专题27 相似三角形压轴题的几种类型-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题27 相似三角形压轴题的几种类型-2023年中考数学二轮专题提升训练，共53页。试卷主要包含了相似三角形与多边形的综合题，相似中的“一线三等角”模型等内容，欢迎下载使用。

第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 综合运用全等三角形与三角形的判定和性质求点的坐标
典例1（2022•建邺区二模）
1．如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为．将△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
针对训练
（2012•鹿城区校级二模）
2．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ和△PHA相似，则点P的坐标为______.
类型二 综合运用相似三角形的判定和性质锐角三角函数求线段长的最值
典例2（2021•宜兴市模拟）
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．B．C．D．2＋2
针对训练
（2021秋•亳州月考）
4．如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC⊥CD，若，则对角线BD长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
类型三 综合运用相似三角形的判定和性质一次函数求字母的值
典例3（2022•无锡二模）
5．如图，已知A（0，3）、B（4，0），一次函数y＝﹣x＋b的图象为直线l，点O关于直线l的对称点O′恰好落在∠ABO的平分线上，则（1）AB＝__________；（2）b的值为__________．
针对训练
（2016•汉川市模拟）
6．已知一次函数与轴轴分别交于、两点，另一直线交轴正半轴于、交轴于点，若与、、三点组成的三角形相似，那么值为（ ）
A．B．C．或D．以上都不对
类型四 利用相似三角形的判定和性质求线段长的最值
典例4（2022•涟水县一模）
7．如图，在正方形ABCD中，，点H在AD上，且，点E绕着点B旋转，且，在AE的上方作正方形AEFG，则线段FH的最小值是______．
针对训练
8．在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 __________．
类型五 利用相似三角形的判定和性质求“kAD+BD”（动点D在圆弧上）型的最值（阿氏圆）
典例5（2022•南召县开学）
9．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为______．
针对训练
（2021秋•龙凤区期末）
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=9，BC＝4，，以点C为圆心3为半径作⊙C分别交AC，BC于D，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 _____．
类型七 相似三角形与多边形的综合题
典例6（2022•惠山区一模）
11．（1）【操作发现】如图1，四边形都是矩形，，，小明将矩形绕点C顺时针转，如图2所示．
①若的值不变，请求出的值，若变化，请说明理由．
②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，画出图形并求出的长度．
（2）【类比探究】如图3，中， ， ，G为中点，D为平面内一个动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则四边形面积的最大值为 ．（直接写出结果）
针对训练
（2022•内江）
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；
(2)若＝2，求的值；
(3)若MN∥BE，求的值．
类型八 相似中的“一线三等角”模型
典例8（2022•扬州）
13．如图1，在中，，，点D在边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作，交射线于点E．
(1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；
①点E在线段的延长线上且；
②点E在线段上且．
(2)若．
①当时，求的长；
②直接写出运动过程中线段长度的最小值．
针对训练
（2022秋•虹口区期中）
14．在矩形中，，，P是射线上的一个动点，作，交射线于点E，射线交射线于点F，设，．
(1)当时，求的长；
(2)如图，当点P在边上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
(3)当时，求的长．
第二部分 专题提优训练
（2022•如皋市一模）
15．矩形中，，．如图，分别以点A，D为圆心，以4和6为半径作弧，两弧交于点E，连接，则的最大值为（ ）
A．9B．C．15D．
（2022秋•定海区校级月考）
16．如图，在Rt△ABC中，，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
（2021秋•宜兴市校级月考）
17．如图，矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿运动到点停止．过点作交射线于点，联结．设是线段的中点，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
（2022•东平县一模）
18．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB=4，BC=6，则CP的最小值为 （ ）
A．2－3B．2－2C．5D．3
（2022•武进区一模）
19．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D、E分别是BC、AC边上的动点，且∠ADE＝∠ABC，连接BE，则△AEB的面积的最小值为_______．
（2022春•漳州期末）
20．如图，点E在正方形ABCD的边BC上，BE＝2，EC＝4，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，延长EF交DC于点G，连接AG．现给出以下结论：
①
②
③
④
其中正确的结论是______．（写出所有正确结论的序号）
（2022•连云港）
21．【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
(2)若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．
(3)连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．
(4)如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．
（2022秋•金东区期末）
22．在矩形中，，动点P从A出 发，以1个单位每秒速度，沿射线方向运动，同时，动点Q从点C出发，以2个单位每秒速度，沿射线方向运动，设运动时间为t秒，连接DP，DQ．

(1)如图1，证明：．
(2)作平分线交直线于点E；
①图2，当点E与点B重合时，求t的值．
②连接，，当与相似时，求t的值．
23．【问题发现】
（1）如图①，在边长为5的等边中，点D，E分别是，边上一点，且，点P是线段上一动点，以为边向右作等边．
①过点F作于点G，连接．试探究与之间的数量关系；
②当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长；
【类比探究】
（2）如图②，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接和，求的最小值．
参考答案：
1．A
【分析】如图，过作轴于点，延长交于，由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，则，，证明，则，即，计算求出、的长，进而可得点坐标．
【详解】解：如图，过作轴于点，延长交于，
由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于构造、，利用相似的判定与性质求出线段、的长．
2．P()
【分析】先根据点A、点C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，当△BQP∽△AHP时和△BQP∽△PHA时，利用相似三角形的性质就可以求出点P的坐标．
【详解】∵OC=2，OA=4，
∴C（0，2），A（4，0）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得，
解得，
故直线AC的解析式为：y=﹣x+2．
∵QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，
∴QH在点B的右侧，
如图：①当△BQP∽△AHP时，
则=，
∴BQPH=AHPQ．
∵点P在直线AC上，设点P的坐标为（x，﹣x+2）（0＜x＜4），
∴CQ=x，OH=x，PH=﹣x+2，
∵CB=2，OA=4，OH=2，
∴BQ=x﹣2，AH=4﹣x，PQ=x．
∴（x﹣2）（﹣x+2）=（4﹣x）（x），
解得x=4（舍去）．
②当△BQP∽△PHA时，
则，即BQAH=PHPQ，
（x﹣2）（4﹣x）=（﹣x+2）（x），
解得x1=，x2=4（舍去）
则y=，
则P（，）．
∴P（，）．
故答案为P（，）．
【点睛】本题考查相似三角形的性质的运用、待定系数法求直线的解析式的运用及分类讨论思想的运用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
3．B
【分析】过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，分别求出PD，PC，在△PDC中，利用三角形的三边关系即可求出CD长的最大值．
【详解】解：如图，过点A作∠DAP=∠BAC，过点D作AD⊥DP交AP于点P，
∵∠ABC=90°，，
∴，
∴，
∵AD=2，
∴DP=1，
∵∠DAP=∠BAC，∠ADP=∠ABC，
∴△ADP∽△ABC，
∴，
∵∠DAB=∠DAP+∠PAB，∠PAC=∠PAB+∠BAC，∠DAP=∠BAC，
∴∠DAB=∠PAC，，
∴△ADB∽△APC，
∴，
∵，
∴，
∴，，
在△PDC中，∵PD+PC>DC，PC−PD∴，
当D，P，C三点共线时，DC最大，最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，构造相似三角形是解题的关键．
4．D
【分析】过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，先求出AE，然后根据已知证得△ABE∽△ACD，得出∠BAE＝∠CAD，，从而证得∠BAC＝∠EAD，得出△BAC∽△EAD，求出，代入数据解答即可．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AB，使得，连接AE，DE，
则在△ABE中，，
，
，
∵∠ABE＝∠ACD＝90°，
∴△ABE∽△ACD，
，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD，
，
即，
，
，
即BD的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角形的应用、三角形相似的判定及性质，解题的关键是灵活运用锐角三角函数知识并根据题意正确添加辅助线．
5． 5
【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出答案．
（2）延长交于点，交于点，过点作轴交于，过点作轴于点；通过求直线的解析式可得，由等积法可求，再由，则，，再由三角形中位线可求，，将点代入解析式即可求的值．
【详解】解：（1）由题意可知：，，
．
（2）延长交于点，交于点，过点作轴交于，过点作轴于点；
、，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
，
，
，
，，
由等积法可求，，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
在中，，
、是的中位线，
，，
点在直线上，
，
，
故答案为：（1）5；（2）．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，并利用直角三角形中特殊角度三角函数值求解．
6．C
【分析】根据直线解析式求出点、、的坐标，再根据相似三角形对应边成比例分和、是对应边两种情况讨论，求出的长，然后求出直线的解析式，即可得解．
【详解】解：一次函数与轴轴分别交于、两点，
，，
，，
直线交轴于点，
，
，
与、、三点组成的三角形相似，
或，
即或，
解得或，
当时，，代入得，
或时，，代入得，
所以，或．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，两直线相交的问题，采用分情况讨论的方法是解题关键．
7．##
【分析】连接CA、AF、CH，根据正方形的性质可证得△BAE∽△CAF，从而得到，进而得到点F在以A为圆心，为半径的圆上运动，则有当A、C、F三点共线时，FH最小，求出CH，即可求解．
【详解】解：连接CA、AF、CH，
在正方形ABCD和AEFG中，
∠BCA=∠ECF=45°，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，AD=AB=CD=8，
∴，∠BAE=∠CAF，
∴△BAE∽△CAF，
∴，
∵，
∴，
∴点F在以A为圆心，为半径的圆上运动，
当A、C、F三点共线时，FH最小，
∴，
∵AH=2，
∴DH=6，
在Rt△CDH中，CD=8，DH=6，
∴CH=10，
∴FH=．
故答案为：
【点睛】本题综合考查了正方形的性质和相似的性质和判定，找出F的运动路径是解决本题的关键．
8．
【分析】不论P怎么运动，保持不变，则的外接圆中所对的圆心角为，从而的圆心与半径确定，于是可得当点F在与的交点位置时，就取最小值，求出此时的值便可．
【详解】解：作的外接，连接、、、，在优弧上取点M，连接、，过O作，与的延长线交于点N，
∵，，
∴，
∴，
∴点F在的外接上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当A、F、O三点依次在同一直线上时， 的值最小，
故AF的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是构造圆与直角三角形，找出点F的运动轨迹．
9．
【分析】在上截取，连接，，，可得，证明△可得，根据，由勾股定理求出CQ即可．
【详解】在上截取，连接，，，
∵点分别是、的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，
∴
∵
∴
∵∠
∴△
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值为
故答案为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
10．
【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．
【详解】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴＝，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ＝AP，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，
在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ=1，
∴QB＝，
∴PA+PB的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，解题的关键是利用三角形相似将PA转化为PQ．
11．（1）①不变，；②图见解析，或；（2）24
【分析】（1）①利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可；②分两种情形：如图2﹣1中，当点E在线段上时，当点E在线段上时，连接，过点C作于J；如图2﹣2中，当点E在BF的延长线上时，分别求出，可得结论；
（2）如图3中，连接，过点G作于点H．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论．
【详解】解：（1）①的值不变，理由如下：
如图1，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2中，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图1，连接，
∵四边形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2﹣1中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．
∵，
∴，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图2﹣2中，当点E在的延长线上时，连接，过点C作于J．
∵，
∴，
∴， ，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
综上所述，的长为或．
（2）如图3中，连接，过点G作于点H．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，
当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，
∴的面积的最大值为16，
∴四边形的面积的最大值．
故答案为：24．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
12．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF≌ △ECF，得BM＝CE，再利用点E为CD的 中点，即可证明结论；
(2)利用△BMF∽△ECF，得，从而求出BM的长，再利用△ANM∽△BMC ，得 ，求出AN的长，可得答案；
(3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF＝ ∠CMB，则tan∠CBF＝tan∠CMB，得 ，可得BM的长，由（2）同理可得答案．
【详解】（1）证明：∵F为BE的中点，
∴BF＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠BMF＝∠ECF，
∵∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF≌△ECF（AAS），
∴BM＝CE，
∵点E为CD的中点，
∴CE＝CD，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴AM＝CE；
（2）∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，
∴△BMF∽△ECF，
∴，
∵CE＝3，
∴BM＝，
∴AM＝，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMN+∠BMC＝90°，
∵∠AMN+∠ANM＝90°，
∴∠ANM＝∠BMC，
∵∠A＝∠MBC，
∴△ANM∽△BMC，
∴，
∴，
∴，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴；
（3）∵MN∥BE，
∴∠BFC＝∠CMN，
∴∠FBC+∠BCM＝90°，
∵∠BCM+∠BMC＝90°，
∴∠CBF＝∠CMB，
∴tan∠CBF＝tan∠CMB，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）同理得，，
∴，
解得：AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM的长是解决（2）和（3）的关键．
13．(1)①，理由见解析；②，理由见解析；
(2)①；②4．
【分析】（1）①由，，，有，即可得，；
②由，，，可得，即得，根据，可得，故；
（2）①过D作于F，证明，由，可得，设，则，在中，，而，可得，有，，，又，即可得；
②作的中点G，连接，根据，是斜边上的中线，得，即知当最小时，最小，此时，可证，从而得线段长度的最小值为4．
【详解】（1）解：①，理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）①过D作于F，如图：
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
设，则，
在中，
，
∵，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
②作的中点G，连接，如图：
∵，是斜边上的中线，
∴，，
当最小时，最小，此时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴此时，
答：线段长度的最小值为
【点睛】本题考查了三角形的综合应用，涉及相似三角形性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含的直角三角形三边关系等知识，解题的关键时作辅助线，构造直角三角形解决问题．
14．(1)；
(2)；
(3)3或．
【分析】（1）根据锐角三角函数定义和勾股定理求出和，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求得的长；
（2）根据，可得，利用相似三角形的性质求出，再根据（1）中的相似三角形推出，从而求得y关于x的函数关系式；
（3）分情况讨论：①当点P在线段上时，E在线段上，②当P在C点的右侧时，E在线段的延长线上，分别根据，利用相似三角形的性质求出的长，再证，利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
则，
∴，
整理得：，
即y关于x的函数关系式为；
（3）解：①当点P在线段上时，E在线段上，
∵，
∴，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
②当P在C点的右侧时，E在线段的延长线上，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
综上，的长为3或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
15．B
【分析】作∠E′ED=90°，且EE′=3，连接BE′，DE′，证明△ADE∽△BDE′，求出BE′=，说明点B是在以E′为圆心，为半径的圆上运动，而点E在圆E′内，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，作∠E′ED=90°，且EE′=3，连接BE′，DE′，
∴，
∴tan∠EDE′=，
∵tan∠ABD=2，
∴，
∴，
∴tan∠ADB=，
∴，∠EDE′=∠ADB，
∴∠EDA=∠E′DB，
∴△ADE∽△BDE′，
∴，
∴，
∴BE′=2，
∴点B是在以E′为圆心，2为半径的圆上运动，而点E在圆E′内，则BE的最大值为2+3．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE∽△BDE′．
16．D
【分析】连接，过点作交的延长线于，根据圆周角定理可得，确定点的运动路径，再根据垂线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
∵点为直径上方半圆的中点，
，
∴，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
则由垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∵，
∴，
解得，
∴的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、垂线段最短等知识，根据圆周角定理确定点的运动路径是解题的关键．
17．B
【分析】由四边形为矩形以及得，连接，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得在的垂直平分线上运动，作的垂直平分线与交于，再由是线段的中点得到当运动时长的最小，用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∵，
∴，
连接，如图所示：
∴，即，
∴，
连接，如图所示：
∵是线段的中点，，
∴，
∴在的垂直平分线上运动，
根据点与直线上动点距离的最小值为垂线段，如图所示，作的垂直平分线与交于，当运动时长的最小，连接，此时，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，要用的辅助线较多，关键在确定所在的轨迹以及最小值的位置．
18．B
【分析】根据矩形的性质得到AD=BC，证明△BCF∽△ABE，推出∠BPA=90°，可得CP最短时点P的位置，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，再利用CG-PG即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCF=∠ABE=90°，又，
∴，
∴△BCF∽△ABE，
∴∠BAE=∠FBC，又∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BEA+∠FBC=90°，
∴∠BPA=90°，
∴点P在以AB为直径的圆周上，设G为AB中点，连接CG，与圆G交于P，
即此时CP最短，
∴BG=2，
∴CG==，
∴此时CP=，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及圆的性质，确定出CP最小时点P的位置是解题关键，也是本题的难点．
19．
【分析】过点A作AH⊥BC于H，过点E作EK⊥BA交BA的延长线于K．设AE=y，BD=x．利用相似三角形的性质求出y的最小值，可得结论．
【详解】解：过点A作AH⊥BC于H，过点E作EK⊥BA交BA的延长线于K．设AE=y，BD=x．
∵AB=AC=2，AH⊥BC，∠BAC=120°，
∴BH=CH，∠BAH=∠CAH=60°，
∴BH=CH=AB•sin60°=，
∴BC=2BH=2，
∴CD=2-x，EC=2-y，
在Rt△AEK中，EK=AE•sin60°=y，
∴S△ABE=AB•EK=×2×y=y，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABC+∠DAB，∠ADE=∠ABD，
∴∠EDC=∠DAB，
∵∠C=∠ABD，
∴△ADB∽△DEC，
∴，
∴，
整理得y=x2-x+2=（x-）2+，
∵＞0，
∴x=时，y的值最小，最小值为，
∴△ABE的面积的最小值=，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
20．①②③
【分析】①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．
②证明Rt△ADG≌Rt△AFG得∠DAG=∠FAG，DG=FG，进而得∠EAG=∠BAD，便可判断②的正误；
③设GD=GF=x，在Rt△ECG中，利用勾股定理EG2=EC2+CG2，可得DG=FG=3，则CG=CD-DG=3=GF，即可判断；
④证明FG：EG=3：5，先求出求出△ECG的面积，再求出的面积即可．
【详解】解：如图，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=BE+EC=6，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，
由翻折可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=2，∠BAE=∠EAF，
∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴DG=FG，∠GAF=∠GAD，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=（∠BAF+∠DAF）=45°，故①正确，
由折叠知AB=AF，∠ABE=∠AFE=90°，∠BAE=∠FAE，
∵正方形ABCD中，AB=AD，∠ADG=90°，
∴AD=AF，
∵AG=AG，
∴Rt△ADG≌Rt△AFG（HL），
∴∠DAG=∠FAG，DG=FG
∴∠BAE+∠DAG=∠EAF+∠FAG，BE+DG=EF+FG
∴∠EAG=∠BAD＝45°，EG= BE+DG，故②正确；
设GD=GF=x，
在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2，
∴（2+x）2=42+（6-x）2，
∴x=3，
∴DG=FG=3，
∴CG=CD-DG=3=GF，
即：，故③正确
∵S△ECG=×3×4=6，FG：FE=3：2，
∴FG：EG=3：5，
∴S△GFC=×6=3.6，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取的中点，连接，从而求出OG=，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；
（4）由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH.
【详解】（1）解：由题意得，，
∵在中，，，．
∴．
（2）①当点在上方时，
如图一，过点作，垂足为，
∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，，
，，
∴．
∵点、、在同一直线上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②当点在下方时，
如图二，
在中，∵，，，
∴．
∴．
过点作，垂足为．
在中，，
∴．
综上，点到直线的距离为．
（3）解：如图三，取的中点，连接，则．
∴点在以为圆心，为半径的圆上．
当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为．
∴点所经过的路径长为．
（4）解：由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，
如图四，过O作OH⊥AB于H，
当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，
∴，
∴，
即点到直线的距离的最大值为.
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.
22．(1)见解析
(2)①；②或或或或
【分析】（1）通过证明，即可进行求证；
（2）①过点P作于点E，根据三角函数将和用含t的式子表示出来，再根据列出方程求解即可；②连接点E和中点M，过点M作于点N，证明，则，再根据勾股定理将和的长度表示出来，最后根据题意进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）①过点P作于点E，
∵四边形为矩形，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②由（1）可得，，
∴，即
∵与相似，
∴或，
∵，
∴或，
情况一：当点E在点B左边时，
由①可得：当时，点E与点B重合，
∴当点E在点B左边时，，
如图：连接点E和中点M，过点M作于点N，
∵点M为中点，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点M为中点，，
∴，，
当时，
在中，，
则，
在中，，
则，
∴，解得：或（舍去），
当时，
在中，，
则，
在中，，
则，
∴，解得：（舍去）或（舍去），
∴当时，与相似；
情况二：当点E在点B右边时，
同理可得：当时，
在中，，
则，
在中，，
则，
∴，解得：或（舍去），
当时，
在中，，
则，
在中，，
则，
∴，解得：或（舍去），，
∴当或时，与相似；
情况三：当点P在点B下方时，
根据题意可得：，，，
此时或，
当时，
在中，，
则，
在中，，
则，
∴，解得：或（舍去），
当时，
在中，，
则，
在中，，
则，
∴，解得：或（舍去），
∴当或时，与相似；
综上：当或或或或时，与相似．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形求解．
23．（1）①相等，理由见解析；②4；（2）
【分析】（1）①作交于点Q，可证明是等边三角形，再证明，则，然后再证明，得；②以为一边向右作等边三角形，连接，以为一边向右作等边三角形，连接，证明，则，，再说明，且，则点F在线段上运动，即可求出点F运动的路径长为4；
（2）将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，证明，得，说明点G在以点L为端点且与平行的射线上运动，当时，线段最短，求出此时的长即可．
【详解】（1）①PE＝DG，
理由：如图①甲，作交于点Q，
∵是边长为5等边三角形，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，
∵，，
∴，
∴，
∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接，
则，，
∴，
∴结合，有，
∴，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∵，且，
∴点F在线段上运动，
∵当点P与点E重合时，则点F与点I重合；当点P与点A重合时，点F与点H重合，
∴点F运动的路径长为4．
（2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，
∵将绕着点E顺时针旋转45°到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动，
∴当时，线段最短，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值是．
【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．