2022-2023学年河北省邯郸市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年河北省邯郸市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接根据集合的交集运算即可得到答案.

【详解】集合，集合，则.

故选：A

2．命题“，使”的否定是（    ）

A．“，使” B．“，使”

C．“，使” D．“，使”

【答案】D

【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.

【详解】命题“，使”的否定是“，使”，

故选：D

3．下列各组函数中表示同一个函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据两个函数表示同一个函数的条件，即函数三要素都相同，逐个选项判断即可．

【详解】对于选项A，，，

两个函数的对应关系不同，不是同一个函数；

对于选项B，的定义域为R，的定义域为，

两个函数的定义域不同，不是同一个函数；

对于选项C，，利用诱导公式可得到，两个函数不是同一个函数；

对于选项D，，利用诱导公式可得到，

对应法则相同，且定义域、值域也相同，故两个函数是同一个函数，

故选：D．

4．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的零点存在定理，结合函数的单调性逐个选项判断即可得到答案．

【详解】易知在R上单调递减，

又因为，

∴函数的零点所在的一个区间是，

故选：B．

5．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的情况判断即可.

【详解】对任意的，，故函数的定义域为R，

又因为，所以为奇函数，故A、C错误；

当时，，故B错误；

故选：D．

6．若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】确定，，，代入计算得到答案.

【详解】，故，又，，

，

故选：C

7．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的单调性可判断，利用指对互化以及幂函数的单调性可判断，进而可求解.

【详解】∵，∴，又，，∵为 的增函数，∴，∴，

故选：A．

8．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数零点与方程的根的关系，解方程和函数作图，利用数形结合运算求解即可．

【详解】由已知得，

所以或，作出函数的图象，

得的图象与直线恰有2个交点，

所以由题意知直线与的图象没有交点，所以或，

故选：B．

二、多选题

9．已知，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据基本不等式，结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A，因为，所以，所以，当且仅当取等号，故A正确；

对于B，因为，当且仅当取等号，故B不正确；

对于C，因为，当且仅当取等号，故C不正确；

对于D，因为，当且仅当取等号，故D正确．

故选:AD．

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．π为函数的最小正周期

B．点是函数图象的一个对称中心

C．函数在上单调递增

D．函数的图象关于直线对称

【答案】ABC

【分析】根据型函数的周期、对称中心、对称轴、单调性等基础知识，逐个选项判断即可得到答案．

【详解】由题可知，的最小正周期为，故A正确；

因为．故B正确；

因为，故可得，故C正确；

因为，故D错误．

故选：ABC．

11．下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用奇函数定义、函数的单调性逐项判断可得答案.

【详解】对于A，，因为，所以为奇函数，

且单调递增函数，所以单调递增函数，故A正确；

对于B，的定义域为，因为，

所以为奇函数，且单调递增区间为，所以在整个定义域上不单调，故B错误；

对于C，的定义域为，因为，

所以为奇函数，因为为增函数，所以为增函数，故C正确；

对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数，因为在上不单调，故D错误．

故选：AC．

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，的值域为

B．当时，的单调递减区间为

C．t取任意实数时，均有的图象关于直线对称

D．若的定义域为全体实数，则实数t的取值范围是

【答案】BC

【分析】根据，可求的值域，即可判断A,根据复合函数的单调性即可判断B，根据二次函数的对称性即可判断C，根据判别式小于0即可判断D.

【详解】对于A，当时,，故的值域为,故A错误；

对于B，当时，，此时定义域为，令，

由于在单调递减，为定义域内的增函数，由复合函数单调性满足“同增异减”的判断方法得，的单调递减区间为，故B正确；

对于C，真数关于对称，故C正确；

对于D，若的定义域为全体实数，则在R上恒成立，即，则，故D错误．

故：BC．

三、填空题

13．已知点在幂函数的图象上，则______．

【答案】##

【分析】利用待定系数法，求得函数解析式，根据幂的运算，可得答案.

【详解】设幂函数（α为常数），∴，∴，∴，．

故答案为：.

14．若不等式的解集为，则______．

【答案】5

【分析】根据一元二次不等式与方程解的关系，列出等式即可求解.

【详解】由题意得，是方程的两个根，

∴，，

∴．

故答案为：5.

四、双空题

15．已知角θ的终边经过点，则______，______．

【答案】     2    

【分析】根据任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，直接运算即可．

【详解】∵角θ的终边经过点，∴；

∴．

故答案为：①   ②．

五、填空题

16．已知为定义在R上的偶函数，当时，函数单调递减，且，则的解集为______．

【答案】

【分析】根据的性质可作出的图象，根据平移可得的图象，结合图象即可求解.

【详解】由题意知函数在上单调递增且为偶函数，由得，作出的图象并向左平移一个单位，所以 ，或 ．故的解集为．

故答案为：

六、解答题

17．（1）

（2）

【答案】（1）5 ；（2） ．

【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；

（2）根据对数的运算性质计算即可

【详解】（1）原式．

（2）原式．

18．非空集合，．

(1)若，求；

(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合,即可根据集合的交并补运算进行求解，

（2）根据充分不必要条件转化成集合的包含关系，即可列不等式求解.

【详解】（1）∵，∴，，

∴ ．

（2）由题意知，

∴

∴，

∴实数a的取值范围为．

19．已知函数是定义在R上的奇函数．

(1)求实数a的值，并判断函数的单调性；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)，函数为增函数

(2)

【分析】（1）根据函数为R上的奇函数可得，即可求出，再利用定义法即可判断函数的单调性；

（2）先由得，从而可求得的范围，进而可得函数的值域.

【详解】（1）由题可知，函数是定义在R上的奇函数，

∴，即，

经检验时，为奇函数，则，

令，

则，

∵为增函数，，

∴，

∴，即

∴函数为增函数；

（2）∵，∴，∴，

∴，∴，

∴函数的值域为．

20．2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

(1)试写出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；

(2)当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)

(2)产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000（万元）

【分析】（1）根据利润=销售额-成本，可得出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；

（2）分别求出分段函数两个范围的最大值，再比较大小即可得到企业所获最大利润．

【详解】（1）根据利润=销售额-成本，可得

当时，

当时，

，

故；

（2）由（1）可知，

，

当时，，

当时，

当时，，

当且仅当，即时，，

，产量为（千部）时，企业所获利润最大，

最大利润是9000（万元）.

21．已知函数．

(1)求函数的最大值及取得最大值时x的所有取值；

(2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来2的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)最大值为，取得最大值时x的所有取值为

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换及辅助角公式可得，再由的性质求解即可；

（2）通过图象变换可得，把所求问题转化为函数的值域问题，再由的范围求出的范围，从而可得的范围，即可求出m的范围．

【详解】（1）因为，

所以函数的最大值为．

令．

所以函数取得最大值时x的所有取值为．

（2）由题意得，

因为，所以，所以，

故实数m的取值范围为．

22．已知函数在区间上的最大值为2，最小值为 ．

(1)求实数a，b的值；

(2)若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）换元，转化成关于 的二次函数，利用二次函数的单调性即可求解.

（2）换元成关于 的二次函数，利用参数分离，求解函数的最大值即可.

【详解】（1）,令，设，，

∵，对称轴为，∴在上单调递增，

则 即 解得，

∴实数a的值为1，b的值为0．

（2）由，得，

令，则，，

当时，恒成立，即；

当时，，

令，则只需，

由于均为上的单调递增函数，所以，在上单调递增，

∴，∴，

综上，实数k的取值范围为．