， 解得：n＝120∴这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120°.
例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求，即 ；另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 ，这样就得到 ，解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角 ，其中r表示圆锥底面半径，l表示圆锥母线.还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长 2πr；另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于 ，这样就得到 ，同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角 .
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
练习 用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_______.
解法一：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°∴扇形面积＝设底面半径为r由题意，圆锥的母线为30cm∴圆锥的侧面积＝∴ ，解得：r＝10 ∴该圆锥的底面半径是10cm.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
解法二：∵扇形的半径为30cm，圆心角为120°∴扇形弧长＝设底面半径为r∴底面圆的周长为2πr∴ ，解得： r＝10 ∴该圆锥的底面半径是10cm.
练习 用半径为30cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_______.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过母线和底面半径来求，即 ；一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 .还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过底面半径来求，即 2πr； 一方面也可以通过扇形的弧长计算公式来求，即 .
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
例1 回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？（π取3.142）
活动3
探究型例题
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
解：∵母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm∴一顶圣诞帽需要的材料是 cm²∴生产这种帽身10000个，需要 cm² ＝75π m² ≈ 235.65 m².∴玩具厂至少需235.65平方米的材料
【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积公式即可，但实际问题需要注意单位问题.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
练习 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？（结果精确到0.1 cm2）
解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为lcm，∵纸帽的底面周长为58 cm，∴ ，解得： 又∵纸帽的高为20 cm∴由勾股定理得： ∴一顶纸帽的面积为∴要制作20顶这样的纸帽至少要用 .【思路点拨】要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸, 只要计算纸帽的侧面积即可.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
例2 如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？
解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB’，连接BB’，则BB’为蚂蚁走过的最短路径，设∠BAB’＝n°，∵AB＝AB’＝6则弧BB’＝ 又∵弧BB’＝底面圆的周长＝2πr＝2π∴ ，解得：n＝60°∴∠BAB’＝60°
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
例2 如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？
∵AB＝AB’ ＝6∴△ABB’为等边三角形∴BB’＝AB＝AB’＝6即蚂蚁爬行的最短距离是6.
【思路点拨】本题需找到蚂蚁爬行的最短路径是什么，再通过弧BB’的两种计算方法建立方程，求出∠BAB’＝60°.
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB’，则点C位于展开图中弧BB’的中点C’处，连接AC’，过点B作BD⊥AC’于点D，则BD为蚂蚁所走的最短路线，设∠BAB’＝n°，∵AB＝AB’＝3则弧BB’＝ 又∵弧BB’＝底面圆的周长＝2πr＝2π∴ ，解得：n＝120°∴∠BAB’＝120°
练习 如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
又∵C’是弧BB’的中点∴∠DAB＝又∵BD⊥AC’∴AD＝∴由勾股定理：BD＝∴蚂蚁爬行的最短距离是 .
练习 如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？
探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题
难点知识▲
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥有无数条母线，它们的长度都相等，每条母线l＝ （h表示圆锥的高，r表示底面半径）.（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则该圆锥的侧面展开图的面积是 .（3）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则 .
（1）注意圆锥侧面积、全面积的区别.（2）侧面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用.（3）全面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用.（4）在圆锥侧面展开图里，侧面积的计算有两种方式，一种是根据侧面积计算公式来算，另一种则是利用展开图的圆心角度数和半径来算，往往会利用这两种方式建立方程.（5）在圆锥侧面展开图里，弧长的计算有两种方式，一种是利用展开图的圆心角度数和半径来算，另一种则是根据底面的周长来算，往往会利用这两种方式建立方程.
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