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4.分数的意义和性质（培优版）-2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习（人教版）
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这是一份4.分数的意义和性质（培优版）-2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习（人教版），共17页。
4.分数的意义和性质（普通校）
2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习
【知识梳理】
1、分数的产生。
在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数结果，这时常用分数来表示。
2、分数的意义。
（1）分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。
（2）单位“1”的意义：一个物体、一些物体等可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫作单位“1”，也叫作整体“1”。
3、分数单位的意义。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数叫作分数单位，一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一，一个分数的分子是几，它就有几个这样的分数单位。
4、分数与除法的关系。
两个整数相除，可以用分数表示商，分过来说，一个分数也可以看作是两个整数相除，分数的分子相等于被除数，分母相当于除数，分数线都相当于除号，分数值相当于商。
5、求一个数是另一个数的几分之几的问题。
求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法：
一个数÷另一个数=，得到的商表示两个数的关系，没有单位名称。
求一个数是另一个数的几倍，就把另一个数看作标准量，看一个数里面有多少个另一个数，一个数÷另一个数=倍数。
6、真分数的意义和特征。
分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。
7、假分数的意义和特征。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫作假分数。假分数大于1或等于1。
8、把假分数化成整数或带分数。
假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是真分数的分子，分母不变。
9、分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫作分数的基本性质。
10、分数的基本性质的应用。
利用分数的基本性质，把分母不同的分数化成分母相同的分数，要注意一看、二变、三算。一看，看分母如何变化；二变，根据分母的变化，确定分子的变化；三算，根据分数的基本性质计算。
11、公因数和最大公因数的意义。
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中，最大的一个公因数叫作它们的最大公因数。
12、求两个数的最大公因数的方法。
（1）列举法：先分别列举出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数，并从中找出最大的。
（2）筛选法：先列举除两个数中一个数的因数，再从中筛选出另一个数的因数，最后找出最大的一个。
（3）短除法：先把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
13、约分。
（1）把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作约分。
（2）约分的方法有两种：一是逐步约分法，即用分数的分子和分母的公因数（1除外）依次去除分子和分母，直到得出一个最简分数；二是一次约分法，即直接用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，得到最简分数。
（3）分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。
14、公倍数和最小公倍数的概念。
几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。其中，最小的一个公倍数叫作这几个数的最小公倍数。
15、求两个数的公倍数及最小公倍数的方法。
求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数；（4）短除法。
16、同分母分数、同分子分数的大小比较。
（1）分母相同，分子不同的两个分数，分子大的分数大。
（2）分子相同，分母不同的两个分数，分母小的分数大。
17、通分的概念和方法。
（1）通分的概念：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。
（2）通分的方法：通分时先用原分母的公倍数做公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数做公分母），再把个分数化成用这个公倍数做分母的分数。
18、小数化成分数的方法。
有限小数可以直接写成分母时10.100.1000......的分数，原来时几位小数，就在1后面写几个0做分母，把原来的小数去掉小数点后做分子，能约分的都应约成最简分数。
19、分数化成小数的方法。
（1）根据小数的意义，分母时10，100，1000......的分数化成小数时，直接去掉分母，看分母1后面有几个0，就在分子中从右边起向左数出几位，点上小数点，位数不够时用补足。
（2）根据分数与除法的关系，把分母不是10，100，1000......的分数化成小数时，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。
【专项练习】
一、选择题（每题2分，共10分）
1．把一条8米长的绳子平均分成n段，每段占全长的（ ）。
A． B． C．
2．一包饼干，明明吃了千克，聪聪吃了，两人谁吃得多？（ ）
A．明明吃得多 B．聪聪吃得多 C．无法确定
3．将1g糖融化在10g水中，水占糖水的（ ）。
A． B． C．
4．甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是（ ）。
A．甲数 B．乙数 C．无法确定
5．的分子乘3，要使分数的大小不变，分母应（ ）。
A．加上4 B．加上8 C．加上3
二、判断题（每题1分，共5分）
6．(1分)自然数11和12的最大公因数是1。( )
7．(1分)把一条6米长的绳子平均分成8段，每段是全长的。( )
8．(1分)的分子和分母同时乘a，分数的大小不变。( )
9．(1分)分母是6的分数都不能化成有限小数。( )
10．(1分)五（1）班女生占全班人数的，五（2）班女生也占全班人数的，两个班的女生同样多。( )
三、填空题(每空1分，共19分)
11．(1分)你听过“冰山一角”吗？冰山露在水面上的只是小部分，大部分隐藏在水下。假设一座冰山体积是1000m3，它露在外面的体积是100m3，露在外面的体积占冰山总体积的( )。
12．“天籁之音”合唱团有男生32人，女生24人，现在要给男、女生分别排队，要求每排人数相同，每排最多( )人，这时一共排成了( )排。
13．(3分)亮亮一家三口去新区广场跑步晨练，爸爸3分跑一圈，妈妈5分跑一圈，亮亮4分跑一圈。如果爸爸、妈妈同时跑，至少( )分后两人在起点相遇，此时爸爸跑了( )圈，妈妈跑了( )圈。
14．一个数的最大因数是30，这个数是( )，这个数与12的最小公倍数是( )。
15．(1分)学校选派一些同学参加公益活动，要求这些同学按8人一组或12人一组都能正好分完，参加这次活动的同学至少有( )人。
16．(1分)青山湖区第一批援疫党员志愿者的人数在40~50之间，这个数既是3的倍数，又是5的倍数，志愿者有( )人。
17．(1分)的分子加上16，要使分数的大小不变，分母应该加上( )。
18．(3分)在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( ) ( )
19．(3分)a为非0的自然数，当a___________时，是真分数；当a___________时，是假分数；当a________时，可以化成整数。
20．比大比小的分数只有4个。( )
理由：________________________________________。
四、计算题(共18分)
21．(6分)我会把下面每组中的两个数化成分母相同的假分数。
4和 和1
22．(6分)把下面的各组分数通分。
和 和 和
23．(6分)求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
8和9 12和24 15和21
五、作图题(共6分)
24．(6分)用阴影表示下列各分数。
六、解答题(共42分)
25．(6分)王叔叔四月份的工作天数占整个月天数的几分之几？休息天数占整个月天数的几分之几？（结果化成最简分数）
26．(6分)某篮球队在联赛中，一共打了50场比赛，其中赢了35场。这支球队输的场数占总场数的几分之几？
27．(6分)学校新买一批故事书，不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完。这批书至少有多少本？
28．(6分)新华书店卖出一部分童话书后，《格林童话》还剩，《安徒生童话》还剩，《舒克和贝塔》还剩。三种书原来一样多，哪种书卖出的本数最多？
29．(6分)时光电影院的一号大厅可容纳180名观众，热播电影《长津湖》在某个场次，票开售1小时内就已经售出了105张，这时未售的座位占座位总数的几分之几？
30．(6分)学校在校园里开辟了一块长12米，宽8米的长方形土地，准备把这片土地划分成大小相等的小正方形土地，每块小正方形土地的面积最大是多少？可以分成几块？
31．(6分)蛋糕店做了一些蛋挞，如果每盒装8个，正好装完；如果每盒装6个，也正好装完。蛋糕店最少做多少个蛋挞？
参考答案
1．B
【分析】根据分数的意义，平均分成n段，那么分母就是n，每段占几分之几，那么分子就是1。据此解题。
【详解】把一条8米长的绳子平均分成n段，每段占全长的。
故答案为：B
【点睛】本题考查了分数的意义，将一个整体平均分成若干份，取其中的一份或几份，可以用分数表示。
2．B
【分析】把这包饼干的质量看作单位“1”，聪聪吃了这包饼干的，则还剩下这包饼干的（1－），也就是明明最多能吃下这包饼干的（1－），计算出结果比较两个分数的大小，即可得解。
【详解】聪聪吃了这包饼干的，
1－＝
明明最多吃了这包饼干的，
＞
即聪聪吃的多。
故答案为：B
【点睛】计算出明明吃的部分占这包饼干的分率是解答题目的关键。
3．C
【分析】糖水是（1＋10）g，水是10g，求水占糖水的几分之几，实际上是求一个数占另一个数的几分之几，用除法，即用水的质量除以糖水的质量，可得解。
【详解】10÷（1＋10）
＝10÷11
＝
即水占糖水的。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
4．B
【分析】甲数是乙数的倍数，即甲数和乙数是倍数关系，且甲数＞乙数，根据当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；据此解答。
【详解】甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是乙数。
故答案为：B
【点睛】掌握两个数是倍数关系时，它们的最大公因数的求法是解题的关键。
5．B
【分析】把的分子乘3，根据分数的基本性质，分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；所以要使分数的大小不变，分母也应该乘3，这时分母变为12，再减去原来的数4，即可得到分母应增加的数。
【详解】根据分析得，要使分数的大小不变，分母也应该乘3。
或者增加：
4×3－4
＝12－4
＝8
即分母应加8。
故答案为：B
【点睛】此题的解题关键是灵活运用分数的基本性质求解。
6．√
【分析】在两个或两个以上的非零自然数中，如果它们有相同的因数，那么这些因数就叫做它们的公因数。其中最大的公因数，就叫做它们的最大公因数。
自然数11和12是互质数，它们的最大公因数是1。
【详解】11的因数：1，11；
12的因数：1，2，3，4，6，12；
11和12的最大公因数是1。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法，明确当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
7．√
【分析】求每段长是全长的几分之几，平均分的是单位“1”，表示把单位“1”平均分成8份，求的是每一份占的分率，用除法计算。
【详解】1÷8＝
即每段是全长的。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解决此题关键是弄清求得是分率还是具体的数量，求分率平均分的是单位“1”，求具体的数量平均分的是具体的数量，要注意分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
8．×
【分析】依据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；据此判断即可。
【详解】根据分数的基本性质可知：一个分数的分子和分母同时乘a，分数的大小不变，满足这个条件时，应说明a≠0；故原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查分数基本性质的识记与简单应用。
9．×
【分析】判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数要化简成最简分数；最简分数的分母如果只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
【详解】例如：＝，的分母只有质因数2，可以化成有限小数；
＝，的分母只有质因数2，可以化成有限小数。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查判断一个分数能否化成有限小数的方法，注意一定是最简分数。
10．×
【分析】五（1）班女生占全班人数的，是把五（1）班全班的人数看作单位“1”，五（2）班女生也占全班人数的，是把五（2）班全班的人数看作单位“1”，因为两个班的总人数不明确，也就是单位“1”不同，所以两个班的女生人数不一定一样多。
【详解】根据分析得，因为两个班的总人数不明确，即单位“1”并不确定相同，所以两个班的女生无法确定是否一样多。
故答案为：×
【点睛】此题的解题关键是弄清并确定前后单位“1”的不同。
11．
【分析】用露在外面的体积除以冰山的体积，求出露在外面的体积占冰山总体积的几分之几。
【详解】100÷1000＝
所以，露在外面的体积占冰山总体积的。
【点睛】本题考查了分数和除法的关系，被除数相当于分子，除数相当于分母。
12． 8 7
【分析】已知合唱团有男生32人，女生24人，在排队时，要求每排人数相同，因为每排人数既是男生人数的因数，又是女生人数的因数，即男生、女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是求最大公因数；然后用男生人数除以这个最大公因数，求得男生排成了几排，同理求得女生排成了几排，把排数相加，即可求出这时一共排成了几排。
【详解】24＝2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
2×2×2＝8（人）
24÷8＋32÷8
＝3＋4
＝7（排）
【点睛】能够结合题意联想到公因数、最大公因数，且按照一定的方法，求得最大公因数，是解题关键。
13． 15 5 3
【分析】爸爸3分跑一圈，妈妈5分跑一圈，求两人再次相遇的时间，就是求3和5的最小公倍数，用最小公倍数分别除以他们跑一圈所用的时间，就可以分别求出他们跑的圈数。
【详解】3和5是互质数，
所以3和5的最小公倍数是：3×5＝15。
至少15分钟后两人在起点相遇。
15÷3＝5（圈）
15÷5＝3（圈）
即此时爸爸跑了5圈，妈妈跑了3圈。
【点睛】明确求两人再次相遇的时间，就是求3和5的最小公倍数是解答本题的关键，根据时间除以跑一圈用的时间即可求出跑的圈数。
14． 30 60
【分析】根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。利用质因数分解法，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。据此求出这个数及这个数与12的最小公倍数。
【详解】根据分析得，一个数的最大因数是30，这个数是30。
30＝2×3×5
12＝2×2×3
30与12的最小公倍数是：2×3×5×2＝60。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握一个数的因数的特征以及求两个数的最小公倍数的方法。
15．24
【分析】由题可知，要求这些同学按8人一组或12人一组都能正好分完，求出8和12的最小公倍数即可，据此解答。
【详解】8的倍数有：8，16，24，32……
12的倍数有：12，24，36，48……
12和8的最小公倍数是：24，所以参加这次活动的同学至少有24人。
【点睛】本题主要考查的是最小公倍数的求法在实际问题中的应用。
16．45
【分析】根据题意可知，这个数既是3的倍数，又是5的倍数，说明志愿者的数量正好是3和5的公倍数，写出3和5的公倍数，再根据志愿者的人数在40~50之间，确定志愿者的数量，据此解答。
【详解】3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48⋯
5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50⋯
3和5的公倍数有：15、30、45⋯
因为志愿者的人数在40~50之间，45符合条件，所以志愿者有45人。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用求两个数的公倍数的方法解决问题。
17．20
【分析】把的分子加上16后，分子变为20，相当于分子乘5，根据分数的基本性质，分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；所以要使分数的大小不变，分母也应该乘5，这时分母变为25，再减去原来的数5，即可得到分母应增加的数。
【详解】4＋16＝20
20÷4＝5
所以分母也应该乘5。
或者增加：
5×5－5
＝25－5
＝20
即分母应该加上20。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用分数的基本性质求解。
18． ＞ ＞ ＜
【分析】异分母异分子分数的大小比较：利用通分法，先根据分数的基本性质，把两个异分母分数化为分母相同的分数，再来比较大小。
把带分数化成假分数后，再根据同分子分数的大小比较：分子相同的分数，分母大的反而小，分母小的反而大。
【详解】＝，＝，＞，所以＞；
＝，2＜4，所以＞，即＞；
＝，＝，＜，所以＜。
【点睛】此题主要考查带分数与假分数之间的互化以及分数比较大小的方法。
19． 小于14 大于等于15 是25的倍数
【分析】在分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数；要把分数化成整数，用分子除以分母，要能整除，那么a应该是25的倍数才能满足条件，据此解答。
【详解】a为非0的自然数，当a小于14时，是真分数；当a大于等于15时，是假分数；当a是25的倍数时，可以化成整数。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握真分数和假分数的定义。
20． × 任意两个不相等的分数之间都有无数个分数
【分析】此题可从两个方面考虑：①大于且小于的分数的同分母分数的个数；②不同分母的分数的个数，可根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大到原来的2倍、3倍、4倍⋯，即可找出中间数的各数，进而得出结论。
【详解】①大于且小于的同分母分数的个数，有、、这三个分数；
②不同分母的分数的个数：
根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大到原来的2倍、3倍、4倍⋯，
如：把分子分母同时扩大2倍，符合条件的分数有、、⋯
把分子分母同时扩大3倍，符合条件的分数有、、⋯
因为分母8的倍数的个数是无限的，
所以不同分母的分数的个数有无限个。
综上，大于且而小于的分数有无数个。
故答案为：×
理由：任意两个不相等的分数之间都有无数个分数。
【点睛】该题主要考查了分数的基本性质、同分母、异分母的大小比较等知识点的理解和应用。
21．，；，
【分析】带分数化假分数的方法是整数部分乘分母加分子作分子，分母不变；整数可以看作是分母为1的假分数；再根据分数的基本性质，分子、分母都乘一个相同的数（0除外），即可化成成两个数化成分母相同的假分数。
【详解】＝，4＝；
＝，1＝。
22．（1）；
（2）；
（3）；
【分析】通分，也就是把两个分数转化成同分母分数，需要找出两个分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质进行通分。
【详解】8和12的最小公倍数是24；
所以，。
3和24的最小公倍数是24；
所以，；
5和9的最小公倍数是45；
所以，。
23．8和9的最大公因数是1，最小公倍数是72；
12和24的最大公因数是12，最小公倍数是24；
15和21的最大公因数是3，最小公倍数是105。
【分析】如果两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；
如果两个数是倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；
求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
【详解】8和9是互质数，所以8和9的最大公因数是1，最小公倍数是8×9＝72。
12和24是倍数关系，所以12和24的最大公因数是12，最小公倍数是24。
15＝3×5，21＝3×7，
所以15和21的最大公因数是3，最小公倍数是3×5×7＝105。
24．见详解
【分析】图1是把12个三角形当成一个整体看作单位“1”，把它平均分成2份，其中1份涂上颜色，每1份是6个三角形，即可表示分数；
图2先把假分数化成带分数，整数是2，先把前两个圆全部涂色，表示整数2，再把第三个圆平均分成4份，其中1份涂色即可表示分数，则全部涂色部分即可表示分数；
图3把这个长方形看作单位“1”，把它平均分成8份，其中3份涂色即可表示分数。
【详解】如图：
【点睛】本题是考查分数的意义，属于基础知识。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
25．；
【分析】四月份工作的时间的天数是22天，四月份总天数是30天，休息的天数是（30－22）天，求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用四月份工作的时间的天数除以整个月天数即可得解，用四月份休息的天数除以整个月天数即可得解。
【详解】22÷30＝
（30－22）÷30
＝8÷30
＝
答：四月份工作时间的天数占整个月天数的，休息天数占整个月天数的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
26．
【分析】这支球队输的场数的是（50－35）场，总场数是50场，求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用输的场数除以总场数，即可得解。
【详解】（50－35）÷50
＝15÷50
＝
答：这支球队输的场数占总场数的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
27．60本
【分析】不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完，说明这批书的数量必须是15和20的公倍数，如果要求这批书的数量至少是多少本，那么必须是15和20的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法解答即可。
【详解】15＝3×5
20＝2×2×5
15和20的最小公倍数是：2×2×3×5＝60。
答：这批书至少有60本。
【点睛】此题的解题关键是运用求两个数的最小公倍数的方法解决实际的问题。
28．《格林童话》卖出的本数最多。
【分析】因为三种书原来一样多，所以，和的单位“1”是相同的，直接比较三个分数的大小，分数最小的表示剩下的最少也就是卖出的本数最多，据此完成解答。
【详解】
因为，所以，因此《格林童话》剩下的本数最少，即它卖出的本数最多。
答：《格林童话》卖出的本数最多。
【点睛】解答本题的关键是明确三个分数的单位“1”是相同的。
29．
【分析】已知一号大厅能容纳180名观众，且此时已经售出105张电影票，即有105个座位已经预订完了，还剩（180－105）个座位，把座位总数看作单位“1”，要求得未售的座位占座位总数的几分之几，就是求剩下的座位数是180的几分之几，列式为：（180－105）÷180，得数能约分的要约分。
【详解】（180－105）÷180
＝75÷180
＝
＝
答：这时未售的座位占座位总数的。
【点睛】运用分数与除法的关系求解，注意先把剩下的座位数求出来；也可以先计算出已售座位占座位总数的几分之几，再用单位“1”减去这个分率。
30．16平方米；6块
【分析】求出12和8的最大公因数，所求最大公因数即为小正方形土地的最大边长，再用长方形土地的面积除以一块小正方形土地的面积，据此解答。
【详解】
12和8的最大公因数是
4×4＝16（平方米）
（块）
答：每块小正方形土地的面积最大是16平方米，可以分成6块。
【点睛】本题主要考查的是最大公因数的求法在实际问题中的应用。
31．24个
【分析】每盒装8个，或者每盒装6个，都没有剩余，说明蛋挞的数量是6和8的公倍数，求蛋糕店最少做的蛋挞的数量，即是求6和8的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法，即可求出蛋糕店最少做多少个蛋挞。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24。
即最少做24个蛋挞。
答：蛋糕店最少做24个蛋挞。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用求两个数的最小公倍数的方法解决实际的问题。
4.分数的意义和性质（普通校）
2022-2023学年五年级下册数学期中专项复习
【知识梳理】
1、分数的产生。
在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数结果，这时常用分数来表示。
2、分数的意义。
（1）分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。
（2）单位“1”的意义：一个物体、一些物体等可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫作单位“1”，也叫作整体“1”。
3、分数单位的意义。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数叫作分数单位，一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一，一个分数的分子是几，它就有几个这样的分数单位。
4、分数与除法的关系。
两个整数相除，可以用分数表示商，分过来说，一个分数也可以看作是两个整数相除，分数的分子相等于被除数，分母相当于除数，分数线都相当于除号，分数值相当于商。
5、求一个数是另一个数的几分之几的问题。
求一个数是另一个数的几分之几的问题的解题方法：
一个数÷另一个数=，得到的商表示两个数的关系，没有单位名称。
求一个数是另一个数的几倍，就把另一个数看作标准量，看一个数里面有多少个另一个数，一个数÷另一个数=倍数。
6、真分数的意义和特征。
分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。
7、假分数的意义和特征。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫作假分数。假分数大于1或等于1。
8、把假分数化成整数或带分数。
假分数化成整数或带分数的方法：用分子除以分母，当分子是分母的倍数时，能化成整数，商就是这个整数；当分子不是分母的倍数时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是真分数的分子，分母不变。
9、分数的基本性质。
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫作分数的基本性质。
10、分数的基本性质的应用。
利用分数的基本性质，把分母不同的分数化成分母相同的分数，要注意一看、二变、三算。一看，看分母如何变化；二变，根据分母的变化，确定分子的变化；三算，根据分数的基本性质计算。
11、公因数和最大公因数的意义。
几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中，最大的一个公因数叫作它们的最大公因数。
12、求两个数的最大公因数的方法。
（1）列举法：先分别列举出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数，并从中找出最大的。
（2）筛选法：先列举除两个数中一个数的因数，再从中筛选出另一个数的因数，最后找出最大的一个。
（3）短除法：先把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
13、约分。
（1）把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作约分。
（2）约分的方法有两种：一是逐步约分法，即用分数的分子和分母的公因数（1除外）依次去除分子和分母，直到得出一个最简分数；二是一次约分法，即直接用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，得到最简分数。
（3）分子和分母只有公因数1的分数叫作最简分数。
14、公倍数和最小公倍数的概念。
几个数公有的倍数叫作这几个数的公倍数。其中，最小的一个公倍数叫作这几个数的最小公倍数。
15、求两个数的公倍数及最小公倍数的方法。
求两个数的最小公倍数的方法：（1）列举法；（2）筛选法；（3）分解质因数；（4）短除法。
16、同分母分数、同分子分数的大小比较。
（1）分母相同，分子不同的两个分数，分子大的分数大。
（2）分子相同，分母不同的两个分数，分母小的分数大。
17、通分的概念和方法。
（1）通分的概念：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。
（2）通分的方法：通分时先用原分母的公倍数做公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数做公分母），再把个分数化成用这个公倍数做分母的分数。
18、小数化成分数的方法。
有限小数可以直接写成分母时10.100.1000......的分数，原来时几位小数，就在1后面写几个0做分母，把原来的小数去掉小数点后做分子，能约分的都应约成最简分数。
19、分数化成小数的方法。
（1）根据小数的意义，分母时10，100，1000......的分数化成小数时，直接去掉分母，看分母1后面有几个0，就在分子中从右边起向左数出几位，点上小数点，位数不够时用补足。
（2）根据分数与除法的关系，把分母不是10，100，1000......的分数化成小数时，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。
【专项练习】
一、选择题（每题2分，共10分）
1．把一条8米长的绳子平均分成n段，每段占全长的（ ）。
A． B． C．
2．一包饼干，明明吃了千克，聪聪吃了，两人谁吃得多？（ ）
A．明明吃得多 B．聪聪吃得多 C．无法确定
3．将1g糖融化在10g水中，水占糖水的（ ）。
A． B． C．
4．甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是（ ）。
A．甲数 B．乙数 C．无法确定
5．的分子乘3，要使分数的大小不变，分母应（ ）。
A．加上4 B．加上8 C．加上3
二、判断题（每题1分，共5分）
6．(1分)自然数11和12的最大公因数是1。( )
7．(1分)把一条6米长的绳子平均分成8段，每段是全长的。( )
8．(1分)的分子和分母同时乘a，分数的大小不变。( )
9．(1分)分母是6的分数都不能化成有限小数。( )
10．(1分)五（1）班女生占全班人数的，五（2）班女生也占全班人数的，两个班的女生同样多。( )
三、填空题(每空1分，共19分)
11．(1分)你听过“冰山一角”吗？冰山露在水面上的只是小部分，大部分隐藏在水下。假设一座冰山体积是1000m3，它露在外面的体积是100m3，露在外面的体积占冰山总体积的( )。
12．“天籁之音”合唱团有男生32人，女生24人，现在要给男、女生分别排队，要求每排人数相同，每排最多( )人，这时一共排成了( )排。
13．(3分)亮亮一家三口去新区广场跑步晨练，爸爸3分跑一圈，妈妈5分跑一圈，亮亮4分跑一圈。如果爸爸、妈妈同时跑，至少( )分后两人在起点相遇，此时爸爸跑了( )圈，妈妈跑了( )圈。
14．一个数的最大因数是30，这个数是( )，这个数与12的最小公倍数是( )。
15．(1分)学校选派一些同学参加公益活动，要求这些同学按8人一组或12人一组都能正好分完，参加这次活动的同学至少有( )人。
16．(1分)青山湖区第一批援疫党员志愿者的人数在40~50之间，这个数既是3的倍数，又是5的倍数，志愿者有( )人。
17．(1分)的分子加上16，要使分数的大小不变，分母应该加上( )。
18．(3分)在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
( ) ( ) ( )
19．(3分)a为非0的自然数，当a___________时，是真分数；当a___________时，是假分数；当a________时，可以化成整数。
20．比大比小的分数只有4个。( )
理由：________________________________________。
四、计算题(共18分)
21．(6分)我会把下面每组中的两个数化成分母相同的假分数。
4和 和1
22．(6分)把下面的各组分数通分。
和 和 和
23．(6分)求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
8和9 12和24 15和21
五、作图题(共6分)
24．(6分)用阴影表示下列各分数。
六、解答题(共42分)
25．(6分)王叔叔四月份的工作天数占整个月天数的几分之几？休息天数占整个月天数的几分之几？（结果化成最简分数）
26．(6分)某篮球队在联赛中，一共打了50场比赛，其中赢了35场。这支球队输的场数占总场数的几分之几？
27．(6分)学校新买一批故事书，不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完。这批书至少有多少本？
28．(6分)新华书店卖出一部分童话书后，《格林童话》还剩，《安徒生童话》还剩，《舒克和贝塔》还剩。三种书原来一样多，哪种书卖出的本数最多？
29．(6分)时光电影院的一号大厅可容纳180名观众，热播电影《长津湖》在某个场次，票开售1小时内就已经售出了105张，这时未售的座位占座位总数的几分之几？
30．(6分)学校在校园里开辟了一块长12米，宽8米的长方形土地，准备把这片土地划分成大小相等的小正方形土地，每块小正方形土地的面积最大是多少？可以分成几块？
31．(6分)蛋糕店做了一些蛋挞，如果每盒装8个，正好装完；如果每盒装6个，也正好装完。蛋糕店最少做多少个蛋挞？
参考答案
1．B
【分析】根据分数的意义，平均分成n段，那么分母就是n，每段占几分之几，那么分子就是1。据此解题。
【详解】把一条8米长的绳子平均分成n段，每段占全长的。
故答案为：B
【点睛】本题考查了分数的意义，将一个整体平均分成若干份，取其中的一份或几份，可以用分数表示。
2．B
【分析】把这包饼干的质量看作单位“1”，聪聪吃了这包饼干的，则还剩下这包饼干的（1－），也就是明明最多能吃下这包饼干的（1－），计算出结果比较两个分数的大小，即可得解。
【详解】聪聪吃了这包饼干的，
1－＝
明明最多吃了这包饼干的，
＞
即聪聪吃的多。
故答案为：B
【点睛】计算出明明吃的部分占这包饼干的分率是解答题目的关键。
3．C
【分析】糖水是（1＋10）g，水是10g，求水占糖水的几分之几，实际上是求一个数占另一个数的几分之几，用除法，即用水的质量除以糖水的质量，可得解。
【详解】10÷（1＋10）
＝10÷11
＝
即水占糖水的。
故答案为：C
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
4．B
【分析】甲数是乙数的倍数，即甲数和乙数是倍数关系，且甲数＞乙数，根据当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；据此解答。
【详解】甲数是乙数的倍数，则两数的最大公因数是乙数。
故答案为：B
【点睛】掌握两个数是倍数关系时，它们的最大公因数的求法是解题的关键。
5．B
【分析】把的分子乘3，根据分数的基本性质，分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；所以要使分数的大小不变，分母也应该乘3，这时分母变为12，再减去原来的数4，即可得到分母应增加的数。
【详解】根据分析得，要使分数的大小不变，分母也应该乘3。
或者增加：
4×3－4
＝12－4
＝8
即分母应加8。
故答案为：B
【点睛】此题的解题关键是灵活运用分数的基本性质求解。
6．√
【分析】在两个或两个以上的非零自然数中，如果它们有相同的因数，那么这些因数就叫做它们的公因数。其中最大的公因数，就叫做它们的最大公因数。
自然数11和12是互质数，它们的最大公因数是1。
【详解】11的因数：1，11；
12的因数：1，2，3，4，6，12；
11和12的最大公因数是1。
原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查求两个数的最大公因数的方法，明确当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1。
7．√
【分析】求每段长是全长的几分之几，平均分的是单位“1”，表示把单位“1”平均分成8份，求的是每一份占的分率，用除法计算。
【详解】1÷8＝
即每段是全长的。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解决此题关键是弄清求得是分率还是具体的数量，求分率平均分的是单位“1”，求具体的数量平均分的是具体的数量，要注意分率不能带单位名称，而具体的数量要带单位名称。
8．×
【分析】依据分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；据此判断即可。
【详解】根据分数的基本性质可知：一个分数的分子和分母同时乘a，分数的大小不变，满足这个条件时，应说明a≠0；故原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查分数基本性质的识记与简单应用。
9．×
【分析】判断一个分数能否化成有限小数，首先要看这个分数是不是最简分数，如果不是最简分数要化简成最简分数；最简分数的分母如果只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2或5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
【详解】例如：＝，的分母只有质因数2，可以化成有限小数；
＝，的分母只有质因数2，可以化成有限小数。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查判断一个分数能否化成有限小数的方法，注意一定是最简分数。
10．×
【分析】五（1）班女生占全班人数的，是把五（1）班全班的人数看作单位“1”，五（2）班女生也占全班人数的，是把五（2）班全班的人数看作单位“1”，因为两个班的总人数不明确，也就是单位“1”不同，所以两个班的女生人数不一定一样多。
【详解】根据分析得，因为两个班的总人数不明确，即单位“1”并不确定相同，所以两个班的女生无法确定是否一样多。
故答案为：×
【点睛】此题的解题关键是弄清并确定前后单位“1”的不同。
11．
【分析】用露在外面的体积除以冰山的体积，求出露在外面的体积占冰山总体积的几分之几。
【详解】100÷1000＝
所以，露在外面的体积占冰山总体积的。
【点睛】本题考查了分数和除法的关系，被除数相当于分子，除数相当于分母。
12． 8 7
【分析】已知合唱团有男生32人，女生24人，在排队时，要求每排人数相同，因为每排人数既是男生人数的因数，又是女生人数的因数，即男生、女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是求最大公因数；然后用男生人数除以这个最大公因数，求得男生排成了几排，同理求得女生排成了几排，把排数相加，即可求出这时一共排成了几排。
【详解】24＝2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
2×2×2＝8（人）
24÷8＋32÷8
＝3＋4
＝7（排）
【点睛】能够结合题意联想到公因数、最大公因数，且按照一定的方法，求得最大公因数，是解题关键。
13． 15 5 3
【分析】爸爸3分跑一圈，妈妈5分跑一圈，求两人再次相遇的时间，就是求3和5的最小公倍数，用最小公倍数分别除以他们跑一圈所用的时间，就可以分别求出他们跑的圈数。
【详解】3和5是互质数，
所以3和5的最小公倍数是：3×5＝15。
至少15分钟后两人在起点相遇。
15÷3＝5（圈）
15÷5＝3（圈）
即此时爸爸跑了5圈，妈妈跑了3圈。
【点睛】明确求两人再次相遇的时间，就是求3和5的最小公倍数是解答本题的关键，根据时间除以跑一圈用的时间即可求出跑的圈数。
14． 30 60
【分析】根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最大的因数＝最小的倍数＝这个数本身。利用质因数分解法，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。据此求出这个数及这个数与12的最小公倍数。
【详解】根据分析得，一个数的最大因数是30，这个数是30。
30＝2×3×5
12＝2×2×3
30与12的最小公倍数是：2×3×5×2＝60。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握一个数的因数的特征以及求两个数的最小公倍数的方法。
15．24
【分析】由题可知，要求这些同学按8人一组或12人一组都能正好分完，求出8和12的最小公倍数即可，据此解答。
【详解】8的倍数有：8，16，24，32……
12的倍数有：12，24，36，48……
12和8的最小公倍数是：24，所以参加这次活动的同学至少有24人。
【点睛】本题主要考查的是最小公倍数的求法在实际问题中的应用。
16．45
【分析】根据题意可知，这个数既是3的倍数，又是5的倍数，说明志愿者的数量正好是3和5的公倍数，写出3和5的公倍数，再根据志愿者的人数在40~50之间，确定志愿者的数量，据此解答。
【详解】3的倍数有：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48⋯
5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50⋯
3和5的公倍数有：15、30、45⋯
因为志愿者的人数在40~50之间，45符合条件，所以志愿者有45人。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用求两个数的公倍数的方法解决问题。
17．20
【分析】把的分子加上16后，分子变为20，相当于分子乘5，根据分数的基本性质，分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变；所以要使分数的大小不变，分母也应该乘5，这时分母变为25，再减去原来的数5，即可得到分母应增加的数。
【详解】4＋16＝20
20÷4＝5
所以分母也应该乘5。
或者增加：
5×5－5
＝25－5
＝20
即分母应该加上20。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用分数的基本性质求解。
18． ＞ ＞ ＜
【分析】异分母异分子分数的大小比较：利用通分法，先根据分数的基本性质，把两个异分母分数化为分母相同的分数，再来比较大小。
把带分数化成假分数后，再根据同分子分数的大小比较：分子相同的分数，分母大的反而小，分母小的反而大。
【详解】＝，＝，＞，所以＞；
＝，2＜4，所以＞，即＞；
＝，＝，＜，所以＜。
【点睛】此题主要考查带分数与假分数之间的互化以及分数比较大小的方法。
19． 小于14 大于等于15 是25的倍数
【分析】在分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数；要把分数化成整数，用分子除以分母，要能整除，那么a应该是25的倍数才能满足条件，据此解答。
【详解】a为非0的自然数，当a小于14时，是真分数；当a大于等于15时，是假分数；当a是25的倍数时，可以化成整数。
【点睛】此题的解题关键是理解掌握真分数和假分数的定义。
20． × 任意两个不相等的分数之间都有无数个分数
【分析】此题可从两个方面考虑：①大于且小于的分数的同分母分数的个数；②不同分母的分数的个数，可根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大到原来的2倍、3倍、4倍⋯，即可找出中间数的各数，进而得出结论。
【详解】①大于且小于的同分母分数的个数，有、、这三个分数；
②不同分母的分数的个数：
根据分数的基本性质，把分子分母同时扩大到原来的2倍、3倍、4倍⋯，
如：把分子分母同时扩大2倍，符合条件的分数有、、⋯
把分子分母同时扩大3倍，符合条件的分数有、、⋯
因为分母8的倍数的个数是无限的，
所以不同分母的分数的个数有无限个。
综上，大于且而小于的分数有无数个。
故答案为：×
理由：任意两个不相等的分数之间都有无数个分数。
【点睛】该题主要考查了分数的基本性质、同分母、异分母的大小比较等知识点的理解和应用。
21．，；，
【分析】带分数化假分数的方法是整数部分乘分母加分子作分子，分母不变；整数可以看作是分母为1的假分数；再根据分数的基本性质，分子、分母都乘一个相同的数（0除外），即可化成成两个数化成分母相同的假分数。
【详解】＝，4＝；
＝，1＝。
22．（1）；
（2）；
（3）；
【分析】通分，也就是把两个分数转化成同分母分数，需要找出两个分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质进行通分。
【详解】8和12的最小公倍数是24；
所以，。
3和24的最小公倍数是24；
所以，；
5和9的最小公倍数是45；
所以，。
23．8和9的最大公因数是1，最小公倍数是72；
12和24的最大公因数是12，最小公倍数是24；
15和21的最大公因数是3，最小公倍数是105。
【分析】如果两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；
如果两个数是倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；
求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
【详解】8和9是互质数，所以8和9的最大公因数是1，最小公倍数是8×9＝72。
12和24是倍数关系，所以12和24的最大公因数是12，最小公倍数是24。
15＝3×5，21＝3×7，
所以15和21的最大公因数是3，最小公倍数是3×5×7＝105。
24．见详解
【分析】图1是把12个三角形当成一个整体看作单位“1”，把它平均分成2份，其中1份涂上颜色，每1份是6个三角形，即可表示分数；
图2先把假分数化成带分数，整数是2，先把前两个圆全部涂色，表示整数2，再把第三个圆平均分成4份，其中1份涂色即可表示分数，则全部涂色部分即可表示分数；
图3把这个长方形看作单位“1”，把它平均分成8份，其中3份涂色即可表示分数。
【详解】如图：
【点睛】本题是考查分数的意义，属于基础知识。把单位“1”平均分成若干份，用分数表示，分母是分成的份数，分子是要表示的份数。
25．；
【分析】四月份工作的时间的天数是22天，四月份总天数是30天，休息的天数是（30－22）天，求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用四月份工作的时间的天数除以整个月天数即可得解，用四月份休息的天数除以整个月天数即可得解。
【详解】22÷30＝
（30－22）÷30
＝8÷30
＝
答：四月份工作时间的天数占整个月天数的，休息天数占整个月天数的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
26．
【分析】这支球队输的场数的是（50－35）场，总场数是50场，求一个数占另一个数的几分之几，用除法，用输的场数除以总场数，即可得解。
【详解】（50－35）÷50
＝15÷50
＝
答：这支球队输的场数占总场数的。
【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数占另一个数的几分之几的计算方法。
27．60本
【分析】不论分给15个小朋友，还是20个小朋友，都正好分完，说明这批书的数量必须是15和20的公倍数，如果要求这批书的数量至少是多少本，那么必须是15和20的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法解答即可。
【详解】15＝3×5
20＝2×2×5
15和20的最小公倍数是：2×2×3×5＝60。
答：这批书至少有60本。
【点睛】此题的解题关键是运用求两个数的最小公倍数的方法解决实际的问题。
28．《格林童话》卖出的本数最多。
【分析】因为三种书原来一样多，所以，和的单位“1”是相同的，直接比较三个分数的大小，分数最小的表示剩下的最少也就是卖出的本数最多，据此完成解答。
【详解】
因为，所以，因此《格林童话》剩下的本数最少，即它卖出的本数最多。
答：《格林童话》卖出的本数最多。
【点睛】解答本题的关键是明确三个分数的单位“1”是相同的。
29．
【分析】已知一号大厅能容纳180名观众，且此时已经售出105张电影票，即有105个座位已经预订完了，还剩（180－105）个座位，把座位总数看作单位“1”，要求得未售的座位占座位总数的几分之几，就是求剩下的座位数是180的几分之几，列式为：（180－105）÷180，得数能约分的要约分。
【详解】（180－105）÷180
＝75÷180
＝
＝
答：这时未售的座位占座位总数的。
【点睛】运用分数与除法的关系求解，注意先把剩下的座位数求出来；也可以先计算出已售座位占座位总数的几分之几，再用单位“1”减去这个分率。
30．16平方米；6块
【分析】求出12和8的最大公因数，所求最大公因数即为小正方形土地的最大边长，再用长方形土地的面积除以一块小正方形土地的面积，据此解答。
【详解】
12和8的最大公因数是
4×4＝16（平方米）
（块）
答：每块小正方形土地的面积最大是16平方米，可以分成6块。
【点睛】本题主要考查的是最大公因数的求法在实际问题中的应用。
31．24个
【分析】每盒装8个，或者每盒装6个，都没有剩余，说明蛋挞的数量是6和8的公倍数，求蛋糕店最少做的蛋挞的数量，即是求6和8的最小公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法，即可求出蛋糕店最少做多少个蛋挞。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24。
即最少做24个蛋挞。
答：蛋糕店最少做24个蛋挞。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用求两个数的最小公倍数的方法解决实际的问题。
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