2022-2023学年天津六十一中九年级（下）段考数学试卷（一）（含解析）

2022-2023学年天津六十一中九年级（下）段考数学试卷（一）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我国传统文化中的“福禄寿喜”图如图由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外无任何区别．摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球次，其中有次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点的对应点的坐标为(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  对于抛物线，下列判断不正确的是(    )

A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为
C. 对称轴为直线 D. 若随的增大而增大，则

5.  如图，四边形内接于，是上一点，且，连接并延长交的延长线于点，连接，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图所示，小正方形的边长均为，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率与加工时间单位：满足函数表达式，则最佳加工时间为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形是矩形，是边延长线上的一点，与相交于点，则图中的相似三角形共有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

10.  已知二次函数图象的顶点在坐标轴上，则的值一定不是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，中，，，与的三边相切于点、、，若的半径为，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：；；；是关于的一元二次方程的一个根其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  第一盒中有个白球，个黄球，第二盒中有个白球，个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒子中任取个球，则取出的个球都是黄球的概率为______．

14.  正六边形的边心距为，这个正六边形的面积为        ．

15.  用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为        ．

16.  抛物线的对称轴为直线，且经过点，则的值为        ．

17.  如图，正方形的边长为，且，将绕点逆时针旋转，得到若，则的长为______

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点．
Ⅰ线段的长为        ．
Ⅱ请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图：
确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为        ；
画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明        ．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程：；
已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求：的取值范围．

20.  本小题分
已知，是的直径，弦于点
如图，若，，求的直径；
如图，连接并延长交于点，连接，若，求的度数．
 

21.  本小题分
已知：如图，等腰的一腰为的直径，底边与交于点，过作于．
求证：为的切线；
若，，求的长．

22.  本小题分
某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是元调查发现销售单价是元时，月销售量是件，而销售单价每上涨元，月销售量就减少件，且每件文具售价不能高于元，每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为元？
解：设每件文具上涨元，则售价为        元，
则根据题意，得        ，
整理方程，得        ，
解得：        ，
检验：        ，每件文具售价为：        元
答：每件文具的售价定为        元时，月销售利润恰为元．

23.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？
用含的式子表示：        ，        ，        ．
写出关于的函数解析式及的取值范围；
当取何值时，的面积有最大值，最大值为多少？

24.  本小题分
如图，点是正方形两条对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接、，则直线和的夹角为        ；线段、之间的数量关系是        ．

如图，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，
试判断中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
若正方形的边长为时，在旋转过程中，求长的最大值和此时角的度数，直接写出结果不需要说明理由．

25.  本小题分
如图，已知抛物线经过，，三点，直线是抛物线的对称轴．
求抛物线的函数关系式及对称轴；
设点为直线上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标？
在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
【解答】
解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：共摸了次，其中次摸到黑球，
有次摸到白球，
摸到黑球与摸到白球的次数之比为：，
口袋中黑球和白球个数之比为：，
盒子中大约有白球个．
故选：．
根据共摸球次，其中次摸到黑球，则摸到黑球与摸到白球的次数之比为：，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为：；即可计算出白球数．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出点坐标．
【解答】
解：线段的两个端点坐标分别为，，
以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，
点的横坐标和纵坐标都变为点的一半，
点的坐标为：．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：抛物线，
，抛物线的开口向上，故选项A正确，不符合题意；
顶点坐标是，则对称轴为直线，故选项B、C正确，不符合题意；
对称轴为，开口向上，
若随着的增大而增大，则，故选项D正确，符合题意；
故选：．
根据抛物线的解析式，由的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和对称轴，根据抛物线所处的位置即可确定与轴的交点情况．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次根式的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，，
．
，，
，
．
故选：．
先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
将绕点按逆时针方向旋转至，使点落在的延长线上．
，
，
故选：．
由三角形内角和定理可求，由旋转的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定，为基础题．
根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】
解：根据题意得：，，，
：：：：，
A、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与相似；
B、三边之比：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
C、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
D、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意：，
当时，取得最大值，
则最佳加工时间为．
故选：．
根据二次函数的性质可得．
本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】
解：，，
∽；
是公共角，，
∽；
∽．
故有对．
故选B．  

10.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的顶点坐标为，
二次函数图象的顶点在坐标轴上，
或，
解得或，，
故选：．
根据题目中的函数解析式和该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到的值，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接、，设，由切线长定理得，
与的三边分别点、、，
，，
四边形为正方形，
的半径为，，
，，
在中，
，即，
解得，
的周长为．
故选：．
设，由切线长定理得，根据题意可得四边形为正方形，则，，在直角三角形中，利用勾股定理求出，然后求其周长．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数开口向下，与轴交于轴正半轴，
，，
二次函数对称轴为直线，
，
，
，故错误；
，
，故错误；
，，
，
把代入得，
，故错误；
，对称轴为直线，
，
是关于的一元二次方程的一个根，故正确；
正确的只有个，
故选：．
根据二次函数的开口方向，与轴的交点，对称轴可知，，，由此即可判断；再根据，，得到，即可推出，即可判断；根对称性求出，即可判断．
本题考查了抛物线与轴交点及与二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中个球都是黄球占种，
所以取出的个球都是黄球的概率；
故答案为：．
先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出个球都是黄球所占结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，过点作于，

六边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，，
正六边形的边心距为，即，
，
在中，，即，
，
，
故答案为：．
首先根据题意作出图形，然后可得是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得的长，继而求得正六边形的面积．
本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定及性质以及三角函数等知识，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故答案为：．
根据扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长计算即可．
本题考查了弧长公式、圆锥底面半径，掌握弧长公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
根据二次函数的对称性得：点的对称点为，
当时，，
的值等于．
故答案为：．
根据二次函数对称性可求出点关于对称轴直线的对称点为，然后把代入即可求出答案．
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点关于对称轴的对称点，此题难度不大．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系．
由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出；则可得到，正方形的边长为，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长．
【解答】
解：逆时针旋转得到，
，
、、三点共线，
，，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
设，
，且，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：，即．
故答案为：．  

18.【答案】   取的中点，过点作，交网格点于点，设交于点，连接并延长，交于点 

【解析】解：Ⅰ线段的长为．
故答案为：．
Ⅱ利用网格，作线段和的垂直平分线，交于点．
如图，点即为所求．
连接，
由勾股定理得，，
四边形外接圆的半径为．
故答案为：．
取的中点，过点作，交网格点于点，
设交于点，
点为的中点，
连接并延长，交于点，连接，
，
，
平分．
即线段为所求．
故答案为：取的中点，过点作，交网格点于点，设交于点，连接并延长，交于点．
Ⅰ利用勾股定理可得答案．
Ⅱ利用网格，作线段和的垂直平分线，交于即为圆心；连接，由勾股定理可得答案．
取的中点，过点作，交网格点于点，设交于点，连接并延长，交于点，连接，即可得出答案．
本题考查作图复杂作图、勾股定理、垂径定理、圆周角定理，熟练掌握勾股定理、垂径定理和圆周角定理是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，；
根据题意知，
解得：，
，
的取值范围是且． 

【解析】运用因式分解法解一元二次方程即可；
根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，代入求解即可．
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的几种解法以及一元二次方程根的判别式是解本题的关键．
 

20.【答案】解：是的直径，弦于点，，
．
设，则，
在中，
，即，解得，
；

是的直径，弦于点，
．
，
，
．
是的直径，
，
． 

【解析】连接，先根据垂径定理得出的长，再设，则，在中根据勾股定理求出的值，进而可得出结论；
先根据垂径定理得出，再由得出，故可得出，再由是的直径得出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理解答是解答此题的关键．
 

21.【答案】证明；连接，

，，
，，
，
，
，
，
为半径，
为的切线．
解：连结，
为的直径，
，即，
，
，
根据勾股定理，可得，
，
，
． 

【解析】连接，根据三角形中位线定理得到，进而得出，根据切线的判定定理证明结论；
根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的判定定理、勾股定理、三角形的面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

22.【答案】      ，  不合题意，舍去     

【解析】解：设每件文具上涨元，则售价为元，
则根据题意，得，
整理方程，得，
解得：，，
检验：当时，，
不合题意，舍去，
，
每件文具售价为：元．
答：每件文具的售价定为元时，月销售利润恰为元．
故答案为：，，；，；不合题意，舍去；；．
根据题意知一件玩具的利润为元，月销售量为件，然后根据月销售利润一件玩具的利润月销售量列出一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够了解总利润的计算方法，难度不大．
 

23.【答案】     

【解析】解：根据题意有：，，
，，
，
故答案为：，，；
由运动可知，，
根据题意有：，
，，
，
故关于的函数解析式为；
，
，
当时，的面积有最大值．
根据题意直接列式即可作答；
根据中结果，结合三角形的面积公式即可作答；
将的结果配成顶点式，即可作答．
本题主要考查动点在线段上运动的规律，二次函数图像与性质等知识，理解动点运动中时间与的面积关系是解题的关键．
 

24.【答案】  相等 

【解析】解：如图，延长交于点，

点是正方形两对角线的交点，
，，
又，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，即；
故答案为：；相等；
如图，延长交于点，交于点．

点是正方形两对角线的交点，
，，
，，
．
由旋转变换的性质可知，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
如图，连接，，，

四边形是正方形，
，
正方形的边长为，
，
，，
，
，
当、、在一条直线上时，的长最大，最大值为，此时．
延长交于点，证明≌，根据等量代换证明结论；
延长交于点，交于点，然后仿照的步骤求解即可；
根据正方形的性质分别求和的长，根据旋转变换的性质求出长的最大值和此时的度数．
本题属于四边形综合题，考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质以及勾股定理，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：将、、代入抛物线中，
则，
解得，
故抛物线的解析式是；
由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线；

点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，理由：的周长为最小，
设直线的表达式为，
则，
解得，
故直线的表达式为，
当时，，
故点，
则的周长最小值；


设点，
由点、、的坐标知，，，，
当时，，解得：或舍去，
当时，，解得：或，
当时，，解得：，
检验：当时，、、三点共线，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的点有个，坐标为、、、． 

【解析】待定系数法求解即可得出答案；
点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，求出直线的表达式为，得出，则的周长最小值；
设点，由点、、的坐标知，，，，分三种情况：当时，，当时，，当时，，求解再检验即可得出答案．
本题是二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．