数学浙教版5.2 菱形巩固练习

浙教版八年级数学下册《5.2菱形》同步能力提升练习题

一．选择题

1．若菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝6，则该菱形的面积为（　　）

A．24 B．6 C．12 D．5

2．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为3cm，则菱形ABCD周长为（　　）

A．10cm B．12cm C．16 cm D．24 cm

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　）

A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3）

4．如图，F是菱形ABCD边CD上的点，过点A作AE⊥CD，若DE＝EF，∠CBF＝9°，则∠EAF的度数为（　　）

A．21° B．24° C．27° D．30°

5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则DH＝（　　）

A． B． C． D．

6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则BH＝（　　）

A． B． C． D．

7．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件能判定▱ABCD为菱形的是（　　）

A．∠ABC＝90° B．AC＝BD 

C．AC⊥BD D．OA＝OC，OB＝OD

8．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（　　）

A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

9．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB＝3，则菱形AECF的面积为（　　）

A．1 B．2 C．2 D．4

二．填空题

10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，则∠AOF＝　   　度．

11．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC上的一点，且AD＝AE，若OE＝1，OD＝5，则菱形ABCD的面积为 　   　．

12．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，BE⊥AD于点E，若AC＝8，BD＝6，则BE的长为 　   　．

13．如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为 　   　．

14．边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．

（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为　   　．

（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为　   　．

15．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，过AD的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与CD的延长线相交于点H，则DH＝　   　，S△CEF＝　   　．

三．解答题

16．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．

（1）求∠DAB和∠CAB的度数；

（2）如果AC＝4，求DE和AD的长．

17．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．

（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；

（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．

18．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，AC平分∠BAD．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长，与AB的延长线相交于点G，求EG的长．

19．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．

20．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E交AC于点P，BF⊥CD于点F．

（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；

（2）如果BE＝3，BF＝6，求出DP的长．

参考答案

一．选择题

1．解：菱形ABCD的面积＝＝＝12，

故选：C．

2．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD＝CD＝BC，BO＝DO，

又∵点M是AB的中点，

∴AD＝2OM＝6cm，

∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24cm，

故选：D．

3．解：延长BC交x轴于H，

∵菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），

∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，

∴∠BHO＝∠AOH＝90°，

∵点C的纵坐标为1，

∴CH＝1，BH＝3，

∴OH＝＝＝，

∴点B（，3），

故选：D．

4．解：∵AE⊥CD，DE＝EF，

∴AF＝AD，∠AED＝90°，

∴∠EAF＝∠EAD，

设∠EAF＝∠EAD＝x，∠ABF＝y，则∠D＝90°﹣x，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，∠ABC＝∠D＝90°﹣x，AB＝AD，

∴AB＝AF，

∴∠ABF＝∠AFB＝y，

∴∠BAF＝180°﹣2y，∠D＝∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝y+9°，

∴90°﹣x＝y+9°，

∴x+y＝81°①，

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴y+9°+180°﹣2y+2x＝180°，

整理得：y﹣2x＝9°②，

由①②得：，

解得：，

即∠EAF＝24°，

故选：B．

5．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4cm，OB＝OD＝3cm，

∴AB＝＝＝5cm，

∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，

∴DH＝＝（cm）．

故选：C．

6．解：设AC与BD相交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，

∴OA＝4cm，OB＝3cm，AC⊥BD，

∴AB＝＝5cm，

∵DH⊥AB，

∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，

解得：DH＝cm，

∴BH＝＝cm．

故选：B．

7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；

故选：C．

8．解：四边形AECF是菱形，

理由：∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，

∴AO＝CO，∠AFO＝∠CEO，

∴在△AFO和△CEO中

，

∴△AFO≌△CEO（AAS），

∴FO＝EO，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴平行四边形AECF是菱形．

故选：C．

9．解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3，

∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x，

∵四边形AECF是菱形，

∴∠FCO＝∠ECO，

∵∠ECO＝∠ECB，

∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，

2BE＝CE，

∴CE＝2x，

∴2x＝3﹣x，

解得：x＝1，

∴CE＝2，利用勾股定理得出：

BC2+BE2＝EC2，

BC＝＝＝，

又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2，

则菱形的面积是：AE•BC＝2．

故选：C．

二．填空题

10．解：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF为平行四边形，

∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，

∵AD是△ABC的角平分线，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴AE＝DE．

∴▱AEDF为菱形．

∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．

故答案为：90．

11．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2DO＝10，

∵AD＝AE，

∴AD＝AE＝AO+OE＝1+OA，

∵AD2＝OD2+AO2，

∴（1+OA）2＝25+AO2，

∴AO＝12，

∴AC＝24，

∴菱形ABCD的面积＝＝＝120，

故答案为：120．

12．解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，

∴AD＝＝＝5，

∵S菱形ABCD＝AD×BE＝×AC×BD，

∴BE＝，

故答案为：．

13．解：∵菱形的两条对角线的长分别为12和16，

∴菱形的面积＝×12×16＝96，

∵O是菱形两条对角线的交点，

∴阴影部分的面积＝×96＝48．

故答案是：48．

14．解：（1）∵边长为a的正方形面积＝a2，边长为a的菱形面积＝ah，

∴菱形面积：正方形面积＝ah：a2＝h：a，

∵菱形的变形度为2，即＝2，

∴“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比＝1：2，

故答案为：1：2；

（2）∵菱形的边长为1，“形变度”为，

∴菱形形变前的面积与形变后的面积之比为，

∴S△ABC＝（36﹣）×＝

故答案为：．

15．解：∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝AD＝CD＝4，AB∥CD

∵点E是AD中点

∴AE＝DE＝2，

∵EF⊥AB，∠A＝60°

∴∠AEF＝30°

∴AF＝AE＝1，EF＝AF＝

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠ADH，且AE＝DE，∠AEF＝∠HED

∴△AEF≌△DEH（ASA）

∴AF＝HD＝1

∴CH＝DC+DH＝5

∴S△EFC＝EF×CH＝

故答案为：1，

三．解答题

16．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，∠DAC＝∠CAB，AO＝CO，AC⊥BD，BO＝DO，

∵E为AB的中点，DE⊥AB，

∴AD＝BD，

∴AD＝AB＝DB，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB＝60°，

∴∠CAB＝30°；

（2）∵AC＝4，

∴AO＝CO＝2，

∵AB2﹣BO2＝AO2，

∴3BO2＝12，

∴BO＝2，

∴DB＝4＝AD＝AB，

∴AE＝BE＝2，

∴DE＝＝＝2．

17．证明：（1）连接AC，如图1：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，

∵AF＝AE，

∴AC⊥EF，

∴EG∥BD．

又∵菱形ABCD中，ED∥BG，

∴四边形EGBD是平行四边形．

（2）过点A作AH⊥BC于H．

∵∠FGB＝30°，

∴∠DBC＝30°，

∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，

∵GB＝AE＝2，

∴AB＝AD＝4，

在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，

∴AH＝2，BH＝2．

∴GH＝4，

∴AG＝＝＝2．

18．解：（1）∵AC平分∠BAD，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，

又∵AB∥CD，AB＝AD，

∴AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（2）连接BD，交AC于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，

∴CD＝13，AO＝CO＝12，

∵点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴EF∥BD（中位线），

∵AC、BD是菱形的对角线，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∴四边形BDEG是平行四边形，

∴BD＝EG．

在△COD中．

∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12．

∴．

∴EG＝BD＝10．

19．（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，

∴AD＝BD＝CD，

∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，

∵AD∥CE，

∴∠DCE＝60°，

∵CD＝AD＝6，

∴CF＝CD＝3，

∵四边形ADCE是菱形，

∴CE＝CD＝6，

∴EF＝3．

20．（1）解：四边形DEBF是矩形，理由如下：

∵DE⊥AB，BF⊥CD，

∴∠DEB＝∠BFD＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠DEB+∠EDF＝180°，

∴∠EDF＝∠DEB＝∠BFD＝90°，

∴四边形DEBF是矩形；

（2）解：连接PB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC垂直平分BD，

∴PB＝PD，

由（1）知，四边形DEBF是矩形，

∴DE＝FB＝6，

设PD＝BP＝x，则PE＝6﹣x，

在Rt△PEB中，由勾股定理得：（6﹣x）2+32＝x2，

解得：x＝，

∴PD＝．