专题26 反比例函数与几何综合题型归纳-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题26 反比例函数与几何综合题型归纳-2023年中考数学二轮专题提升训练，共77页。试卷主要包含了反比例函数与三角形综合，反比例函数与平行四边形综合，反比例函数与矩形综合，反比例函数与菱形综合，反比例函数与正方形综合等内容，欢迎下载使用。

专题26 反比例函数与几何综合题型归纳
类型一 反比例函数与三角形综合
（2022秋•岚山区校级期末）
1．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（    ）

A． B． C． D．
（2022秋•金水区校级期末）
2．如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为______．

（2022秋•荔湾区校级期末）
3．如图，是等腰三角形，过原点O，底边轴，双曲线过A，B两点，过点C作轴交双曲线于点D，若，则k的值是__________．

（2023•南海区校级模拟）
4．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点，，，，分别作轴的垂线与反比例函数的图像相交于点，，，，，得直角三角形，，，，，并设其面积分别为，，，，，则_______．

（2022秋•桥西区校级期末）
5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，且与轴，轴交于点，．

(1)填空：___________；___________；在第一象限内，当时，的取值范围为___________；
(2)连接，，求的面积；
(3)点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图像于点，若，求点的坐标．
（2022秋•龙泉驿区期末）
6．某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边沿x轴平移（边在x轴上，点C在x轴上方），其中，与反比例函数交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：

(1)第一小组提出“当时，求点D的坐标”；
(2)第二小组提出“若，求a的值”；
(3)第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在上，求a的值”．
（2022秋•南山区期末）
7．如图：为等腰直角三角形，斜边在轴上，，一次函数的图象经过点A交轴于点，反比例函数的图象也经过点A．

(1)求反比例函数的解析式：
(2)若，求的面积；
(3)当时对应的自变量的取值范围是__________（请直接写出答案）
（2022秋•老城区校级期中）
8．如图，已知：直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为， 若双曲线上一点的纵坐标为，连接；

(1)填空： 的值为 ； 点的坐标为 ；点的坐标为 ．
(2)直接写出关于的不等式的解集；
(3)求三角形的面积；
（2022秋•虹口区校级期中）
9．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交反比例函数和在第一象限的图象于点A，B，过点B作x轴于点D，交的图象于点C，连接，若是等腰三角形，求k的值．

类型二 反比例函数与平行四边形综合
（2022秋•襄都区校级期末）
10．如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点．知，，三点在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则的值为（    ）

A． B． C． D．
（2022秋•滨城区校级期末）
11．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是_________．

（2022秋•平城区校级月考）
12．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则的值为（   ）

A． B．6 C． D．4
（2022秋•高新区期末）
13．如图，在平面直角坐标中，平行四边形顶点A的坐标为，点D在反比例函数的图像上，点B，C在反比例函数的图像上，与y轴交于点E，若，，则k的值为______．

（2022•湘潭县校级模拟）
14．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6．

(1)求k的值；
(2)求直线的解析式．
类型三 反比例函数与矩形综合
（2022秋•永城市期末）
15．如图，直线与坐标轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形，，双曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（    ）

A．6 B． C． D．27
（2022秋•岚山区校级期末）
16．如图，已知矩形的面积是，它的对角线与双曲线相交于点D，且，则（   ）

A．10 B．20 C．6 D．12
（2022秋•达川区期末）
17．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出以下命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则；其中正确的命题个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2023•黔江区一模）
18．如图，矩形ABCD中，点A在双曲线y＝﹣上，点B，C在x轴上，延长CD至点E，使CD＝2DE，连接BE交y轴于点F，连接CF，则△BFC的面积为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
（2022秋•荔城区校级期末）
19．如图，点A为双曲线在第二象限上的动点，的延长线与双曲线的另一个交点为B，以为边的矩形满足，对角线交于点P，设P的坐标为，则m，n满足的关系式为_____．

（2022秋•滕州市校级期末）
20．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，连接．若四边形的面积为3，则__________．

（2022秋•长安区校级期末）
21．如图，矩形顶点坐标分别为 ，，．

(1)若反比例函数与的图像过点D，则k＝ ．
(2)若反比例函数与矩形的边、分别交于点E、点F，且的面积是，则反比例函数的表达式为 ．
(3)若反比例函数的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k的取值范围是 ．
（2022秋•松原期末）
22．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为的中点．一次函数的图象经过点C、D，反比例函数的图象经过点B，求k的值．

（2022•礼县校级模拟）
23．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=2，OC=4，连接OB．反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y=k2x+b的图象经过E、F两点．

(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，试求点P的坐标．
（2022•台山市校级一模）
24．如图，矩形的边分别与反比例函数的图象相交于点D、E，与相交于点F．

(1)若点B的坐标为，求点D、E、F的坐标；
(2)求证：点F是的中点．
（2022春•姑苏区校级月考）
25．如图，在以O为原点的平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点在第一象限，四边形OABC是矩形，反比例函数的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且．

(1)求证：；
(2)若四边形ODBE的面积是6，求k的值．
类型四 反比例函数与菱形综合
（2022秋•江北区校级期末）
26．如图，菱形的边轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数的图像同时经过顶点C、D，若点C的横坐标为10，．则k的值为（    ）


A．15 B．6 C． D．10
（2022•珠海校级三模）
27．如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，且，则的值是（    ）

A． B． C． D．
（2022秋•岚山区校级期末）
28．如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形为菱形，D为菱形对角线与的交点，反比例函数在第一象限内的图像经过点A与点D，若菱形的面积为，则点A的坐标为________________．

（2022秋•福州期末）
29．如图，四边形为菱形，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则点的坐标为_______．

（2022秋•通川区期末）
30．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，函数的图象经过菱形的顶点C，若，则的值为______．

（2023•西山区校级开学）
31．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．

(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
类型五 反比例函数与正方形综合
（2022秋•东港市期末）
32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以线段为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（    ）

A． B．21 C． D．24
（2022秋•龙岗区校级期末）
33．如图，反比例函数图象经过正方形的顶点，边与轴交于点，若正方形的面积为，，则的值为(    )

A．3 B． C． D．
（2022秋•济南期末）
34．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于，则的值为（ ）

A．16 B．1 C．4 D．-16
（2022•南关区校级模拟）
35．如图，正方形和正方形的顶点B、E在双曲线上，连接，则的值为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
（2022•绿园区校级模拟）
36．如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x轴，y轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A的函数的图象与大正方形的一边交于点，则阴影部分的面积为（    ）

A．6 B．3 C． D．3
（2022秋•徐汇区期末）
37．点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是_______．

（2022秋•薛城区期末）
38．如图，点B是反比例函数y＝图象上的一点，矩形OABC的周长是20，正方形OCDF与正方形BCGH的面积之和为68，则k的值为_______

（2022春•姑苏区校级期中）
39．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长等于6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点，的面积是16，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向右运动，记运动时间为t，当_______s时，最小．

（2022•香洲区校级三模）
40．如图，反比例函数的图象过点B，E，四边形和是正方形，顶点F在x轴的正半轴上，A，D在y轴正半轴上，点C在边上，延长交x轴于点G．若，则四边形的面积为______．

（2022秋•蚌山区月考）
41．如图，两个边长分别为a，b（）的正方形连在一起，三点C，B，F在同一直线上，反比例函数在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E．若，则（1） ____；（2）k的值是________．

（2022•九龙坡区自主招生）
42．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（2，0），连接AB，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD：y＝ax+b交双曲线y（k≠0）于D、E两点，连接CE．

(1)求双曲线y（k≠0）和直线BD的解析式；
(2)求△BEC的面积；
(3)请直接写出不等式ax+b的解集．
（2022秋•东湖区期中）
43．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数的图象过边上一点E，与边交于点D，，，

(1)求k的值；
(2)直线过点D及线段的中点F，点P是直线上一动点，当的值最小时，直接写出这个最小值．
（2021秋•榆林期末）
44．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以线段为一边在第一象限内作平行四边形，其顶点在反比例函数的图象上．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)设将正方形沿x轴向左平移个单位后，得到正方形，点C的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求m的值．
（2022秋•宝山区校级期中）
45．如图，已知正方形的面积为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，点在函数，图象上，点是函数，图象上异于点的任意一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、．设矩形和正方形不重合部分的面积为．

(1)点的坐标是 ， ；
(2)当，求点的坐标；
(3)求出关于的函数关系式．
（2022秋•武功县期末）
46．如图，在平面直角坐标系中，，以为边向右作正方形，边分别与轴交于点，反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)在反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于正方形面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022•靖江市校级模拟）
47．如图，在直角坐标系中，的直角边在x轴上，，反比例函数的图象经过边的中点．

(1)直接写出这个反比例函数的表达式 　　；
(2)若与关于点M成中心对称，且的边在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①直接写出的长 　　、对称中心点M的坐标 　　；
②连接，证明四边形是正方形．

参考答案：
1．B
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：过点B作轴于点C，过点A作轴于点D，

∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数上，
∴，
∵，
∴，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出是解题关键．
2．
【分析】根据直角三角形的勾股定理计算出，的长，根据旋转得到，的长，如图所示（见详解），过点作轴于，证明，求出点的坐标，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解．
【详解】解：绕点点旋转至的位置，且在的中点，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，，
∴与轴的夹角为，与轴的夹角为，即，
如图所示，过点作轴于，

∴，，
在，中，
，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
把点代入反比例函数得，，反比例函数的解析式为：
∴的值为，
故答案为：．
3．6
【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据△ABC是等腰三角形，可得BC=4a，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点E，

设点，则点，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∵底边轴，
∴点C的坐标为，
∵轴，
∴点D的横坐标为，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，解得：．
故答案为：6
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键．
4．
【分析】根据，设，则，，可求出，对应的，，，可求出，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意，设，
∴，，，，
∴，，，，，
∴，，，，，┈，，
，，，，，┈，，
∴，，，，，┈，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键．
5．(1)6；1；
(2)
(3)或

【分析】（1）先把代入可求出，再把代入，求得，再结合图象可判断出的取值范围；
（2）根据可求解；
（3）设设点E的坐标为 ，则点F的坐标为，可得，求出a的值即可
【详解】（1）把代入得，
∴
∴反比例函数解析式为
把代入，得
∴
由图象得，在第一象限内，当时，的取值范围为
故答案为：6；1；
（2）把和代入中，
得解得
∴直线的表达式为，
当时，
∴，
∴；
（3）设点E的坐标为，则点F的坐标为，
∴，
又，
∴，解得，
∴点F的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键．
6．(1)；
(2)3
(3)

【分析】（1）轴，利用等边三角形的性质求得，利用待定系数法可求得直线的解析式为，与反比例函数联立方程组，解方程组即可求解；
（2）作出如图的辅助线，设，则，求得点，点，由反比例函数的性质求解即可；
（3）连接，过点作轴，证明，推出，得到，，求得，再根据反比例函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，过点C作轴，垂足为点H，

∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
与反比例函数联立方程组，
解得：，（舍去），
代入可得点；
（2）解：过点D作轴，垂足为点F，过点C作轴，垂足为点H，过点E作，垂足为点I，

设，则，
∴点，
因为，，
则，
∴，
∴，
∴点，
因为点D，E均在反比例函数上，
∴，
由①得：③，
代入②得，
化简得：，
由③得：；
（3）解：连接，过点作轴，垂足为点，

由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故，
同理点，
∴点的纵坐标为，则，
∴，
∴点，
∴，
∴，，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
故，
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等边三角形的性质，解一元二次方程，含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性较强，难度较大．
7．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）过点A作，求出,进而即可求解；
（2）先证明，可得，进而即可求解；
（3）根据A的坐标和函数图象直接写出答案即可．
【详解】（1）解：过点A作，
∵为等腰直角三角形，斜边在轴上，，
∴，，
∴，
∴,
∵反比例函数的图象也经过点A．
∴，，
∴；

（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴的面积=；
（3）解：∵，
∴当时对应的自变量的取值范围：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质和判定，求出函数图像的交点坐标，掌握相似三角形的判定和性质是关键．
8．(1)；；
(2)或
(3)

【分析】（1）将点的横坐标代入可求得点的纵坐标；进而求得的值以及点、点的坐标；
（2）由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值，据此作答即可；
（3）作轴，轴；将的面积转化为梯形的面积进行计算即可.
【详解】（1）解：将代入得：，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
由反比例函数的对称性可得：点、点关于原点对称，
∴，
将代入得：，
∴；
（2）解：由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值；
∴的解集为：或；
（3）解：如图，作轴，轴；

∵，，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质、正比例函数图像的性质、坐标与图形；熟练运用反比例函数图像的性质转化面积是解题的关键．
9．k的值为或
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①，②，即可解题．
【详解】解：∵点B是和的交点，则，
∴点B坐标为，
同理可求出点A的坐标为，
∵轴，
∴点C的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
若是等腰三角形，
①当时，则，
解得；
②当时，则，
解得；
故k的值为或．
【点睛】本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键．
10．D
【分析】利用的几何意义和平行四边形的面积为6，建立关于的方程，再利用图象所在的象限，即可求出．
【详解】解：平行四边形的面积为，
∵平行四边形对角线的交点，
∴，
∴,
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵图象位于第二象限，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象中的几何意义、矩形的判定与性质等内容， 解题关键是理解题意，能利用面积关系得到关于的方程．
11．11
【分析】过点作于点，过点作轴于点，因为四边形是平行四边形，可证得，，即，，再根据反比例函数的的几何意义即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作轴于点，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
同理可得：，，
点在反比例函数上，
，
点在反比例函数上，
，
平行四边形的面积为：，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
12．A
【分析】连接OA，如图，利用平行四边形的性质得AC垂直y轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAE和S△OCE，所以=-k+1，然后根据平行四边形的面积公式可得到▱ABOC的面积=2S△OAC=6，即可求出k-2的值．
【详解】解：连接OA，如图，

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC垂直y轴，
点A、C分别在反比例函数和的图象上，
∴=×|k|=-k，=×2=1，
∴=-k+1，
∵▱ABOC的面积=2=6．
∴-k+2=6，
∵k-2=-6，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了平行四边形的性质．
13．
【分析】过D作于F，过C作于M，过B作于G，过D作于M,交于E，设D的横坐标为，结合已知通过求出，由，依次求出K、C的坐标即可，结合是平行四边形证依次求出B、G的坐标，即可求解．
【详解】如图：
过D作于F，过C作于M，过B作于G，过D作于M,交于E，
设D的横坐标为，
点D在反比例函数的图像上，
，点A的坐标为，
，，
，
，
即：，
解得，（舍去），
，
，
，
由题意可知，，
，
，
C在反比例函数的图像上,
，
是平行四边形，
，，
在与中，

，
，，
所以B的横坐标为5，
B在反比例函数的图像上,
，则，
，
解得，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、平行线分线段成比例以及全等三角形的判定和性质；巧设未知数，建立方程求相关点的坐标是解题的关键．
14．(1)
(2)

【分析】（1）根据点C的横坐标是2求出C点坐标，再由平行四边形得出轴，根据三角形的面积公式求出的长，故可得出A点坐标，进而可得出k的值；
（2）根据四边形是平行四边形可知，故可得出，再利用待定系数法求出直线的解析式即可．
【详解】（1）解：∵点C的横坐标是2，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴轴，
∵，即，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
15．B
【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为E，由条件易得是等腰直角三角形，由进而可求得点D的坐标，则可求得k的值．
【详解】解：过点D作x轴的垂线，垂足为E，如图，

对于，令，则；令，则；
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
由勾股定理得：，
，
；
点在双曲线上，
；
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求反比例函数的比例系数，直线与坐标轴的交点，矩形的性质等知识，其中求出点D的坐标是关键．
16．D
【分析】过点D作，证明，得到，再根据矩形面积得到，进而得到，最后利用反比例函数的几何意义即可求出的值．
【详解】解：过点D作，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
矩形的面积是，
，
，
，
，
双曲线上，
，
故选：D．

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数，解题关键是掌握相似三角形的性质与反比例函数系数的几何意义．
17．B
【分析】①若，则计算，故命题①正确；
②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确；
③因为点不经过点，所以，即可得出的范围；
④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④错误．
【详解】解：命题①正确．理由如下：
，
，，
，，
，故①正确；
命题②正确．理由如下：
，
，，
，．
如答图，过点作轴于点，则，；
在线段上取一点，使得，连接．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：．
，
又，
直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，点与点不重合，所以，
，故③错误；
命题④错误．理由如下：
设，则，．
设直线的解析式为，则有，解得，
．
令，得，
；
令，得，
．
如答图，过点作轴于点，则，．
在中，，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：．
，解得，
，故命题④错误．
综上所述，正确的命题是：①②，共2个，
故选：B．

【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强，难度较大．
18．B
【分析】设交y轴于J，交于点K，设，则，，利用平行线分线段成比例定理求出，即可求解．
【详解】如图，设交y轴于J，交于点K，设，则，，

∵点A在双曲线上，
∴A(，)
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，综合性较强，难度较大．
19．
【分析】连接，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，证明，然后利用相似三角形的性质分析求解．
【详解】解：连接，分别过点A、P作x轴的垂线，垂足为M、N，

∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A为双曲线 在第二象限上的动点，
设点A的坐标为，
∵，
∴，
∵P的坐标为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，恰当的构建相似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键．
20．
【分析】根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图像上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图像均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案．
【详解】解：矩形OABC与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
矩形OABC与反比例函数（是非零常数，）的图像交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
四边形的面积为3，
由图可知，，
即，解得，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
21．(1)3
(2)
(3)

【分析】（1）根据题意得到点D的坐标，代入即可求得k的值；
（2）设反比例函数的表达式为，可得， ，而的面积是，故，即可解得答案；
（3）找出矩形边界上横、纵坐标均为整数的点，再由反比例函数的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知D点的坐标为 ，
∵反比例函数与的图像过点D，
∴；
故答案为：3；
（2）解：如图：

设反比例函数的表达式为，
在中，令得，令得，
∴，，
∵，
∴，，
∵的面积是，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴反比例函数的表达式为；
故答案为：；
（3）解：如图：

矩形ABCD边界上横、纵坐标均为整数的点有，，，，，，
∵，，，，，，
∴反比例函数（x＞0）的图像将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，坐标系中的整点等知识，解题的关键是数形结合思想的应用和用含字母的代数式表示相关点的坐标，相关线段的长度．
22．6
【分析】先求得C的坐标，然后根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出，进而表示出D的坐标，代入即可求得k的值．
【详解】解：在中，令，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵点D为的中点，
∴点，
∵点D在直线上，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，表示出D的坐标是解题的关键．
23．(1)y=；y=
(2)

【分析】（1）根据中点坐标求得点D坐标为（2，1），即可求得反比例函数的表达式，进而求得点的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．根据对称可得由E坐标可得对称点E'（1，—2），得直线E'F的解析式为y= ，令y=0，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：∵四边形OABC为矩形，OA=BC=2，OC=4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1=xy=2×1=2，
故反比例函数表达式为y= ．
令y=2，则x=1；令x=4，则y= ．
故点E坐标为（1，2），F（4， ）．
设直线EF的解析式为y=k2x+b，代入E、F坐标得：
，解得： ．
故一次函数的解析式为y= ．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．

由E坐标可得对称点E'（1，—2），
设直线E'F的解析式为y=mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，
解得： ．
则直线E'F的解析式为y= ，
令y=0，则x= ．
∴点P坐标为（ ，0）．
故答案为：（ ，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形、一次函数综合，轴对称求线段和最小，求一次函数解析，掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)，，
(2)见解析

【分析】（1）根据题意可得D点横坐标为4，E点纵坐标为2，从而得到，，再求出直线和的解
析式，再联立，即可求解；
（2）设点B的坐标为，可得，，再求出直线和的解析式，再联立，可得到点
F的坐标，再求出的中点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：轴，轴，
∵点B的坐标为，
∴D点横坐标为4，E点纵坐标为2，
∵点D、E在反比例函数的图象上，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴；
（2）证明：设点B的坐标为，
∴D点横坐标为a，E点纵坐标为b，
∵点D、E在反比例函数的图象上，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，
∴，
∵，，
∴的中点坐标为，即，
∴点F是的中点．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，中点坐标公式，直线交点的求法是解题的关键．
25．(1)见详解
(2)k=3

【分析】（1）由题意易得，然后可得，则有，进而根据反比例函数的性质可求解；
（2）根据，可得，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把x=a代入得：，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：=ab--==6，
解得：，
∴反比例函数解析式为=，
∴k=3．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及矩形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合及矩形的性质是解题的关键．
26．A
【分析】由点C的横坐标为10，可知菱形的边长为10，设出的长，表示的长，根据勾股定理可求出、，再设出点C的纵坐标，表示点C、D的坐标，代入反比例函数关系式求出k的值．
【详解】解：由题意得，，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，
解得（舍去），，
即，，
设点，则，
∵反比例函数的图象同时经过顶点C、D，
∴，
解得：，
∴，
故选：A．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理等知识，求出反比例函数图象上某个点的坐标是解决问题的关键．
27．A
【分析】连接、，过点A作轴交于点M，过点B作轴交于点N，根据反比例函数关于原点中心对称，菱形也是中心对称图形，可得与相交于点O，证明，则，在中，，可得，即可求．
【详解】解：连接、，过点A作轴交于点M，过点B作轴交于点N，

∵是中心对称图形，也是中心对称图形，菱形是中心对称图形，
∴与相交于点O，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，菱形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
28．
【分析】过点A作于点E，过点D作于点F，设，得到，，，根据菱形的性质，得到，，再利用相似三角形的性质得到，，进而得到，，，由勾股定理得到，然后利用菱形的面积求出，即可得到点A的坐标．
【详解】解：过点A作于点E，过点D作于点F，
反比例函数在第一象限内的图像经过点A与点D，
设，
，，，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，，
点D反比例函数上，
，即，
，
，
，
，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图像上点的特征，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29．
【分析】过点作，根据四边形四边形为菱形，得出，设，根据的面积为，求得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，

∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
30．
【分析】过点作，根据点A的坐标，求出菱形的边长，根据，求出菱形的面积，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出点坐标，利用横纵坐标之积，即可求出的值．
【详解】解：过点作，
∵点A的坐标是，四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图形面积求值．熟练掌握菱形的性质，求出点坐标，是解决本题的关键．
31．(1)y
(2)或

【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值；
（2）设点M的坐标，根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可．
【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图1所示．

∵点的坐标为，
，

∵四边形为菱形，
，
三点共线，
∴点坐标为．
∵点在反比例函数y的图象上，
；
∴y；
（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为y，

设点的坐标为，
的面积是菱形面积的，
，
，
或，
或．
【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，找出点的坐标；（2）根据反比例函数解析式设点的坐标，列方程解决问题．
32．A
【分析】先求出A、B的坐标，得到；过点C作轴于E，证明，可得点C坐标，代入求解即可．
【详解】解：∵当时，，
∴，
∴；
∵当时，0x＋4，解得，
∴，
∴；
过点C作轴于E，

∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴C点坐标为，
∵点C在反比例函数图象上，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求反比例反比例函数，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点问题 ，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
33．B
【分析】过作轴于，过作轴于，于，交值于，通过证得，，得出，，由，根据平行线分线段成比例定理求得，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得的坐标，进而求得的值．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，于，交值于，

四边形是正方形，
，，
＋＋，
，
在与中，
，
，
，，
同理，，  
，，
轴，
，
，
，
，
，正方形的面积为，
，
，
，
，，
反比例函数图象经过正方形的顶点，
，
解法二：，
设，，
，
由题意，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
34．C
【分析】割补法求解即可.
【详解】利用割补法可知一个小正方形边长为4，所以a=1，所以k=4.
【点睛】利用割补法求小正方形的边长是解题的关键.
35．C
【分析】连接．只要证明，推出，即可解决问题．
【详解】解：连接．

∵四边形，四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵点B在的图象上，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
36．A
【分析】根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式，根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积即可求出结果．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设A点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过A点，
∴，
∴，
∴小正方形的面积为3，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且，
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为，
∴大正方形的面积为，
∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
37．##
【分析】设点，，，，根据正方形的性质找到a、b之间的等量关系；m、n之间的等量关系．再根据正方形面积公式求解即可．
【详解】解：设点，，，，那么
∵四边形为正方形，
∴，
解得，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
由①，得③，
把③代入②并整理，得
，
解得：（不符合题意，舍去）；．
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质和正方形的性质，解题的关键是熟练运用上述知识，数形结合找出等量关系．
38．16
【分析】设B点坐标为(x，y)，根据题意得到，，再利用完全平方公式可得到xy=16，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义即可得到答案．
【详解】设B点坐标为(x，y)，则OC=y，BC=x，
根据题意得：，，
∴，
∴，即，
∴，即矩形OABC的面积是16，
∴，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，完全平方公式的运用，反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握k的几何意义及完全平方公式是解题的关键．
39．2.5
【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，2），N（2，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，运用待定系数法求出NM′的解析式，再求出OP的长即可解决问题．
【详解】解：∵正方形OABC的边长是6，
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，
∴M（6，），N（，6），
∴BN=6-，BM=6-，
∵△OMN的面积为16，
∴，
整理得，
∴
∵
∴k=12，
∴M（6，2），N（2，6），
作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，

∵AM=AM′=2，
∴点M′的坐标为（6，-2），
设直线NM′的解析式为，
把（2，6），（6，-2）代入得，
解得，
∴直线NM′的解析式为，
令y=0，则，解得，x=5
∴P（5，0）
∴OP=5，
∴（s）
故答案为2.5．
【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，轴对称-最短路线问题，正方形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
40．4
【分析】利用反比例函数比例系数的几何意义，可得S四边形OABG=S四边形ODEF，从而得到S正方形ABCD =S四边形CEFG，即可求解．
【详解】解：∵四边形和是正方形，
∴AB⊥y轴，BG⊥CD，DE∥x轴，DE⊥y轴，EF⊥x轴，
∴BG⊥x轴，
∵反比例函数的图象过点B，E，
∴，
即S四边形OABG=S四边形ODEF，
∵S四边形OABG=S正方形ABCD+S四边形ODCG，S四边形ODEF =S四边形CEFG+S四边形ODCG，
∴S正方形ABCD =S四边形CEFG，
∵，
∴S四边形CEFG =S正方形ABCD=22=4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数与几何综合．熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的的关键．
41．     4     4
【分析】（1）连接，，由正方形的性质和勾股定理得，，由得到，即可得到答案；
（2）设点E的坐标是，则，，进一步得到，则，即可得到k的值．
【详解】解：（1）连接，，

∵四边形和都是正方形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：4
（2）设点E的坐标是，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点E在反比例函数在第一象限的图象上，
∴．
故答案为：4
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的特征、正方形的性质、勾股定理等知识，充分利用是解题的关键．
42．(1)双曲线解析式为y=；直线BD的解析式为y=3x-6；
(2)20；
(3)-2＜x＜0或x＞4．

【分析】（1）构造△ADM与△AOB全等，求出D点坐标，进而求出E点坐标，再求直线表达式．
（2）利用等面积法，分别以DE，DC为底，列出面积公式求解．
（3）构建作差模型，利用三角形三边关系求解．
【详解】（1）作DM⊥y轴，如图，

∵点A的坐标（0，4），点B坐标（2，0），
∴OA=4，OB=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠OAB+∠DAM=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵∠AOB=∠DMA=90°，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM=OB=2，DM=OA=4，
∴D点（4，6），
将点D代入双曲线得，k=4×6=24，
∴双曲线解析式为y=，
设直线BD的解析式为y=mx+n，把B（2，0），D（4，6）代入得
，
解得，
∴直线BD的解析式为y=3x-6，
（2）连接AC，交BD于N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC=BD，
解
得或，
∴E（-2，-12），
∵B（2，0），D（4，6），
∴DE=，DB=，
∴DN=CN=BD=，
∴．
（3）由图像可以得出不等式ax+b的解集是：-2＜x＜0或x＞4．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的组合，解题关键使用待定系数法求出交点坐标，再配套坐标系内点距离公式求解．
43．(1)48
(2)

【分析】（1）由四边形是正方形，得到，，在中，由勾股定理求出，则，得到，由待定系数法求得答案；
（2）先求出点D的坐标为，再求出直线的解析式和直线的解析式，得到，延长交y轴于点G，证明，则，连接交于点P，则,且P、C、G三点共线，此时，根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求，求出即可．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴或（不符合题意舍去），
∴，
∴，
将代入得，
∴；
（2）解：由 （1）得到反比例函数解析式为，
设D点坐标为，代入得到，，
解得，即点D的坐标为，
∴，
延长交y轴于点G，
∵线段的中点F，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，

∵，，
∴，
∴，，
∴点D与点G关于直线轴对称，
连接交于点P，连接，则,且P、C、G三点共线，此时，
根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求，
∵，
∴点，
∵，
∴点，
此时,
即的最小值为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式、相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称最短路径问题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
44．(1)见解析
(2)1

【分析】（1）过点D作轴于E，如图，则，证明，可得是菱形，再证明ABCD是正方形．
（2）根据正方形的性质求得，正方形向左平移m个单位，表示出，根据待定系数法求出反比例函数．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
过点D作轴于E，如图，则，

∴．
又∵，
∴，
∴，
∴是菱形．
∵，
∴，
∴，
∴菱形ABCD是正方形．
（2）解：过点C作轴于点F，如图．
由四边形ABCD是正方形易得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴
∵正方形向左平移m个单位，
∴点C的对应点．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
由题意点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是熟知正方形的判定和性质以及用待定系数法求反比例函数解析式．
45．(1)，
(2)或
(3)当时，；当时，

【分析】（1）根据反比例函数中正方形的面积与反比例系数的关系，即可求得反比例函数解析式，进而求得B的坐标；
（2）分两种情形，用坐标表示出不重合的四边形的边长，进而表示出面积，求解即可；
（3）分两种情形求解即可：①当点在点B的左侧时；②当点在点B或B的右侧时．
【详解】（1）解：正方形的面积为，
，
．
又点在函数的图象上，
．
故答案为：，．
（2）分两种情况：①当点在点的左侧时，
，在函数上，
．
，
，
，
；
②当点在点或的右侧时，
在函数上，
．
，
，
．
．

（3）当时，．
当，时，的纵坐标是，
由题意．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键．
46．(1)反比例函数的表达式为
(2)在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点的坐标为或

【分析】（1）根据正方形的性质，求出点的坐标，再利用待定系数法从而即可求出反比例函数的表达式；
（2）设，则根据题意可得，求出的值即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：，
，且轴，
四边形为正方形，
轴，且，
反比例函数的图象经过点，
，
解得，
即反比例函数的表达式为；
（2）解：根据题意，得，，
设，则，解得，
当时，，
此时，
当时，，此时，
综上可知，在反比例函数的图象上存在点，使得的面积等于正方形面积的一半，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式，正方形的性质是解题的关键．
47．(1)
(2)①1；（，）；②见解析

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先根据点D为的中点，得到，再由中心对称图形的性质得到，从而求出，即，则，即可得到，再由与关于点M成中心对称，得到对称中心M是线段的中点，则；②如图，连接，证明，得到，，进而证明，即，同理可证，推出，即可证明四边形为矩形，又，即可证明四边形为正方形．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数表达式为．
故答案为：；
（2）解：①∵为的中点，，
∴，
∵与关于点M成中心对称，
∴，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴，即，
∴；
∴，
∵与关于点M成中心对称，
∴对称中心M是线段的中点，
∴，即．
故答案为：1，；
②如图，连接，
∵，
∴，
在和中

∴，
∴，，
∵，
∴，即，
同理可证，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
又∵，
∴四边形为正方形．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，正方形的判定，中心对称图形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．