2022-2023学年河北省沧州市部分学校高一上学期第一次阶段测试（月考）数学试题含解析

2022-2023学年河北省沧州市部分学校高一上学期第一次阶段测试数学试题

一、单选题

1．下列各组对象不能构成集合的是（    ）

A．1~10之间的所有奇数 B．北方学院2022级大学一年级学生

C．滑雪速度较快的人 D．直线上的所有的点

【答案】C

【分析】根据集合元素满足确定性可得出结论．

【详解】由于集合中的元素满足确定性，

ABD选项中的对象均满足确定性，而C选项中，滑雪速度的快慢没有确切的标准，所以这组对象不能构成集合.，

故选：C．

2．集合的真子集共有（    ）个

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【解析】直接根据含有个元素的集合，其子集个数为，真子集为个；

【详解】解：因为集合含有3个元素，故其真子集为个

故选：C

3．设a，，则“”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】根据充分性与必要性概念即可作出判断.

【详解】因为，且能推出；不能推出且，

（如，），所以，“”是“且”的必要不充分条件，

故选：B.

4．已知且，，，则M与N的大小关系是（    ）

A． B． C． D．不能确定

【答案】A

【分析】利用作差法，结合配方法，比较大小.

【详解】解：因为，且，且，

所以，所以，

故选：A.

5．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式，然后求交集即可.

【详解】，，

所以，，所以.

故选：A

6．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】利用特殊值可判断AB，利用不等式的性质可判断CD.

【详解】对于A选项，若，则，故A错误；

对于B选项，取，，满足，但此时，故B错误；

对于C选项，∵，在不等式同时乘以，得，

另一方面在不等式两边同时乘以b，得，∴，故C正确；

对于D选项，，则，所以，即，故D错误.

故选：C.

7．已知全集为U，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由于阴影部分在集合A中，而不在集合B中，从而可知阴影部分为.

【详解】解：阴影部分在集合A中，而不在集合B中，

故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B，即，

因为集合，，

所以.

故选：D

8．已知，且满足，则有（    ）

A．最大值  B．最小值  C．最大值1 D．最小值1

【答案】A

【分析】由基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当，即时等号成立.

故选：A.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据常见数集及元素与集合关系即可作出判断.

【详解】根据常见数集的表示可知，，，，.

故选：AD

10．若M、N是全集I的真子集，下面四个命题m，n，s，t是命题充要条件的是（    ）

，，，

A．m B．n C．s D．t

【答案】AC

【分析】把条件具体化，结合充要条件即可作出判断.

【详解】解：由得图，

对于A，，易知等价于，m是p的充要条件；

对于B，，易知等价于，n不是p的充要条件；

对于C，，易知等价于，s是p的充要条件；

对于D，M、N是全集I的真子集，不成立，t不是p的充要条件.

故是p的充要条件的有m，s，

故选：AC.

11．设集合，且，则实数a可以是（    ）

A．  B．1 C．  D．0

【答案】ACD

【分析】由，可得，对集合N分类讨论可得结果.

【详解】，因为，所以，

因为，所以当时，，满足，

当时，，满足，

当时，，满足，

故选：ACD.

12．已知正数、满足，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用基本不等式一一计算可得.

【详解】解：因为正数、满足，所以，

所以，当且仅当时取等号，故A错误；

正数、满足，则，

当且仅当时取等号，故B正确；

，

当且仅当时取等号，故C正确；

由，所以，

当且仅当时取等号，故D错；

故选：BC.

三、填空题

13．用列举法表示由满足不等式的整数构成的集合为______________.

【答案】.

【分析】先解不等式组，从而可求出满足不等式的整数.

【详解】解：由得，

满足此不等式的整数有0，1，

故构成的集合为.

故答案为：.

14．已知命题，，则为____________.

【答案】，

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题得到结果.

【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题。

命题，，则：，.

故答案为：，

15．已知，，令，则 x 的取值范围____________（结果用集合表示）.

【答案】

【分析】根据不等式的性质即得.

【详解】由，可得，

又，

两式相加，可得，

即 x 的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

16．①，，②一次函数的图像过，两点，在这两个条件中选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知集合，，_________，求.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】.

【分析】选①：根据元素与集合的关系即可确定a的范围，再根交集的定义运算即得；选②：根据一次函数经过两点可列出方程组，即可求出，然后根据交集的定义即得.

【详解】选择①，因为，，

所以，

则，

因为，即集合B为奇数集，

∴；

选择②，因为一次函数的图像过，两点，

所以，解得，

则，

因为，即集合B为奇数集，

∴.

17．已知集合或，.

(1)求.

(2)若，求实数m的取值范围.（结果用集合表示）

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据补集的定义即得；

（2）由题可得，然后分，讨论即得.

【详解】(1)因为或，

所以；

(2)因为，则，

当时，，解得，；

当时，，解得；

综上，实数m的取值范围为.

18．已知集合，集合，.

(1)求， ；

(2)设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）根据一元一次不等式的求解得集合 ,进而由集合的交并运算即可求解，

（2）将必要不充分条件转化为集合间的关系即可求解.

【详解】(1)由得，所以；

由得，所以,

所以，.

(2)因为，所以，，

因为“”是“”的必要不充分条件，所以

所以解得：.

19．（1）已知，，求证：.

（2）A、B地相距2公里，甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条线路步行到B地.甲在前一半时间的行走速度为，后一半时间的行走速度为；乙用速度走完1公里，用速度走完剩下的1公里.若，问甲、乙两人谁先到达B地？并说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）甲先到达B地，理由见解析.

【分析】（1）根据不等式的性质即得；

（2）由题可表示出两人所用的时间，然后利用作差法即得.

【详解】（1）因为，所以，

将的两边同乘，则，即，

所以；

（2）甲先到达B地.

因为A、B地相距2公里，设甲从A地出发到达B地所用的时间为，乙从A地出发到达B地所用的时间为，

则，，

因为，且，，

所以，

即，

故甲先到达B地.

20．设集合，，，，若.

(1)求集合A，B；

(2)定义集合A、B的一种运算：，求.

【答案】(1)，.

(2).

【分析】（1）根据题意可得，得到参数值，逐一验证即可；

（2）根据新定义即可得到结果.

【详解】(1)由，可得或，解得或5.

①当时，，，B中元素重复，故舍去；

②当时，，，，满足题意，

③当时，，此时与矛盾，故舍去.

综上所述，，；

(2)∵，

.

21．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求M在射线上，N在射线上，且对角线过C点.已知米，米，设的长为米.

(1)用来表示矩形花坛的面积；

(2)求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.

【答案】(1)

(2)米，米，最小面积为96平方米

【分析】（1）根据比例关系，可得，从而得到矩形花坛的面积；

（2）利用换元法，结合基本不等式得到最值.

【详解】(1)设的长为x米（），

∵是矩形，∴，

∴，∴；

(2)令，，则，

∴

当且仅当，即时，等号成立，

此时米，米，最小面积为96平方米

五、双空题

22．（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则__________.（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

（2），，则M________N（填“>，<，=，≥，≤”之一）.

【答案】          

【分析】利用作差法结合不等式的性质即得.

【详解】（1）∵，

又∵，，

∴，即；

（2）因为，，

故.

故答案为：；.