初中数学浙教版八年级下册第五章 特殊平行四边形5.2 菱形练习

第5章　特殊平行四边形

5.2　菱形

第2课时　菱形的判定

基础过关全练

知识点　菱形的判定

1.下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是 (　　)

A.AB=CD　　　　B.AB=BC

C.∠BAD=90°　　 D.AC=BD

2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO.添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是              (　　)

A.AB=AD　　　　 B.AC=BD

C.AC⊥BD　　　　D.∠ABO=∠CBO

3.(2021浙江绍兴中考)数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现,用相同的菱形纵向排列放置,可得到更多的菱形.如图2,2个相同的菱形纵向排列放置,得到3个菱形.下面说法正确的是              (　　)

图1         图2

A.3个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到6个菱形

B.4个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到16个菱形

C.5个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到27个菱形

D.6个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到41个菱形

4.(2022辽宁营口中考)如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是　　　　　　.(写出一个即可) 

5.(2022黑龙江齐齐哈尔中考)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,AB∥CD,要使四边形ABCD为菱形,应添加的条件是　　　　　　.(只需写出一个条件即可) 

6.如图,CD平分∠ACB交AB于点D,过点D作DE∥BC交AC于点E,DF∥AC交BC于点F,那么四边形DFCE是　　　　.

7.【新考法】【新独家原创】如图,四边形ABCD是矩形,点E、F分别为AB、BC的中点,连结EF.

(1)尺规作图,保留作图痕迹:

①以点F为圆心,EF的长为半径作弧,与CD交于点G;

②以点G为圆心,EF的长为半径作弧,与AD交于点H;

③连结FG、HG、EH.

(2)求证:四边形EFGH是菱形.

能力提升全练

8.(2022浙江舟山定海期末,8,)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥BD,E,F分别是AB,CD的中点,若AC=BD=2,则EF的长是              (　　)

A.2　　　　B.

9.(2022浙江杭州拱墅期末,9,)如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O.点M、N分别是边AD,BC的中点,连结AN,CM,MN.下列结论:①若四边形ANCM是菱形,则AB⊥AC;②若四边形ANCM是矩形,则AB=AC;③若AB⊥AC,则四边形ANCM是矩形;④若AB=AC,则四边形ANCM是菱形.其中正确的是              (　　)

A.①②　　　　B.③④    C.①③　　　　D.①②③④

10.(2022浙江杭州上城期末,10,)已知,O是矩形ABCD对角线的交点,作DE∥AC,AE∥BD,AE,DE相交于点E,连结BE.下列说法正确的是              (　　)

①四边形DEAO为菱形;②AE=AB;③∠BAE=120°;④若∠BED=90°,则AD=BE.

A.①③　　　　B.①②④   C.①④　　　　D.③④

11.(2022浙江嘉兴期末,14,)如图,将平行四边形纸片ABCD折叠,使顶点D恰好落在AB边上的点E处,折痕为AF.若AB=5,AD=3,则CF的长为　　　　. 

12.(2022贵州黔东南州中考,15,)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是　　　　. 

13.如图,已知△ABC,按如下步骤作图:

①分别以A、C为圆心,大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于点M、N;

②连结MN,分别交AB、AC于点D、O;

③过C作CE∥AB交MN于点E,连结AE、CD.

求证:四边形ADCE是菱形.

14.(2022浙江湖州期末,19,)如图,在▱ABCD中,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥DC于点F,且BE=DF.

(1)求证:▱ABCD是菱形;

(2)若∠ABE=60°,AF=,求AB的长.

素养探究全练

15.【推理能力】(2022浙江温州鹿城一模节选)矩形ABCD与矩形EFGH的位置如图所示,点B、点F分别在边GH、CD上,AB=EF,AD=EH,连结AE.

求证:四边形FMBN是菱形.

答案全解全析

基础过关全练

1.B

故选B.

2.B　∵在四边形ABCD中,AO=CO,BO=DO,

∴四边形ABCD是平行四边形.

故选B.

3.B　如图所示,2个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到3个菱形;3个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到8个菱形;4个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到16个菱形;5个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到29个菱形;6个相同的菱形纵向排列放置,最多能得到47个菱形.

故选B.

4.AB=AD(答案不唯一)

解析　答案不唯一,如:添加AB=AD.理由如下:

由题意得AB∥DE,AB=DE,

∴四边形ABED是平行四边形,

∵AB=AD,∴平行四边形ABED是菱形.

5.AB=CD(答案不唯一)

解析　答案不唯一,添加的条件可以是AB=CD.

理由如下:

∵AB∥CD,AB=CD,

∴四边形ABCD是平行四边形,

又∵AC⊥BD,∴平行四边形ABCD是菱形.

6.菱形

解析　四边形DFCE是菱形.理由如下:

∵DE∥BC,DF∥AC,

∴四边形DFCE是平行四边形,

∵DE∥BC,∴∠EDC=∠FCD,

∵CD平分∠ACB,∴∠ECD=∠FCD,

∴∠EDC=∠ECD,∴DE=CE,

∴平行四边形DFCE是菱形.

7.解析　(1)如图所示:

(2)由作法可知EF=FG=HG,

因为点E为AB的中点,所以AE=BE=AB,

因为点F为BC的中点,所以BF=FC=BC.

因为四边形ABCD是矩形,

所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD.

在Rt△BEF与Rt△CGF中,

所以Rt△BEF≌Rt△CGF(HL).

所以CG=BE,所以CG=AB,

所以CG=CD,即点G为CD的中点.

易证Rt△CFG≌Rt△DHG,

∴DH=CF,∴H为AD的中点,

易证Rt△DGH≌Rt△AEH,

所以HG=EH,

所以EF=FG=GH=HE,

所以四边形EFGH是菱形.

能力提升全练

8.C　如图,取BC的中点G,AD的中点H,连结EG,GF,FH,HE,

∵E,G分别是AB,BC的中点,AC=2,

∴EG=AC=1,EG∥AC,

同理,FH=AC=1,FH∥AC,GF=BD=1,GF∥BD,

∴EG∥FH,EG=FH,

∴四边形EGFH为平行四边形,

∵EG=GF=1,

∴平行四边形EGFH为菱形,

∵AC⊥BD,EG∥AC,GF∥BD,∴EG⊥GF,

∴EF=,

故选C.

9.A　∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=BC,AD∥BC,

∵点M、N分别是边AD,BC的中点,

∴AM=DM=AD,BN=CN=BC,

∴AM=CN,AM=BN,

∴四边形ABNM与四边形ANCM都是平行四边形.

综上所述,正确的是①②,故选A.

10.C

∴说法正确的是①④.故选C.

11.2

解析　由折叠可知AD=AE,DF=EF,∠DAF=∠EAF,

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴CD=AB=5,DF∥AE,

∴∠DFA=∠EAF,

∴∠DAF=∠DFA,

∴AD=DF,

∴AD=DF=EF=AE,

∴四边形AEFD是菱形.

∵AD=3,∴DF=3,

∴CF=CD-DF=5-3=2.

12.20

解析　∵AC∥DE,BD∥CE,

∴四边形OCED是平行四边形,

∴OC=DE,OD=CE,

∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,

∴OC=AC=5,OD=BD,BD=AC,

∴OC=OD=5,∴OC=OD=CE=DE,

∴四边形OCED是菱形,

∴菱形OCED的周长=4OC=4×5=20.

13.证明　由题意可知直线DE是线段AC的垂直平分线,∴AC⊥DE,AD=CD,AO=CO,

∴∠AOD=∠COE=90°,

∵CE∥AB,∴∠ADO=∠CEO,

∴△AOD≌△COE,∴OD=OE,

∴四边形ADCE为平行四边形,

∵AD=CD,

∴四边形ADCE是菱形.

14.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠B=∠D,

∵AE⊥BC,AF⊥DC,

∴∠AEB=∠AFD=90°,

在△ABE和△ADF中,

∴△ABE≌△ADF(ASA).∴AB=AD,

∴▱ABCD是菱形.

(2)如图,连结AC,

∵四边形ABCD是菱形,

∴AD=CD,∠B=∠D,

∵∠ABE=60°,∴∠D=60°,

∴△ADC为等边三角形,

∵AF⊥DC,∴DC=2DF,∴AD=2DF.

在Rt△ADF中,AD2=DF2+AF2,AF=,

∴(2DF)2=DF2+,∴DF=1(舍负).

∴AD=2,∴AB=2.

素养探究全练

15.证明　∵四边形ABCD是矩形,四边形EFGH是矩形,

∴AB∥CD,EF∥GH,∠C=∠G=90°,BC=AD,FG=EH,

∴四边形FMBN是平行四边形,

∵AD=EH,∴BC=FG,

在△BCN和△FGN中,

∴△BCN≌△FGN(AAS),∴BN=FN,

∴四边形FMBN是菱形.