江苏省南京师范大学附属中学仙林学校初中部2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题(含答案)

这是一份江苏省南京师范大学附属中学仙林学校初中部2022-2023学年八年级下学期3月月考数学试题(含答案)，共18页。试卷主要包含了当x　 　时，分式有意义等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年南京师范大学附属中学仙林学校初中部初二下学期3月月考
一．选择题（共4小题，每小题3分，共12分）
1．下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角相等 D．对边平行
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD
4．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，点M、N分别是BD、GE的中点，若BC＝7，CE＝1，则MN的长（　　）

A．3 B．5 C．6 D．8
二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
5．当x　 　时，分式有意义．
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，若AB＝1，则BC＝　 　．

7．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于　 　．

8．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是　 　．

9．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加　 　条件，就能保证四边形EFGH是菱形．

10．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　 　．

11．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，∠EBC＝40°，且BE＝BC，CE＝CD，则∠A＝　 　．

12．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是　 　cm．

13．如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为　 　．

14．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．

三．解答题（共7小题，共58分）
15．（6分）解方程：
（1）；
（2）．
16．（8分）先化简，再求值：，其中a是满足不等式3a﹣1＞﹣4的最小整数解．
17．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A'B'C'；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得△A″B″C″，画出△A″B″C″；
（3）请直接写出，以A'、B'、C'为顶点的平行四边形的第四个顶点D'的坐标．

18．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：AF∥CE．

19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．

20．（9分）如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．

21．（9分）如图1，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M和N分别为OB、OC的中点，连接ED、EM、MN、ND．

（1）求的值；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEMN是矩形？给出你的结论并证明．
（3）如图2，在△ABC中，BD、AF分别是边AC、BC上的中线，BD与AF相交于点O，若OA＝4，OC＝3，OB＝5，则△ABC的面积为　 　（请直接写出结果）．

2022-2023学年南京师范大学附属中学仙林学校初中部初二下学期3月月考
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D选项中的图形是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角相等 D．对边平行
【解答】解：∵菱形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相垂直平分，矩形的性质有对角相等，对边平行，对角线互相平分且相等，
故选：B．
3．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（　　）

A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD
【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；
C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；
D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．
故选：C．
4．如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE，点M、N分别是BD、GE的中点，若BC＝7，CE＝1，则MN的长（　　）

A．3 B．5 C．6 D．8
【解答】解：连接AC、CF、AF，如图所示：
∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FFCE，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝5
AC＝BD＝GE＝CF，AC与BD互相平分，GE与CF互相平分，
∵点M、N分别是BD、GE的中点，
∴M是AC的中点，N是CF的中点，
∴MN是△ACF的中位线，
∴MN＝AF，
∵∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴AF＝AC＝5×＝10，
∴MN＝5．
故选：B．

二．填空题（共10小题）
5．当x　≠﹣3　时，分式有意义．
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故答案为：≠﹣3．
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，若AB＝1，则BC＝　　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝1，
∴AC＝2OA＝2，
∴BC＝＝＝．
故答案为：．
7．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于　3.5　．

【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝×7＝3.5．
故答案为：3.5．
8．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是　22.5°　．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠E＝＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
9．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加　AC＝BD　条件，就能保证四边形EFGH是菱形．

【解答】解：∵顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH即为平行四边形，
∴根据菱形的性质，只要再有一组邻边相等就为菱形，只要添加的条件能使四边形EFGH一组对边相等即可，
例如AC＝BD，
故答案为：AC＝BD．
10．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠B的度数是　57°　．

【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，
∴CO＝AO，
由旋转角为38°，
可得∠AOC＝∠BOD＝38°，
∴∠OAC＝（180°﹣∠AOC）÷2＝71°，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD＝14°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝52°，
在△AOB中，由内角和定理得∠B＝180°﹣∠OAC﹣∠AOB＝180°﹣71°﹣52°＝57°．
答：∠B的度数为57°．
11．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，∠EBC＝40°，且BE＝BC，CE＝CD，则∠A＝　110°　．

【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB，AB∥CD，
∴∠2＝∠3，∠A+∠D＝180°，
∵BE＝BC，CE＝CD，
∴BE＝BC＝10，CE＝CD＝6，∠1＝∠2，∠3＝∠D，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠D，
∵∠EBC＝40°，
∴∠D＝∠1＝∠3＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°＝110°；
故答案为：110°．

12．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC，垂足为点E，则AE的长是　　cm．

【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴CO＝AC＝3cm，BO＝BD＝4cm，AC⊥BD，
∴BC＝＝＝5cm，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6×8＝24（cm2），
∵S菱形ABCD＝BC×AE，
∴BC×AE＝24，
∴AE＝（cm），
故答案为：．
13．如图，▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为　8　．

【解答】解：连接EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB＝AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
而BO⊥AE，
∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝4，
∴AE＝2AO＝8．
故答案为：8．

14．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　或9　．

【解答】解：有两种情形：
①如图1中，当∠EFC＝90°时，A，F，C共线，设BE＝EF＝x，

在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝9，BC＝AD＝12，
∴AC＝＝15，
在Rt△EFC中，∵EC2＝EF2+CF2，
∴（12﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，

②如图2中，当∠FEC＝90°时，四边形ABEF是正方形，BE＝AB＝9，

综上所述，BE的值为或9．
三．解答题（共7小题）
15．解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）两边都乘以x（x﹣6），得3（x﹣6）＝2x，
解得x＝18，
检验，当x＝18时，x（x﹣6）＝216≠0，
∴x＝18是方程的解；
（2）两边都乘以x﹣2，得1﹣3（x﹣2）＝x﹣1，
去括号，得1﹣3x+6＝x﹣1，
移项，得﹣3x﹣x＝﹣1﹣6﹣1，
合并同类项，得﹣4x＝﹣8
系数化为1，得x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，x＝2是方程的增根，
∴原方程无解．
16．先化简，再求值：，其中a是满足不等式3a﹣1＞﹣4的最小整数解．
【解答】解：A＝•＝，
由3a﹣1＞﹣4，解得：a＞﹣1，即a＝2（a＝0与a＝1原式没有意义），
则原式＝1．
17．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A'B'C'；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得△A″B″C″，画出△A″B″C″；
（3）请直接写出，以A'、B'、C'为顶点的平行四边形的第四个顶点D'的坐标．

【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）如图，△A″B″C″即为所求作．
（3）D点的坐标（5，3）或（7，﹣3）或（﹣3，﹣3）．

18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：AF∥CE．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠5＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠4，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF；

（2）由（1）得△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．

19．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．

【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，
∴四边形MPND是正方形．
20．如图，点A在直线l外，点B在直线l上．
（1）在l上求作一点C，在l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形；（要求：用直尺和圆规作出所有大小不同的菱形）
（2）连接AB，若AB＝5，且点A到直线l的距离为4，通过计算，找出（1）中面积最小的菱形．

【解答】解：（1）如图①②③；

（2）图①中，菱形ABCD的面积＝5×4＝20，
图②中，BC＝6，AD＝8，菱形ABDC的面积＝×6×8＝24，
图③中，作AH⊥BC于H，设菱形的边长为x，
在Rt△ABH中，AH＝4，AB＝5，则BH＝3，
所以CH＝x﹣3，
在Rt△ACH中，42+（x﹣3）2＝x2，解得x＝
菱形ACBD的面积＝×4＝，
所以面积最小的菱形为ACBD．
21．如图1，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M和N分别为OB、OC的中点，连接ED、EM、MN、ND．

（1）求的值；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DEMN是矩形？给出你的结论并证明．
（3）如图2，在△ABC中，BD、AF分别是边AC、BC上的中线，BD与AF相交于点O，若OA＝4，OC＝3，OB＝5，则△ABC的面积为　18　（请直接写出结果）．
【解答】解：（1）∵D、E、M、N分别为AC、AB、OB、OC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，MN∥BC，MN＝BC，
∴DE∥MN，DE＝MN，
∴四边形EMND为平行四边形，
∴OM＝OD，
∵OM＝BM，
∴OB＝2OM＝2OD，
∴＝2；
（2）当AB＝AC时，四边形DEMN为矩形，
理由如下：∵D、E为AC、AB的中点，
∴AD＝AC，AE＝AB，
∴AD＝AE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（AAS），
∴BD＝CE，
∵OD＝OM＝BM，
∴MD＝BD，同理EN＝EC，
∴MD＝EN，
∴四边形DEMN为矩形；
（3）∵D，E，F分别为中点，设图中各小三角形的面积分别为a，b，c，

由△ABF于△ACF等积，得a+2c＝a+2b，
∴b＝c，同理可得a＝b＝c，
∵OA＝4，
∴OF＝2，延长OF到G，
可得BG＝OC＝3，OG＝2OF＝4，
∵OB＝5，
∴△OBG是直角三角形，且面积为6，
∴a＝3，
∴△ABC的面积＝6a＝18．
故答案为：18．