浙教版八年级下册5.1 矩形达标测试

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浙教版八年级数学下册《5-1矩形》知识点分类训练
一．矩形的性质
1．如图，四边形ABCD是长方形，AD∥BC．点F是DA延长线上一点，点G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．则∠ECB与∠ACB有什么数量关系？为什么？

2．已知在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接DE，且DE＝BC，过点A作AF⊥DE于点F．求证：AB＝AF．

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝BE．
（1）求AD的长；
（2）求FG的长．

4．已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．

（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；
（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由．

5．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．

6．如图，已知矩形ABCD中，点E，F分别是AD，AB上的点，EF⊥EC，且AE＝CD．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若DE＝AD，求AE：AF的值．

7．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是边BC上一点（可与B、C重合），以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．
（1）如图1，当BE的长满足什么条件时，点F在矩形ABCD内？
（2）如图2，点F在矩形外，连接DF，若AE∥DF，求BE的长．

8．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，经过点O的任意一条直线分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2，如果点E，F分别是AD，BC的中点，AB＝5，BC＝12．在对角线AC上是否存在点P，使∠EPF＝90°？如果存在，请求出AP的长；如果不存在，请说明理由．
9．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交D的延长线于点F．
（1）若AB＝2．AD＝3．求EF的长；
（2）若G是EF的中点，连接BG和DG．求证：△BCG≌△DFG．

10．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD边于点E，连接BE．
（1）如图1，求证：BD平分∠EBC；
（2）如图2，延长EO交BC于点F，当BF＝2AE时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于CD的线段．

11．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．

（1）如图1，
①∠BEC＝　 　°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB＝6，AH＝3，求NE的长．
12．已知，矩形ABCD，点E在AB的延长线上，AG⊥CE，垂足为G．
（1）如图1，若AB＝AD，求证：AG＝CG+BG；
（2）如图2，若AB：AD＝，则AG，CG，BG之间又存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明你的结论．

13．如图，在长方形ABCD中，AD＝2AB，E是AD边的中点，M，N分别在AB，BC边上，且ME⊥NE，求证：BM＝CN．

14．如图①，已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置时，易证得结论：PA2+PC2＝PB2+PD2．
（1）探究：当点P分别在图②、图③中的位置时，即点P分别在矩形ABCD的内部和外部时，PA2，PB2，PC2，PD2之间又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并证明图②（点P在矩形ABCD的内部）的结论．
答：对图②的探究结论为　 　；对图③的探究结论为　 　．
（2） 应用：如图④所示，P是矩形ABCD内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD2的值为　 　．

二．矩形的判定
15．如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．

16．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．

三．矩形的判定与性质
17．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点A作AF⊥CD，垂足为F，延长DC到点E，使CE＝DF，连接BE．
（1）求证：四边形ABEF是矩形；
（2）若AB＝5，CF＝2，AC⊥BD，连接OE，求OE的长．

18．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．

19．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB，QP＝QD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）求证：CD＝CP．

20．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE．连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若∠DAB＝60°，AF平分∠DAB，AD＝4，则四边形BFDE的周长是　 　．

21．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD．过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，CF．
（1）求证：四边形ABFC是矩形；
（2）求DE的长．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长．

23．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）连接DE、CF，若2AB＝BF，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
（3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长．


参考答案
一．矩形的性质
1．解：∠ACB＝3∠ECB，
理由如下，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，
∵∠AGC＝∠F+∠GAF，∠GAF＝∠F，
∴∠AGC＝2∠F，
∵∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝2∠F，
∴∠ACF＝2∠ECB，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCE＝3∠ECB．
2．证明：∵四边形ABCD是矩形，AF⊥DE，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE＝BC，
∴AD＝DE，
在△ADF和△DEC中，
，
∴△ADF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝AB；
3．解：（1）∵CE＝BE，
∴BE＝5x，CE＝4x，
由折叠的性质可得：AB＝AG＝15，AD＝AH，EB＝EG＝5x，∠B＝∠AGE＝90°，∠D＝∠AHF＝90°，
∴CG＝＝＝3x，
∵∠EGC+∠GEC＝90°＝∠EGC+∠AGD，
∴∠AGD＝∠CEG，
∴AD＝9；
（2）∵AD＝9，AG＝15，
∴GH＝AG﹣AH＝6，
∴GF＝7.5．
4．（1）证明：∵b＝2a，点M是AD的中点，
∴AB＝AM＝MD＝DC＝a，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴∠BMC＝90°．
（2）解：存在，
理由：若∠BMC＝90°，
则∠AMB+∠DMC＝90°，
又∵∠AMB+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠DMC，
又∵∠A＝∠D＝90°，
设AM＝x，则＝，
整理得：x2﹣bx+a2＝0，
∵b＞2a，a＞0，b＞0，
∴Δ＝b2﹣4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
∴当b＞2a时，存在∠BMC＝90°．
5．解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6．∠B＝∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠CED，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE＝10，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
BE＝＝＝8，
∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得
DE＝＝＝2，
设点A到DE的距离为h，
则×AD•CD＝DE•h，
∴h＝＝3．
答：点A到DE的距离为3．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠FEC＝90°，
∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝∠DEC，
在△AEF与△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）解：∵DE＝AD，
∴AE＝DE，
∵AF＝DE，
∴AE＝AF，
∴AE：AF＝．
7．解：（1）如图1，假设F在边CD上，设为F'．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°
∵E'F'⊥AE'，∠AE'F'＝90°，
∴∠AE'B＝∠E'F'C．
∵E'F'＝AE'，
∴△ABE'≌△E'CF'（AAS），
∴CE'＝AB＝6，
∴BE'＝BC﹣CE'＝2，
∴若要点F在矩形ABCD内，BE的长应满足0＜BE＜2．
（2）如图2，若AE∥DF，则EF⊥DF，延长DF、C交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．

同理可证△ABE≌△EMF（AAS）．
设BE＝x，则EM＝AB＝6，FM﹣BE＝x，EC＝8﹣x．
∵EF⊥DF，
∴∠DFE＝∠DCB＝90°，
∴∠FEC＝∠CDF．
又∵CD＝AB＝EM，∠FME＝∠DCN＝90°．
∴△EFM≌△DNC（ASA），
∴NC＝FM＝x，EN＝EC+NC＝8，NM＝EN﹣EM＝2．
即在Rt△FMN中，FN2＝x2+22，
在Rt△EFM中，EF2＝x2+62，
在Rt△EFN中，FN2+EF2＝EN2，
即x2+22+x2+62＝82，
解得或（舍去），
即BE＝．
8．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）存在，

由（1）可知，OE＝OF，AO＝CO，
∵∠EPF＝90°，
∴OP＝EF，
∵AE∥BF，AE＝BF，∠B＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF＝AB＝5，
∴OP＝EF＝2.5，
在Rt△ABC中，AC＝，
∴AO＝CO＝AC＝6.5，
∴AP'＝AO﹣OP'＝6.5﹣2.5＝4，
AP″＝AO+OP″＝6.5+2.5＝9，
∴AP的长为4或9．
9．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝AD＝3，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴BE＝AB＝2．
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠F＝∠CEF＝45°，
∴CE＝CF＝1，
∴EF＝CE＝；
（2）证明：连接CG，如图：
∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF的中点，
∴CG＝FG，∠ECG＝45°，
∴∠BCG＝∠DFG＝45°，
又∵DF＝CD+CF＝3，
∴DF＝BC，
在△BCG和△DFG中，
，
∴△BCG≌△DFG（SAS）．

10．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BO＝DO．
又∵OE⊥BE，
∴BE＝DE．
∴∠EBD＝∠EDB．
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD．
即BD平分∠EBC．
（2）解：长度等于CD的线段有：AE、EO、FO、CF．理由：
由（1）知：∠EBO＝∠FBO，
在△BEO和△BFO中，
，
∴△BEO≌△BFO（ASA）．
∴OE＝OF，BE＝BF．
∵BF＝2AE，
∴BE＝2AE．
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD．
∴AE＝CD．
∵∠EBF＝90°﹣∠BAE＝60°，
∴△BEF为等边三角形．
∴∠EBF＝60°，
∴∠EBO＝∠FBO＝∠EBF＝30°．
∴∠ABO＝∠ABE+∠EBO＝60°，
∴△ABO为等边三角形．
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，
∴∠EAO＝∠EOA＝30°，
∴AE＝OE．
∵AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE＝30°．
∵∠FOC＝∠EOA＝30°，
∴∠OCF＝∠FOC．
∴OF＝FC．
∴OF＝FC＝OE＝AE＝CD．
11．解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD＝BC．
∵BE平分∠ABC交CD边于点E，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝45°．
故答案为：45．
②△ADE≌△ECF，
证明：∵∠CBE＝∠BEC＝45°，
∴BC＝EC，
∵AD＝BC，
∴AD＝EC．
∵FE⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，
又∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CEF＝∠DAE．
在△ADE和△ECF中，
，
∴△ADE≌△ECF（ASA）．
（2）在图2中，连接HB．
∵NH∥BE，NB∥HE，
∴四边形HNBE是平行四边形．
∵△ADE≌△ECF，
∴AE＝EF，DE＝CF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥FC，∠D＝90°．
∵FH∥CD，
∴四边形HFCD是平行四边形，
∴HD＝FC，
∴HD＝ED，∠D＝90°，
∴∠DEH＝45°．
又∵∠BEC＝45°，
∴∠HEB＝90°，
∴平行四边形HNBE是矩形，
∴NE＝HB．
在Rt△ABH中，BH＝＝3，
∴NE＝3．

12．（1）证明：如图1，过点B做BH⊥BG，交CG的延长线于点H，
∴∠GBH＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝AD，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵AG⊥CE，
∴∠AGC＝90°．
∴∠BAG＝∠BCG．
∵∠ABC＝∠GBH＝90°，
∴∠ABG＝∠CBH．
在△ABG和△CBH中，
，
∴△ABG≌△CBH（ASA），
∴GB＝HB，AG＝CH，
∴GH＝BG，
∴AG﹣CG＝CH﹣CG＝GH，
即AG＝CG+BG；
（2）解：AG＝CG+BG．
证明：如图2，过点B作BH⊥BG，交CG的延长线于点H，
∴∠GBH＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，且AB：AD＝，
∴∠ABC＝90°，且AB：BC＝，
∵AG⊥CE，
∴∠AGC＝90°．
∴∠BAG＝∠BCG，
∵∠ABC＝∠GBH＝90°，
∴∠ABG＝∠CBH．
∴AG＝CH＝CG+HG，BG＝BH，
在Rt△BGH中，∠GBH＝90°，
∴HG2＝BG2+BH2，
∴HG＝，
∴AG＝CG+BG．


13．证明：过E作EF⊥BC于F，

∵长方形ABCD是轴对称图形，且E是AD的中点，
∴直线EF是长方形ABCD的一条对称轴，
∴AE＝ED，BF＝FC，AB＝EF＝CD，
∵AD＝2AB，BC＝AD，
∴AE＝FC＝AB，
∵ME⊥NE，
∴∠AEM+∠MEF＝∠FEN+∠MEF＝90°，
∴∠AEM＝∠FEN，
又∠A＝∠EFN＝90°，
∴△AEM≌△FEN （ASA），
∴AM＝FN，
又AB＝FC，
∴BM＝CN．
14．解：（1）结论均是PA2+PC2＝PB2+PD2．
如图②，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，

∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，
根据图①中的结论可得，
在矩形ABNM中有PA2+PN2＝PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2＝PD2+PN2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PB2+PM2+PD2+PN2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2．
如图③，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，
∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，
同样根据图①中的结论可得，
在矩形BCNM中有PC2+PM2＝PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2＝PD2+PM2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PD2+PM2+PB2+PN2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2．
（2）由上面结论知：PD2＝PA2+PC2﹣PB2＝32+52﹣42＝18．
故答案为：（1）PA2+PC2＝PB2+PD2，PA2+PC2＝PB2+PD2．（2）18．
二．矩形的判定
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
16．证明：∵PQ∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF，
∴DE＝DC，DF＝DC，
∴DE＝DF，
∵点D是边AC的中点，
∴AD＝CD，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BCA+∠ACG＝180°，
∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝×180°＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
三．矩形的判定与性质
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DF，
∴CE+CF＝DF+CF，
即EF＝CD，
∴AB＝EF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AF⊥CD，
∴∠AFE＝90°，
∴平行四边形ABEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴OB＝OD，平行四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝5，
∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3，
∵AF⊥CD，
∴∠AFD＝90°，
∴AF＝＝＝4，
由（1）得：四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF＝90°，BE＝AF＝4，
∵CE＝DF＝3，
∴DE＝CD+CE＝8，
∴BD＝＝＝4，
又∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝2．
18．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝ED，
∵DC＝ED，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过O作OF⊥CD于F，

∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2
∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴OD＝OC，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CF＝CD＝＝1，
∴OF＝BC＝＝2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，
∴OE＝＝＝．
19．证明：（1）∵PQ⊥CP，
∴∠QPC＝90°，
∴∠QPA+∠BPC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠QPA＝∠PCB，
∴∠BPC+∠PCB＝90°，
∴∠B＝180°﹣（∠BPC+∠PCB）＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）连接CQ，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠CPQ＝90°，
∴在Rt△CDQ和Rt△CPQ中
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴CD＝CP．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF＝AE，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝FD，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝AD＝4，
由（1）得：四边形BFDE是矩形，
∴BE＝DF＝4，DE＝BF，
∵∠DAB＝60°，∠DEA＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，
∴四边形BFDE的周长＝2（BE+DE）＝2（4+2）＝8+4，
故答案为：8+4．
21．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠FEC＝90°，
在△DEC与△FEC中，
，
∴△DEC≌△FEC（SAS），
∴CF＝CD，
∵AB＝CD，
∴CF＝AB，
同理，BF＝AC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AB＝6，BC＝10，AC＝8，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABFC是矩形；
（2）过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHB＝∠DEC＝90°，
在△ABH与△DCE中，
，
∴△ABH≌△DCE（AAS），
∴AH＝DE，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AH，
∴AH＝＝＝4.8．
∴DE＝AH＝4.8．

22．（1）证明：AE∥BC，AE＝BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形；
（2）解：连接AG，
∵F是AB的中点，GF⊥AB，
∴GA＝GB，
∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4，
∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4，
设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x，
∵四边形AEBD是矩形，
∴∠E＝90°，
在Rt△AEG中，
∵EA2+EG2＝AG2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即EG＝3．

23．（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）证明：如图所示：

由（1）得：DF∥AC，
∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，
∵G是CD的中点，
∴DG＝CG，
在△DFG和△CEG中，
，
∴△DFG≌△CEG（AAS），
∴FG＝EG，
∴四边形CFDE是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵2AB＝BF，
∴2CD＝BF，
又∵EF＝BE，
∴CD＝EF，
∴平行四边形CFDE是矩形；
（3）解：设AB＝2a，则BF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝80，AB∥CD，
∵四边形CFDE是正方形，
∴∠DEC＝90°，CD⊥EF，DG＝EG＝CD＝a，
∴∠AED＝90°，△DEG是等腰直角三角形，
∴DE＝DG＝a，
∵AB∥CD，CD⊥EF，
∴AB⊥BF，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB＝2a，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，
即802＝（a）2+（2）2，
解得：a＝8，
∴AB＝2a＝16．