专题22 相似三角形与函数的综合-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题22 相似三角形与函数的综合-2023年中考数学二轮专题提升训练，共25页。试卷主要包含了求线段的长，求字母的值，求比值或比值的最值，求点的坐标等内容，欢迎下载使用。

类型一 求线段的长
典例1
（2022•淮安）
1．如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点．

(1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
(2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标；
(3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．
典例2
（2021春•海州区校级期中）
2．如图（1），矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设AP＝x，△PAB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关系如图（2）所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ．
（1）直接写出AD的长是______，AB的长是______；
（2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值．

类型二 求字母的值
典例3
（2021•苏州）
3．如图，二次函数（m是实数，且）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，，连接并延长交y轴于点F，连接．
(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于时，求m的值．
类型三 求比值或比值的最值
典例4
（2022•宿迁）
4．如图，二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，顶点为，连接、，若点是线段上一动点，连接，将沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，且点与、点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：；
②求；
(3)当时，求直线与二次函数的交点横坐标．
类型四 求点的坐标
典例5
（2021•惠阳区一模）
5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第二部分 专题提优训练
（2022•河东区一模）
6．如图，A为反比例函数（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝，过点B作BC⊥OB，交反比例函数（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则k＝_____；，＝_____．
7．如图，在平面直角坐标系中，中，其中，，点D在反比例函数图象上，且，以为边作平行四边形，其中点F在反比例函数图象上，点E在x轴上，则点E的横坐标为（ ）．
A．B．C．3D．
（2021•越秀区模拟）
8．如图，点和点是反比例函数图像上的两点，一次函数的图像经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足．
(1)求；
(2)已知点在线段上，当时，求点的坐标．
9．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点D为的中点，点P在抛物线上．
(1)______；
(2)若点P在第一象限，过点P作轴，垂足为与分别交于点是否存在这样的点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（2019•盐城）
10．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．(1)，顶点坐标
(2)点横坐标为或或或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求．
【详解】（1）解：将点，代入
∴
解得
∴
∵，
∴顶点坐标；
（2）解：设直线的解析式为，
∴
解得
∴，
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
当时， 整理得，
解得，，
当时，整理得，
解得，，
∴点横坐标为或或或；
（3）解：∵，点与点关于轴对称，
∴，
令，则，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作点关于的对称点，连接与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
同理可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
2．（1）4，3；（2）或．
【分析】（1）由图（2）可知当点P运动到D点时，AD=4，△ABD的面积为6，即可求出AB的长；
（2）当点Q落在AC上时，根据轴对称性质可得BP⊥AQ，根据矩形的性质及同角的余角相等可得∠ABP＝∠ACB，即可证明△BAP∽△CBA，根据相似三角形的性质即可得x的值；当点Q落在BD上时，根据勾股定理可得BD=5，根据轴对称的性质可得△PAB≌△PQB，可得∠PQB＝∠A＝90°，PQ＝PA，进而可得△PDQ∽△BDA，根据相似三角形的性质即可求出x的值；综上即可得答案．
【详解】（1）由图（2）可知当点P运动到D点时，AP=AD=4，△ABD的面积为6，
∴，
解得：．
故答案为：AD＝4，AB＝3
（2）①如图，当点Q落在AC上时，
∵点A关于BP的对称点为Q
∴BP⊥AQ，
∴∠ABP＋∠BAC＝90°，
∵矩形ABCD中∠ABC＝90°，
∴∠ACB＋∠BAC＝90°，
∴∠ABP＝∠ACB，
∵∠PAB＝∠ABC＝90°，
∴△BAP∽△CBA，
∴，
∴，
∴x＝．
②如图，当点Q落在BD上时，
∵AD＝4，AB＝3，∠A＝90°，
∴BD＝＝5，
∵点A关于BP的对称点为Q，
∴△PAB≌△PQB，
∴∠PQB＝∠A＝90°，PQ＝PA，
∴∠DQP＝∠A＝90°，
∵∠PDQ＝∠BDA，
∴△PDQ∽△BDA，
∴，
∴，
∴x＝．
综上所述：x的值是或．
【点睛】本题考查函数图象、轴对称的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质、灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
3．(1)，，
(2)
【分析】（1）令，解得或m，故点A、B的坐标分别为，，则点C的横坐标为，即可求解；
（2）由，即，在中，；点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交对称轴于点Q，则点Q为所求点，进而求解．
【详解】（1）令，
解得或m，
故点A、B的坐标分别为，，
则点C的横坐标为，即点C的坐标为；
（2）由点C的坐标知，，
故，
∵，，
∴，
∴，即，
∵点C是中点，则为的中位线，
则，
在中，，
∴，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交对称轴于点Q，
由于的周长为最小，
则点Q为所求点，即，
则，解得，
∵，
故．
【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
4．(1)
(2)①证明见解析，②
(3)或．
【分析】（1）二次函数与轴交于 (0，0)，A(4，0)两点，代入求得b，c的值，即可得到二次函数的表达式；
（2）①由＝，得到顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线和对称轴为直线x＝2，由抛物线的对称性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折叠的性质得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，进一步得到∠COD＝∠，由对顶角相等得∠ODC＝∠BD，证得结论；
②由，得到，设点D的坐标为（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范围内，当d＝2时，DC有最小值为，得到的最小值，进一步得到的最小值；
（3）由和得到 ，求得B＝AB＝1，进一步得到点B的坐标是（3，0），设直线BC的解析式为y＝x＋，把点B（3，0），C（2，﹣2）代人求出直线BC的解析式为y＝2x－6，设点的坐标是（p，q），则线段A的中点为（，），由折叠的性质知点（，）在直线BC上，求得q＝2p－4，由两点间距离公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得点的坐标，设直线的解析式为y＝x＋，由待定系数法求得直线的解析式为y＝x＋4，联立直线和抛物线，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于 (0，0)， (4，0)两点，
∴代入 (0，0)， (4，0)得，，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）①证明：∵ ＝，
∴顶点C的坐标是（2，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵二次函数与轴交于(0，0)，(4，0)两点，
∴由抛物线的对称性可知OC＝AC，
∴∠CAB＝∠COD，
∵沿折叠后，点落在点的位置，线段与轴交于点，
∴ △ABC≌△BC，
∴∠CAB＝∠，AB＝B，
∴∠COD＝∠，
∵∠ODC＝∠BD，
∴；
②∵，
∴，
设点D的坐标为（d，0），
DC＝，
∵点与、点不重合，
∴0＜d＜4，
对于 ＝来说，
∵ a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，在顶点处取最小值，当d＝2时，的最小值是4，
∴当d＝2时，DC有最小值为，
OC＝，
∴有最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵OC＝2，
∴B＝AB＝1，
∴点B的坐标是（3，0），
设直线BC的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），C（2，﹣2）代人得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x－6，
设点的坐标是（p，q），
∴线段A的中点为（，），
由折叠的性质知点（，）在直线BC上，
∴＝2×－6，
解得q＝2p－4，
B＝，
整理得＝1，
解得p＝2或p＝，
当p＝2时，q＝2p－4＝0，此时点（2，0），很显然不符合题意，
当p＝时，q＝2p－4＝，此时点（，），符合题意，
设直线的解析式为y＝x＋，
把点B（3，0），（，）代人得，，
解得，
∴直线的解析式为y＝x＋4，
联立直线和抛物线得到，，
解得，，
∴直线与二次函数的交点横坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数求函数的表达式、两点间距离公式、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式、一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、图形的折叠等知识，难度较大，属于中考压轴题，数形结合是解决此问题的关键．
5．（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0)
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x−1，求得BD于是得到结论；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．
【详解】（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，
即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D，
把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得，
解得：，
∴y=2x﹣1，当y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0），
∴BD=2﹣=，
∴△ABC的面积=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3；
（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，
∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC和△MNO相似时，有或，
①当时，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，
∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；
②当或时，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
6． 12
【分析】过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AMBC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出的值
【详解】解：过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示：
∵OA＝AB，AH⊥OB，
∴OH＝BH＝OB＝2，
∴AH＝，
∴点A的坐标为（2，6），
∵A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，
∴k＝2×6＝12，
∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，
∴BC＝，
∵AHBC，OH＝BH，
∴MH＝BC＝，
∴AM＝AH−MH＝，
∵AMBC，
∴△ADM∽△BDC，
∴，
故答案为：12，．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是构建相似三角形．
7．C
【分析】如图，作轴于H．利用相似三角形的性质求出点D坐标，求出k的值以及点F坐标即可解决问题；
【详解】解：如图，作轴于H．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵D在上，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴点E的横坐标为3．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数解析式求得点的坐标，得到的长度，结合点的坐标和三角形面积求出的面积，进而求出的面积，由反比例函数系数的几何意义求得的值；
（2）利用待定系数法确定直线函数关系式，求出点的坐标，根据正切的定义列出求出的关系，解方程组得到答案．
【详解】（1）解：由一次函数得，点的坐标为，
∵点的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∵点是反比例函数图像上的点，
∴，即，
∴．
（2）解：如图所示，
由（1）知，反比例函数解析式是，把点的坐标为代入得，
∴，解得，，
∴点的坐标为，将其代入，得到，解得，，
∴直线的解析式是：，
令，则，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，，设，则，
∵，
∴，即，
∴，整理得，，
解方程组，得或，
∵点在第一象限，
∴．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活掌握待定系数法确定函数关系式，函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式．
9．(1)2
(2)存在，P
【分析】（1）把点A的坐标代入二次函数表达式，即可求出b的值；
（2）用待定系数法求出直线BC和BD的表达式，设点P的坐标为(m，-m²+2m+3)，则可得到点M、N的坐标，然后用点的坐标表示出PM、MN、NH的长，根据PM=MN=NH列出方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解∶∵二次函数y=-x²+bx+3的图象过点A(-1，0)，
∴0=-(-1)²-b+3．
∴b=2．
故答案为：2．
（2）解：如图，连接BD，BC，过点P作PH⊥ε轴于点H，分别交BC，BD于点M，N．
由题意知，抛物线y=-x²+2x+3交x轴于点A(-1，0)，B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC的中点，
∴D(0，)·
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则，
解得
∴y=-x+3，
设直线BD的解析式为y=mx+n，
则，
解得
∴
假设存在符合条件的点P(m，-m²+2m+3)，
则M(m，-m+3)，N
∵PM=MN=NH，
∴=(-m²+2m+3)-(-m+3)．
整理，得2m²-7m+3=0，
解得 (不合题意，舍去)．
∴P 使得PM=MN=NH．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、函数图像的交点问题、用坐标表示线段的长度、二次函数图像上点的坐标特征以及一元二次方程的解法，解答本题的关键是数形结合．
10．（1）1，2；（2）﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在， 或．
【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，然后求解进一步得出答案即可；
（2）分两种情况：①OA=AB；②OA=OB，据此分类讨论即可；
（3）分两种情况：①当点B在x轴上方时；②当点B在x轴下方时，据此分类讨论即可.
【详解】解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，
解得：x＝1或2，
故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；
（2）OA＝，
①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；
②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；
故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；
（3）存在，理由：
①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，
图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，
设： HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，
则AN＝AH＝﹣k，AB＝，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，
即：（1﹣m）2＝m2+（+k）2，
解得：m＝﹣k2﹣k，
在△AHM中，tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝k+2，
解得：k＝，
此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，
故k＝﹣；
②当点B在x轴下方时，
同理可得：tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝＝-（k+2），
解得：k＝或，
此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，
故k的值为：﹣或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.