2023年广东省珠海九中中考数学一模试卷

这是一份2023年广东省珠海九中中考数学一模试卷，共22页。
2023年广东省珠海九中中考数学一模试卷
一.选择题（共10小题，每题3分）
1．（3分）下列实数为无理数的是（　　）
A． B．0.2 C．﹣5 D．
2．（3分）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3
4．（3分）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠α与∠β相等（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
6．（3分）下列命题中是假命题的是（　　）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7．（3分）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（　　）

A．27° B．53° C．57° D．63°
8．（3分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
10．（3分）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
二.填空题（共5小题，每题3分）
11．（3分）因式分解3x2﹣3y2＝　 　．
12．（3分）写出一个比大且比小的整数是 　 　．
13．（3分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 　 　s时，小球达到最高点．
14．（3分）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 　 　．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是 　 　．

三.解答题一（共3题，每题8分）
16．（8分）解不等式组：．
17．（8分）化简：，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
18．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

四、解答题二（共3题，每题9分）
19．（9分）2022年10月31日15时37分，中国空间站梦天实验舱在长征五号B运载火箭的托举下顺利升空．某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动．现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出20名学生的成绩进行分析，并给制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：0≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数），其中七年级成绩处于C组的有12人．
七年级C组成绩分别为：89，88，87，86，85，85，85，85，85，84，82，82；

七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
n
85
八年级
83
87
87
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知七、八年级各有800名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于C组的学生共有多少人？

20．（9分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
21．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．

五.解答题三（共2题，每题12分）
22．（12分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，求证：CE+BD＝AF．

23．（12分）已知抛物线y＝x2+tx﹣t﹣1（t＞0）过点（h，﹣4），交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有m2+tm﹣t﹣1≥﹣4成立．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使得∠BMC＝∠BAC，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若P1（n﹣2，y1），P2（n，y2），P3（n+2，y3）三点都在抛物线上且总有y3＞y1＞y2，请直接写出n的取值范围．

2023年广东省珠海九中中考数学一模试卷
（参考答案）
一.选择题（共10小题，每题3分）
1．（3分）下列实数为无理数的是（　　）
A． B．0.2 C．﹣5 D．
【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.232×109 B．2.32×109 C．2.32×108 D．23.2×108
【解答】解：232000000＝2.32×108．
故选：C．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝2 B．＝﹣3 C．2+3＝5 D．（+1）2＝3
【解答】解：A、＝﹣2，故A不符合题意；
B、＝3，故B不符合题意；
C、2+3＝5，故C符合题意；
D、（+1）2＝3+2，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠α与∠β相等（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；
B、根据同角的余角相等，∠α＝∠β，且∠α与∠β均为锐角，符合题意；
C、∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，互余，不符合题意；
D、∠α+∠β＝180°，互补，不符合题意．
故选：B．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
6．（3分）下列命题中是假命题的是（　　）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【解答】解：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，故A是真命题，不符合题意；
如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定互补，故B是假命题，符合题意；
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，故C是真命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故D是真命题，不符合题意；
故选：B．
7．（3分）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（　　）

A．27° B．53° C．57° D．63°
【解答】解：如图，

∵AE∥BF，
∴∠EAB＝∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABF+27°＝90°，
∴∠ABF＝63°，
∴∠EAB＝63°，
∵AB∥CD，
∴∠AED＝∠EAB＝63°．
故选：D．
8．（3分）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：

红
绿
红
（红，红）
（绿，红）
绿
（红，绿）
（绿，绿）
所有等可能的情况有4种，其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的有1种情况，
所以第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长为（　　）

A．+1 B．+2 C．2+2 D．2+3
【解答】解：由作图可知，BD平分∠ABC，
∵AB＝BC，BE＝AC＝4，
∴BE⊥AC，，
∴，
∵BE⊥AC，点F为BC的中点，
∴，
∴△CEF的周长为：．
故选：C．
10．（3分）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．
由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，②错误．
由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，③正确．
设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；
故选：D．
二.填空题（共5小题，每题3分）
11．（3分）因式分解3x2﹣3y2＝　3（x+y）（x﹣y）　．
【解答】解：3x2﹣3y2
＝3（x2﹣y2）
＝3（x+y）（x﹣y）．
故答案为：3（x+y）（x﹣y）．
12．（3分）写出一个比大且比小的整数是 　2或3　．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴2＜3，
∴比大且比小的整数是2或3．
13．（3分）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 　2　s时，小球达到最高点．
【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
14．（3分）用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 　10cm　．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝10．
故答案为10cm．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是 　5﹣5　．

【解答】解：∵将△ABE沿BE翻折得到△FBE，
∴BF＝BA＝10，
∴点F在以B为圆心，10为半径的圆上运动，
∴当点G、F、B三点共线时，GF最小，
连接EG，设AE＝x，

由勾股定理得，BG＝5，
∵S梯形ABGD＝S△EDG+S△ABE+S△EBG，
∴（5+10）×10＝++，
解得x＝5﹣5，
∴AE＝5﹣5，
故答案为：5﹣5．
三.解答题一（共3题，每题8分）
16．（8分）解不等式组：．
【解答】解：由①得x≤5，
由②得x＞2，
故不等式组的解集为2＜x≤5．
17．（8分）化简：，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义，
当a＝0时，
原式＝
＝1．
18．（8分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．

【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
四、解答题二（共3题，每题9分）
19．（9分）2022年10月31日15时37分，中国空间站梦天实验舱在长征五号B运载火箭的托举下顺利升空．某校为了解学生对航天知识的掌握情况，开展了“航天知识我来答”竞赛活动．现从七年级和八年级参与竞赛的同学中各随机选出20名学生的成绩进行分析，并给制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：A组：0≤x＜70，B组：70≤x＜80，C组：80≤x＜90，D组：90≤x≤100，x表示成绩，成绩为整数），其中七年级成绩处于C组的有12人．
七年级C组成绩分别为：89，88，87，86，85，85，85，85，85，84，82，82；

七年级、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
83
n
85
八年级
83
87
87
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对航天知识掌握得更好？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知七、八年级各有800名学生参加竞赛，请估计两个年级成绩处于C组的学生共有多少人？

【解答】解：（1）七年级C组人数所占百分比为，
则m%＝100%﹣60%﹣20%﹣10%＝10%，
所以m＝10；
七年级D组的人数为10%×20＝2（人），
因为七年级成绩处于C组的有12人，
所以将七年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为85，85，
则其中位数；
八年级B组的人数为：20﹣2﹣8﹣6＝4（人）．
补全条形统计图如下：

（2）解：八年级的学生对航天知识掌握得更好，理由如下：
七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的学生对航天知识掌握得更好．
（3）800×+800×﹣＝800（人），
答：估计两个年级成绩处于C组的学生共有800人．

20．（9分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
+10＝，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．

（2）3x＝3×120＝360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
21．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C、D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OCD的面积．

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝2，
∵A（4，0），
∴OA＝4，OB＝8，
∴B（0，8），
∵A，B两点在直线y＝ax+b上，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵BC＝3AC，
∴AB＝4AC，
∴CE∥OB，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴C（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）由，解得或，
∴D（1，6），
过点D作DF⊥y轴于点F，
∴S△OCD＝S△AOB﹣S△BOD﹣S△COA
＝•OA•OB﹣•OB•DF﹣•OA•CE
＝×4×8﹣×8×1﹣×4×2
＝8

五.解答题三（共2题，每题12分）
22．（12分）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，求证：CE+BD＝AF．

【解答】（1）证明：∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC＝，
故⊙O的半径为；
（3）证明：由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
又∵CO＝DO，OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
23．（12分）已知抛物线y＝x2+tx﹣t﹣1（t＞0）过点（h，﹣4），交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于点C，且对于任意实数m，恒有m2+tm﹣t﹣1≥﹣4成立．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使得∠BMC＝∠BAC，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若P1（n﹣2，y1），P2（n，y2），P3（n+2，y3）三点都在抛物线上且总有y3＞y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）∵对于任意实数m，恒有m2+tm﹣t﹣1≥﹣4成立，
∴顶点的纵坐标为﹣4，
即﹣t﹣1﹣＝﹣4，
解得：t＝﹣6（舍去）或2，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；

（2）存在，理由：
对于y＝x2+2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，
令y＝x2+2x﹣3＝0，则x＝﹣3或1，即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），
∵OA＝OC＝3，则∠BAC＝45°＝∠BMC，
则点M在△ABC的外接圆上，

作AC的中垂线l交抛物线的对称轴于点R，则点R是△ABC的外接圆的圆心，
则点H是A、C的中点，则点H的坐标为（﹣，﹣），
则直线l的表达式为：y＝x，
由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝x＝﹣1，则点R（﹣1，﹣1），
设点M（﹣1，m），
则MR＝AR，
即（﹣1+1）2+（m+1）2＝（﹣1+3）2+（0+1）2，
解得：m＝﹣1±，
即点M（﹣1，﹣1﹣）或（﹣1，﹣1+）；

（3）由抛物线的图象知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
根据函数的对称性，点P2不可能在对称轴上，
∵y3＞y1＞y2，
当P2在对称轴右侧时，
则P3在对称轴的右侧，P1必然在对称轴的左侧，
此时，P3、P1、P2离对称轴的距离依次减小，
即n+2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（n﹣2）且﹣1﹣（n﹣2）＞n﹣（﹣1），
解得：﹣1＜n＜0；
当P2在对称轴左侧时，
列出的表达式和P2在对称轴右侧完全一致，
故﹣1＜n＜0．