湖北省随州市曾都区两校2023届九年级下学期3月段考数学试卷(含答案)

九年级数学测试卷

时间：120分钟  分值：120分

一、选择题（共10小题，每题3分）

1. -2023的相反数是 （         ）

A. -2023    B.2023    C.2022    D.2021

2. 科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000105米，该直径用科学记数法表示为 （     ）

A.1.05×10-6     B.10.5×10-6    C.1.05×10-7    D.0.105×10-7

3. 下列计算正确的是（       ）

 A.a2·a3=a6     B.(2a)3=8a3     C.2a3+3a3=5a5    D.(a+1)2=a2+1

4. 将一副直角三角尺按如图所示方式放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是 (           ）

A .45°

B.50°

C.75°

D.60°

5. 某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有6名同学，他们的成绩分别是：

100,99,90,99,88,97.这6名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（       ）

A.99,99     B.90,98    C.98,99     D.94.5,99

6.  如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是（      ）

  A.   B.   

C.       D.          

7. 甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点，同方向匀速跑步500米,先到终点的人原地休息,已知甲先出发2秒．在跑步过程中,甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出下列结论：①a=8；②b=90；③c=123.其中错误的是（     ）

   A.②    B.①②    C.②③   D.①②③

8.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米.则A，B两观测站之间的距离为（       ）

（注：结果有根号的保留根号）.

A.3+3    B.3+3    C.6     D.6   

9.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{2，4}＝4．按照这个规定．方程max{x，﹣x}＝的解为（　　）

A． B． C．或 D．或﹣1

10.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,且过点（1,0），顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：（1）4a-2b+c<0;  (2)8a+c=0;  (3)c=3a-3b; (4)直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2+x1x2=-5，其中正确的有（     ）

A、4个   B 、3个    C、2个   D、1个

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.2-1-tan60°+（π-2011）0+|-|=__________.

12.如图，AB与圆O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为点D，AB=BC=4，则∠AOB=____________.

13. 《算法统宗》是我国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住.设店中共有x间房，可求得x的值为__________.
14. 如图，点A在反比例函数y=（x＜0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，tan∠OBA的值等于，则k的值为____________.                                      
15. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE， 使得点D落在AC上，则EC的值为__________.    

16. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．则∠ABN=__________，若P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是_______________.

三、解答题（共72分）

17.先化简，再求值（6分，4+2）

，其中x是x-3<0的非负整数解.

18.（本题7分，3+4）已知关于x的一元二次方程x2 +（2﹣2k）x+ k2 = 0有两个实数根x1、x2

（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程的两实数根x1、x2满足| x1+x2|+1=x1x2，求k的值.

19.（本题8分，4+4）在平行四边形ABCD中，O是AC的中点, 过O作EF⊥AC，分别交 CD，AB于点E， F，接AE，CF.

（1）求证：四边形AECF是菱形；（2)若CF平分∠ACB，且AF=6，BF=2，求BC的长.

20.（本题9分，2+2+1+4）某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了     名同学；

（2）条形统计图中，m=     ，n=     ；

（3）扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数是     ；

（4）小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率.(用树状图或列表法解答).

21.（本题9分，4+5）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若BC＝，tan∠BAC=，求DE的长.

22.（本题10分，2+4+4）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/千克．设第x天的销售价格为y（元/千克），销售量为m千克．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．

（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为____________.

（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？

（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润w（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/千克，求a的最小值．

23.（11分，4+3+4）爱好数学的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．

[特例探究]

(1)如图1，当tan∠PAB=1，c=6时，a=　　　，b=　　　；

如图2，当∠PAB=30°，c=4时，a=　　　，b=　　　；

[归纳证明]

(2)请你观察图1中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．

[拓展证明]

（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G， AD=3，AB=3，求AF的长.

 24.（本题12分，3+2+3+4）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x=1.

（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；

（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；

（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q .设运动时间为t(t>0)秒.

①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t的值；

②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.

九年级数学试题答案

一、选择题

1.   B    2.C    3.B    4.C    5.C     6.B     7.A    8.B   9.D    10.C

二、填空题

11. -1     12. 60°   13. 8      14. -6    15. 4    16.  60°，

三、解答题（本题6分）

17.（本题6分，4+2）解：原式=（-x-2）（x-1）=-x2-x+2          

     ∵x-3<0

∴ x<3

∴x的非负整数解是0、1、2        

  ∵x-1≠0 x-2≠0

∴x≠1  x≠2

∴  x=0                        

∴  原式=2                       

18. （本题7分,3+4）解：（1）方程整理为x2﹣2（k﹣1）x+k2=0，

根据题意得△=4（k﹣1）2﹣4k2 ≥ 0，解得k ≤ ；

（2）根据题意得x1+x2 =2（k﹣1），x1•x2 = k2，

∵|x1+x2|+1=x1x2，∴| 2（k﹣1）|+1=k2，∵k ≤ ，∴ 2（k﹣1）< 0

∴﹣2（k﹣1）+1=k2，整理得k2+2k﹣3=0，解得k1=﹣3，k2=1（舍去），

∴k=﹣3．

19.（本题8分，4+4）

解：(1)四边形AFCE是菱形，
  理由：∵CD∥AB，
  ∴∠DCA=∠CAB，
  在△EOC和△FOA中，
  ∵∠DCA=∠CAB ，CO=AO ，∠EOC=FOA
  ∴△EOC≌△FOA（ASA），
  ∴OE=OF，
  又∵OA=OC，
  ∴四边形AFCE是平行四边形，
  ∵EF⊥AC，
  ∴四边形AFCE是菱形.

 (2)∵FA=FC

∴∠FAC=∠ACF

∴ ∠CFB=∠FAC+∠ACF=2∠ACF

∵ ∠ACB=2∠ACF

∴ ∠CFB= ∠ACB

∵∠B=∠B

∴△CFB∽△ABC

∴=

∴BC2=BF·AB

∴BC2=2×（2+6）

∴BC=4

20.（本题9分，2+2+1+4）

解：（1）105÷35%=300（人）．

（2）n=300×30%=90（人），

m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．         

(3)×360°=72°．

(4)

从树状图可知，从四名同学中任选两名共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中选中甲、乙两位同学(记为事件A)有2种结果，

所以P(A)＝＝．

21.  （9分，4+5）

(1)证明：连接OD.∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∴DE是⊙O的切线．                        

(2)解：在Rt△ABC中，tan∠BAC=，BC＝，

∴AB=2,AC＝＝5，∴OD＝.过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴OC＝CG＝OD＝＝2.5.∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，∴＝，即＝，∴GE＝，∴DE＝DG＋GE＝.

22（本题10分，2+4+4）解：（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，

当31≤x≤50时，设y＝kx+b，则有，解得

∴y与x的关系式为：y＝x+55

（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m ∴

整理得，

当1≤x≤30时，∵W随x增大而增大∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400

当31≤x≤50时，W＝x2+160x+1850＝

∵＜0∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410

综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元

（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝

∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大

∴对称轴x＝＝≥35，得a≥3故a的最小值为3．

23.（11分，4+3+4）（1）如图1，a=6, b=6.如图2，a=2,b=.

(2）结论a2+b2=5c2，设PF=x,则PA=2x,设PE=y,则PB=2y.

∴AE2=(2x)2+y2，∴b2=4x2+y2，b2=16x2+4y2

同理，a2=16y2+4x2，c2=4x2+4y2

      ∴a2+b2=5c2

（3）如图4中，在△AGE和△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB，

∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，

同理可证△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=CF=2BF，

即PE∥CF，PE=CF，

∴四边形CEPF是平行四边形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由(2)可知AB2+AF2=5BF2，

∵AB=3，BF=AD=，

∴9+AF2=5×()2，

∴AF=4．

24.（本题12分，3+2+3+4）

解：（1））∵点A、B关于直线x=1对称，AB＝4

∴A（－1，0），B（3，0）             

代入y=-x2+bx+c中，得：

                    解得     

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3        

              ∴C点坐标为（0，3）

（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，则有：

∴直线BC解析式为y=-x+3，

又E到对称轴的距离为1，   

∴ EF=2

            ∴F点的横坐标为2，将x=2代入y=-x+3中，

得：y=-2+3=1

            ∴F（2，1）                        

        （3）t=1                             

∵M（2t,0）,MN⊥x轴  

∴Q（2t,3-2t）

∵△BOQ为等腰三角形, 

∴分三种情况讨论

第一种，当OQ＝BQ时，

∵QM⊥OB    

∴OM＝MB     

 ∴2t=3-2t

                  t=

         第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中

                ∵∠OBQ ＝45O    ∴ BQ＝BM

  ∴BO＝BM     即3＝（3-2t)   

                  ∴t＝

 第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t=0

而t>0，故不符合题意

综上所述，当t=或 秒时，△BOQ为等腰三角形