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2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益中学七年级（下）第一次月考数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益中学七年级（下）第一次月考数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益中学七年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分）
1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③±4是64的立方根；
④带根号的数都是无理数；
⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知，则（ ）
A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2
5．如图，点E在BC的延长线上，由下列条件能得到AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
6．如图，矩形ABCD沿EF对折后，若∠1＝48°，则∠DEF的度数是（ ）
A．66° B．56° C．46° D．60°
7．如图所示，DE∥BC，CD平分∠BCA，∠2＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）
9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝100°，则∠4的度数是（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的大小是（ ）
A．150° B．130° C．140° D．120°
二、填空题（共6题，每题3分）
11．的算术平方根是 ．
12．在实数，，0.1414，，0.1010010001…，，，0.中，无理数有 个．
13．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 m2．
14．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
15．对于实数a，b定义min（a，b）的含义为：当a＜b时，min（a，b）＝a，例如：min（1，﹣2）＝﹣2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则（a﹣b）的立方根为 ．
16．一副直角三角尺叠放如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺的一组边互相平行，则∠CAE（0°＜CAE＜180°）的度数可能等于
三、解答题（共9道题，17，18，19每小题6分，20，21题每题8分，22，23题每题9分，24，25题每题10分）
17．计算：．
18．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
19．解方程：
（1）9（x﹣2）2﹣1＝24；
（2）27（x﹣1）3+125＝0．
20．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
21．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
22．如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别和交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）AB+AC＞BC，其依据是 ；BC＞AB，其依据是 ；
（2）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（3）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求点A到直线BC的距离．
23．如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：∠2＝∠4；
（2）试求出∠ADC的度数．
24．（1）【问题】如图①，∠AOB为平角，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数，并写出∠COE的余角．
（2）【拓展】如图②，∠AOB＝α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON的大小为 （用含字母α的代数式表示）；
（3）【应用】如图③，AM∥BN，∠A＝70°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，分别交射线AM于点C，D．求∠ACB与∠ADB的差．
25．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．
参考答案
一、选择题（共10题，每题3分）
1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：在四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段AC所在直线的垂线段，
其它三个都不是，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2．下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】本题考查了同位角的应用，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．
3．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③±4是64的立方根；
④带根号的数都是无理数；
⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据平行公理、垂直的定义、立方根的概念、无理数的概念、实数与数轴判断即可．
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题；
③4是64的立方根，故本小题说法是假命题；
④带根号的数都不一定是无理数，故本小题说法是假命题；
⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，本小题说法是真命题，
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．已知，则（ ）
A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2
【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．
解：∵≈44.96，
∴≈4.496．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
5．如图，点E在BC的延长线上，由下列条件能得到AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
【分析】根据内错角相等，两直线平行进行解答．
解：A．根据∠1＝∠2，可得AB∥CD，故A错误；
B．根据∠3＝∠4，可得AD∥BC，故B正确；
C．根据∠B＝∠DCE，可得AB∥CD，故C错误；
D．根据∠D+∠DAB＝180°，可得AB∥CD，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定，准确识图，找出内错角是解题的关键．
6．如图，矩形ABCD沿EF对折后，若∠1＝48°，则∠DEF的度数是（ ）
A．66° B．56° C．46° D．60°
【分析】根据翻折的性质可得∠2＝∠3，进而求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解：∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝48°，
∴∠3＝∠2＝＝66°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠DEF＝∠3＝66°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等并准确识图是解题的关键．
7．如图所示，DE∥BC，CD平分∠BCA，∠2＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先由DE∥BC知∠2＝∠BCD＝30°，再由CD平分∠ACB得∠1＝∠BCD＝30°．
解：∵DE∥BC，∠2＝30°，
∴∠2＝∠BCD＝30°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠BCD＝30°．
故选A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和角平分线的定义．
8．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）
【分析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值列方程求出a的值，然后求解即可．
解：∵点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，
∴a﹣1＝﹣2，
解得a＝﹣1，
所以，a+5＝﹣1+5＝4，
所以，点P的坐标为（4，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝100°，则∠4的度数是（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
【分析】根据平行线的性质定理和判定定理即可解答．
解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠5＝∠3＝100°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝80°
则∠4的度数是80°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的大小是（ ）
A．150° B．130° C．140° D．120°
【分析】首先过B作BE∥AM，根据AM∥CN，可得AM∥BE∥CN，进而得到∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，然后可求出∠C的度数．
解：过B作BE∥AM，
∵AM∥CN，
∴AM∥BE∥CN，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠1＝120°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠2＝150°﹣120°＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
二、填空题（共6题，每题3分）
11．的算术平方根是 3 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
解：∵＝9，
又∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道，实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念．
12．在实数，，0.1414，，0.1010010001…，，，0.中，无理数有 4 个．
【分析】直接根据无理数的概念解答即可．
解：，
故在实数，，0.1414，，0.1010010001…，，，0.中，无理数有，，0.1010010001…，，共4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
13．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 560 m2．
【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（30﹣2）×（22﹣2）m2，进而即可求出答案．
解：利用平移可得，所有绿化面积之和为（30﹣2）×（22﹣2）＝560（m2）
答：绿化的面积为560m2．
故答案为：560．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
14．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．
【分析】首先过点E、F作EG、FH平行于AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．
解：如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
故答案为：540°．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
15．对于实数a，b定义min（a，b）的含义为：当a＜b时，min（a，b）＝a，例如：min（1，﹣2）＝﹣2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则（a﹣b）的立方根为 ﹣1 ．
【分析】先根据题意确定出a＜＜b，通过故算的大小求出a、b的值，最后代入a﹣b求出其立方根即可．
解：∵min（，a）＝a，min（，b）＝，
∴a＜＜b，
∵＜＜，
∴6＜＜7，
∵a和b为两个连续正整数，
∴a＝6，b＝7，
∴a﹣b＝﹣1，
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴a﹣b的立方根是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是新定义和无理数的估算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
16．一副直角三角尺叠放如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺的一组边互相平行，则∠CAE（0°＜CAE＜180°）的度数可能等于 15°或60°或105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数．
解：如图2，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°．
故答案为：15°或60°或105°或135°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
三、解答题（共9道题，17，18，19每小题6分，20，21题每题8分，22，23题每题9分，24，25题每题10分）
17．计算：．
【分析】直接利用算术平方根、立方根、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝﹣1+4﹣2﹣（2﹣）
＝﹣1+4﹣2﹣2+
＝﹣1+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
解：由数轴可得：﹣1＜b＜0，1＜a＜2，
则1﹣a＜0，b+1＞0，a﹣2＜0，
故原式＝a﹣1+2﹣a﹣（b+1）+b
＝a﹣1+2﹣a﹣b﹣1+b
＝0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确得出各式的符号是解题关键．
19．解方程：
（1）9（x﹣2）2﹣1＝24；
（2）27（x﹣1）3+125＝0．
【分析】（1）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解；
（2）如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可求解．
解：（1）9（x﹣2）2﹣1＝24，
（x﹣2）2＝，
∴x﹣2＝±，
∴x＝或x＝；
（2）27（x﹣1）3+125＝0，
（x﹣1）3＝﹣，
∴x﹣1＝﹣，
∴x＝﹣．
【点评】本题考查平方根，立方根，关键是掌握平方根，立方根的定义．
20．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
21．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，然后再利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据已知和平角定义可得∠BOD＝30°，再利用对顶角相等可得∠AOC＝30°，然后再利用（1）的结论∠COE＝90°，进行计算即可解答；
解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝36°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝54°，
∴∠BOE的度数为54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴∠BOD＝180°×＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°，
∴∠AOE的度数为120°；
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
22．如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别和交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）AB+AC＞BC，其依据是 三角形任意两边之和大于第三边 ；BC＞AB，其依据是 直角三角形的斜边一定大于任意一条直角边 ；
（2）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（3）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求点A到直线BC的距离．
【分析】（1）根据三角形的三边关系及直角三角形的性质解答即可；
（2）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质即可得出结论；
（3）设点A到直线BC的距离为d，由三角形的面积公式即可得出结论．
解：（1）∵线段AB，AC及BC构成三角形，
∴AB+AC＞BC；
∵AC⊥AB，
∴∠BAC是直角三角形，
∴BC＞AB．
故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；直角三角形的斜边一定大于任意一条直角边；
（2）∵AC⊥AB，∠1＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠B＝30°；
（3）设点A到直线BC的距离为d，
∵AC＝3，AB＝4，BC＝5，AC⊥AB，
∴AC•AB＝BC•d，即3×4＝5d，
∴d＝．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
23．如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：∠2＝∠4；
（2）试求出∠ADC的度数．
【分析】（1）先利用同位角相等，两直线平行可得DP∥AC，然后再利用平行线的性质，即可解答；
（2）先根据垂直定义可得∠EFC＝90°，再利用（1）的结论和已知易得∠3+∠4＝180°，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得AD∥EF，然后利用平行线的性质，即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠C，
∴DP∥AC，
∴∠2＝∠4；
（2）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠2＝∠4，∠2+∠3＝180˚，
∴∠3+∠4＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠ADF＝∠EFC＝90°，
∴∠ADC的度数为90°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（1）【问题】如图①，∠AOB为平角，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数，并写出∠COE的余角．
（2）【拓展】如图②，∠AOB＝α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON的大小为 （用含字母α的代数式表示）；
（3）【应用】如图③，AM∥BN，∠A＝70°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，分别交射线AM于点C，D．求∠ACB与∠ADB的差．
【分析】（1）根据角的和差及平角的定义、互为余角的定义即可求解；
（2）由射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，可得∠MOC＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，因为∠MON＝∠MOC+∠CON，代入即可得出答案；
（3）根据平行线的性质可得∠ABN＝180°﹣68°＝112°，再根据（1）中的结论可得出∠CBD的度数，再根据三角形的外角定理∠ACB＝∠ADB+∠CBD，即可得出答案．
解：（1）∵射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠DOC＝∠DOA＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠AOC+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×180°
＝90°，
∵∠DOC+∠COE＝∠DOA+∠COE＝90°，
∴∠COE的余角有：∠DOC和∠DOA；
（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，
∵∠MON＝∠MOC+∠CON＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+BOC）＝∠AOB＝，
故答案为：；
（3）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABN＝180°﹣70°＝110°，
又∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，
∴由（1）结论可知，
∠CBD＝∠ABN＝×110°＝55°，
∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，
∴∠ACB﹣∠ADB＝∠CBD＝55°，
即∠ACB与∠ADB的差为55°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及线段的中点，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解决本题的关键．
25．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．
【分析】（1）过点B作BP∥AD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠HAB，再根据已知和角的和差关系可得∠CBP＝∠BCG，从而可得BP∥CE，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠HAF＝∠FAB＝β，从而可得∠HAB＝2β，再根据已知∠FCG＝2∠FCB＝2α，然后利用猪脚模型可得∠F＝∠HAF+∠FCG，从而可得∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝3（α+β），进行计算即可解答；
（3）利用角平分线的定义可得∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠BCR＝∠MBC，从而可得∠BCG＝2∠MBC，然后根据已知可得∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2∠NBM，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD，
∴∠ABP＝∠HAB，
∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，
∴∠CBP＝∠BCG，
∴BP∥CE，
∴AD∥CE；
（2）解：∵AF平分∠HAB，
∴∠HAF＝∠FAB＝β，
∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，
∵∠BCF＝∠BCG＝α，
∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，
∵∠B＝∠HAB+∠BCG，
∴∠F＝∠HAF+∠FCG，
∵α+β＝50°，
∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG
＝2β+α+β+2α
＝3α+3β
＝3（α+β）
＝150°，
∴∠B+∠F的度数为150°；
（3）解：∠NBM的值不变，
理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∴∠BCG＝2∠MBC，
∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°，
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG
＝2∠NBC﹣2∠MBC
＝2（∠NBC﹣∠MBC）
＝2∠NBM，
∴∠NBM＝∠HAB＝20°，
∴∠NBM的值为20°
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
2022-2023学年湖南省长沙市雨花区广益中学七年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（共10题，每题3分）
1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③±4是64的立方根；
④带根号的数都是无理数；
⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知，则（ ）
A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2
5．如图，点E在BC的延长线上，由下列条件能得到AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
6．如图，矩形ABCD沿EF对折后，若∠1＝48°，则∠DEF的度数是（ ）
A．66° B．56° C．46° D．60°
7．如图所示，DE∥BC，CD平分∠BCA，∠2＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）
9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝100°，则∠4的度数是（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的大小是（ ）
A．150° B．130° C．140° D．120°
二、填空题（共6题，每题3分）
11．的算术平方根是 ．
12．在实数，，0.1414，，0.1010010001…，，，0.中，无理数有 个．
13．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 m2．
14．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ ．
15．对于实数a，b定义min（a，b）的含义为：当a＜b时，min（a，b）＝a，例如：min（1，﹣2）＝﹣2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则（a﹣b）的立方根为 ．
16．一副直角三角尺叠放如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺的一组边互相平行，则∠CAE（0°＜CAE＜180°）的度数可能等于
三、解答题（共9道题，17，18，19每小题6分，20，21题每题8分，22，23题每题9分，24，25题每题10分）
17．计算：．
18．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
19．解方程：
（1）9（x﹣2）2﹣1＝24；
（2）27（x﹣1）3+125＝0．
20．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
21．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
22．如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别和交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）AB+AC＞BC，其依据是 ；BC＞AB，其依据是 ；
（2）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（3）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求点A到直线BC的距离．
23．如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：∠2＝∠4；
（2）试求出∠ADC的度数．
24．（1）【问题】如图①，∠AOB为平角，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数，并写出∠COE的余角．
（2）【拓展】如图②，∠AOB＝α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON的大小为 （用含字母α的代数式表示）；
（3）【应用】如图③，AM∥BN，∠A＝70°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，分别交射线AM于点C，D．求∠ACB与∠ADB的差．
25．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．
参考答案
一、选择题（共10题，每题3分）
1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：在四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段AC所在直线的垂线段，
其它三个都不是，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2．下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】本题考查了同位角的应用，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．
3．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③±4是64的立方根；
④带根号的数都是无理数；
⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据平行公理、垂直的定义、立方根的概念、无理数的概念、实数与数轴判断即可．
解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题；
③4是64的立方根，故本小题说法是假命题；
④带根号的数都不一定是无理数，故本小题说法是假命题；
⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，本小题说法是真命题，
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．已知，则（ ）
A．4.496 B．1.422 C．449.6 D．142.2
【分析】直接利用算术平方根的性质化简得出答案．
解：∵≈44.96，
∴≈4.496．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
5．如图，点E在BC的延长线上，由下列条件能得到AD∥BC的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠B＝∠DCE D．∠D+∠DAB＝180°
【分析】根据内错角相等，两直线平行进行解答．
解：A．根据∠1＝∠2，可得AB∥CD，故A错误；
B．根据∠3＝∠4，可得AD∥BC，故B正确；
C．根据∠B＝∠DCE，可得AB∥CD，故C错误；
D．根据∠D+∠DAB＝180°，可得AB∥CD，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定，准确识图，找出内错角是解题的关键．
6．如图，矩形ABCD沿EF对折后，若∠1＝48°，则∠DEF的度数是（ ）
A．66° B．56° C．46° D．60°
【分析】根据翻折的性质可得∠2＝∠3，进而求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解：∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，∠1＝48°，
∴∠3＝∠2＝＝66°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠DEF＝∠3＝66°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记翻折前后重合的两个角相等并准确识图是解题的关键．
7．如图所示，DE∥BC，CD平分∠BCA，∠2＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】先由DE∥BC知∠2＝∠BCD＝30°，再由CD平分∠ACB得∠1＝∠BCD＝30°．
解：∵DE∥BC，∠2＝30°，
∴∠2＝∠BCD＝30°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠BCD＝30°．
故选A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质和角平分线的定义．
8．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣2，4） D．（2，﹣4）
【分析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值列方程求出a的值，然后求解即可．
解：∵点P（a+5，a﹣1）在第四象限，且到x轴的距离为2，
∴a﹣1＝﹣2，
解得a＝﹣1，
所以，a+5＝﹣1+5＝4，
所以，点P的坐标为（4，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝100°，则∠4的度数是（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
【分析】根据平行线的性质定理和判定定理即可解答．
解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴a∥b，
∴∠5＝∠3＝100°，
∴∠4＝180°﹣∠5＝80°
则∠4的度数是80°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
10．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的大小是（ ）
A．150° B．130° C．140° D．120°
【分析】首先过B作BE∥AM，根据AM∥CN，可得AM∥BE∥CN，进而得到∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，然后可求出∠C的度数．
解：过B作BE∥AM，
∵AM∥CN，
∴AM∥BE∥CN，
∴∠A＝∠1，∠2+∠C＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠1＝120°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠2＝150°﹣120°＝30°，
∴∠C＝180°﹣30°＝150°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
二、填空题（共6题，每题3分）
11．的算术平方根是 3 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
解：∵＝9，
又∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道，实际上这个题是求9的算术平方根是3．注意这里的双重概念．
12．在实数，，0.1414，，0.1010010001…，，，0.中，无理数有 4 个．
【分析】直接根据无理数的概念解答即可．
解：，
故在实数，，0.1414，，0.1010010001…，，，0.中，无理数有，，0.1010010001…，，共4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
13．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为 560 m2．
【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（30﹣2）×（22﹣2）m2，进而即可求出答案．
解：利用平移可得，所有绿化面积之和为（30﹣2）×（22﹣2）＝560（m2）
答：绿化的面积为560m2．
故答案为：560．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
14．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝ 540° ．
【分析】首先过点E、F作EG、FH平行于AB，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案．
解：如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∵AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，
故答案为：540°．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
15．对于实数a，b定义min（a，b）的含义为：当a＜b时，min（a，b）＝a，例如：min（1，﹣2）＝﹣2．已知，，且a和b为两个连续正整数，则（a﹣b）的立方根为 ﹣1 ．
【分析】先根据题意确定出a＜＜b，通过故算的大小求出a、b的值，最后代入a﹣b求出其立方根即可．
解：∵min（，a）＝a，min（，b）＝，
∴a＜＜b，
∵＜＜，
∴6＜＜7，
∵a和b为两个连续正整数，
∴a＝6，b＝7，
∴a﹣b＝﹣1，
∵﹣1的立方根是﹣1，
∴a﹣b的立方根是﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是新定义和无理数的估算，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
16．一副直角三角尺叠放如图所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺的一组边互相平行，则∠CAE（0°＜CAE＜180°）的度数可能等于 15°或60°或105°或135°
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数．
解：如图2，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；
如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
如图，当DE∥AC时，∠CAE＝45°+90°＝135°．
综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件的度数为60°或105°或135°．
故答案为：15°或60°或105°或135°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
三、解答题（共9道题，17，18，19每小题6分，20，21题每题8分，22，23题每题9分，24，25题每题10分）
17．计算：．
【分析】直接利用算术平方根、立方根、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝﹣1+4﹣2﹣（2﹣）
＝﹣1+4﹣2﹣2+
＝﹣1+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．
【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
解：由数轴可得：﹣1＜b＜0，1＜a＜2，
则1﹣a＜0，b+1＞0，a﹣2＜0，
故原式＝a﹣1+2﹣a﹣（b+1）+b
＝a﹣1+2﹣a﹣b﹣1+b
＝0．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确得出各式的符号是解题关键．
19．解方程：
（1）9（x﹣2）2﹣1＝24；
（2）27（x﹣1）3+125＝0．
【分析】（1）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解；
（2）如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可求解．
解：（1）9（x﹣2）2﹣1＝24，
（x﹣2）2＝，
∴x﹣2＝±，
∴x＝或x＝；
（2）27（x﹣1）3+125＝0，
（x﹣1）3＝﹣，
∴x﹣1＝﹣，
∴x＝﹣．
【点评】本题考查平方根，立方根，关键是掌握平方根，立方根的定义．
20．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
21．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，然后再利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据已知和平角定义可得∠BOD＝30°，再利用对顶角相等可得∠AOC＝30°，然后再利用（1）的结论∠COE＝90°，进行计算即可解答；
解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝36°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝54°，
∴∠BOE的度数为54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴∠BOD＝180°×＝30°，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝120°，
∴∠AOE的度数为120°；
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
22．如图，直线a∥b，直线AB与a，b分别和交于点A，B，AC⊥AB，AC交直线b于点C．
（1）AB+AC＞BC，其依据是 三角形任意两边之和大于第三边 ；BC＞AB，其依据是 直角三角形的斜边一定大于任意一条直角边 ；
（2）若∠1＝60°，求∠2的度数；
（3）若AC＝3，AB＝4，BC＝5，求点A到直线BC的距离．
【分析】（1）根据三角形的三边关系及直角三角形的性质解答即可；
（2）先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由平行线的性质即可得出结论；
（3）设点A到直线BC的距离为d，由三角形的面积公式即可得出结论．
解：（1）∵线段AB，AC及BC构成三角形，
∴AB+AC＞BC；
∵AC⊥AB，
∴∠BAC是直角三角形，
∴BC＞AB．
故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；直角三角形的斜边一定大于任意一条直角边；
（2）∵AC⊥AB，∠1＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠B＝30°；
（3）设点A到直线BC的距离为d，
∵AC＝3，AB＝4，BC＝5，AC⊥AB，
∴AC•AB＝BC•d，即3×4＝5d，
∴d＝．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
23．如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°．
（1）求证：∠2＝∠4；
（2）试求出∠ADC的度数．
【分析】（1）先利用同位角相等，两直线平行可得DP∥AC，然后再利用平行线的性质，即可解答；
（2）先根据垂直定义可得∠EFC＝90°，再利用（1）的结论和已知易得∠3+∠4＝180°，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得AD∥EF，然后利用平行线的性质，即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠C，
∴DP∥AC，
∴∠2＝∠4；
（2）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∵∠2＝∠4，∠2+∠3＝180˚，
∴∠3+∠4＝180°，
∴AD∥EF，
∴∠ADF＝∠EFC＝90°，
∴∠ADC的度数为90°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
24．（1）【问题】如图①，∠AOB为平角，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数，并写出∠COE的余角．
（2）【拓展】如图②，∠AOB＝α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，则∠MON的大小为 （用含字母α的代数式表示）；
（3）【应用】如图③，AM∥BN，∠A＝70°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，分别交射线AM于点C，D．求∠ACB与∠ADB的差．
【分析】（1）根据角的和差及平角的定义、互为余角的定义即可求解；
（2）由射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，可得∠MOC＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，因为∠MON＝∠MOC+∠CON，代入即可得出答案；
（3）根据平行线的性质可得∠ABN＝180°﹣68°＝112°，再根据（1）中的结论可得出∠CBD的度数，再根据三角形的外角定理∠ACB＝∠ADB+∠CBD，即可得出答案．
解：（1）∵射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠DOC＝∠DOA＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠AOC+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝×180°
＝90°，
∵∠DOC+∠COE＝∠DOA+∠COE＝90°，
∴∠COE的余角有：∠DOC和∠DOA；
（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠CON＝∠BOC，
∵∠MON＝∠MOC+∠CON＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+BOC）＝∠AOB＝，
故答案为：；
（3）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝70°，
∴∠ABN＝180°﹣70°＝110°，
又∵BC、BD分别平分∠ABP、∠PBN，
∴由（1）结论可知，
∠CBD＝∠ABN＝×110°＝55°，
∵∠ACB＝∠ADB+∠CBD，
∴∠ACB﹣∠ADB＝∠CBD＝55°，
即∠ACB与∠ADB的差为55°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及线段的中点，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质是解决本题的关键．
25．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，试探究∠NBM的值，若不变求其值，若变化说明理由．
【分析】（1）过点B作BP∥AD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠HAB，再根据已知和角的和差关系可得∠CBP＝∠BCG，从而可得BP∥CE，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得∠HAF＝∠FAB＝β，从而可得∠HAB＝2β，再根据已知∠FCG＝2∠FCB＝2α，然后利用猪脚模型可得∠F＝∠HAF+∠FCG，从而可得∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝3（α+β），进行计算即可解答；
（3）利用角平分线的定义可得∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，再利用平行线的性质可得∠BCR＝∠MBC，从而可得∠BCG＝2∠MBC，然后根据已知可得∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2∠NBM，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：过点B作BP∥AD，
∴∠ABP＝∠HAB，
∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，
∴∠CBP＝∠BCG，
∴BP∥CE，
∴AD∥CE；
（2）解：∵AF平分∠HAB，
∴∠HAF＝∠FAB＝β，
∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，
∵∠BCF＝∠BCG＝α，
∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，
∵∠B＝∠HAB+∠BCG，
∴∠F＝∠HAF+∠FCG，
∵α+β＝50°，
∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG
＝2β+α+β+2α
＝3α+3β
＝3（α+β）
＝150°，
∴∠B+∠F的度数为150°；
（3）解：∠NBM的值不变，
理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∴∠BCG＝2∠MBC，
∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°，
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG
＝2∠NBC﹣2∠MBC
＝2（∠NBC﹣∠MBC）
＝2∠NBM，
∴∠NBM＝∠HAB＝20°，
∴∠NBM的值为20°
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
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