专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮专题提升训练，共41页。试卷主要包含了用“●”“□”定义新运算等内容，欢迎下载使用。
专题31 中考热点新定义问题专项训练
专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。常以压轴题身份出现。一．选择题
（2021•河北模拟）
1．对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y）＝x，当x1时，x+2>3x；
当x>1时，3x>x+2，
故关于x的函数y=max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．
2．2021
【分析】根据新定义运算法则求解即可．
【详解】解：由题意，2020□2021=2021，2021□2020=2020，
∴（2020□2021）●（2021□2020）=2021●2020=2021，
故答案为：2021．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，理解新定义运算法则是解答的关键．
3．##22.5度
【分析】根据正求出多边形的内角和公式，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，计算即可．
【详解】解：∵八边形是正八边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．
4．12
【分析】根据题中的定义，进行计算即可得到答案.
【详解】解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为12．
【点睛】本题考查有理数的乘法，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的乘法.
5．
【分析】根据差倒数写出、、、，得到规律即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，，，
∴3个数一循环，
，
∴．
故答案为
【点睛】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解．
6．
【分析】根据差倒数写出、、、，得到规律即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，，，，
∴3个数一循环，
，
∴．
故答案为
【点睛】本题考查规律寻找，解题的关键是根据题意求出几个数找到数字规律，根据规律求解．
7．(1)1287，2376
(2)任意一个“极数”都是99的倍数，理由见解析
(3)1188或2673或4752或7425

【分析】（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；
（2）由“极数”的定义可得出，进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；
（3）由（2）可得出，由为完全平方数，可得出，，，，解之可得出，的值，进而可得出的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：由“极数”的定义得，1287，2376，
故答案为1287，2376；
（2）解：任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为，，且、为整数），
则，
，，且、为整数，
是整数，
任意一个“极数”都是99的倍数．
（3）解：设四位数为，，且、为整数），
四位数为“极数”， ，
．
是完全平方数，，，且、为整数，
，，，，
或或或，
可以为1188或2673或4752或7425．
【点睛】本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出；（3）根据是完全平方数，找出的值．
8．(1)2022是纯数，理由见解析
(2)2030，2031，2032；13个．

【分析】（1）根据题目中的新定义可以解答本题，注意各数位都不产生进位的自然数才是“纯数”；
（2）根据“纯数”的概念，从2023到2050之间找出“纯数”；根据“纯数”的概念得到不大于100的数个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义解答．
【详解】（1）解：2022是“纯数”，理由如下：
∵在计算时，各数位都不产生进位，
∴2022是“纯数”；
（2）解：显然2023、2050都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行的运算时要产生进位．
在2023到2050之间的数，只有个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义．
所以所求“纯数”为2030，2031，2032；
不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，
所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．
【点睛】本题考查的是整式的加减、有理数的加法、数字的变化，正确理解“纯数”的概念是解题的关键．
9．（1）2；（2）4或或；（3）（，）
【分析】（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；
（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；
（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点时，PQ取得最小值，进而即可求解．
【详解】解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，
由勾股定理得：h2＋（2h）2＝102，解得：h＝2，
故答案为2；
（2）①当“半高”是底边上的高时，
如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，

由题意得：AD＝2，BC＝4；
②当“半高”是腰上的高时，
如下图，底边为BC、“半高”CD为腰上的高，

如图2，当△ABC为锐角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△ADC中，AD==，
在Rt△BCD中，BC==；
如图3，当△ABC为钝角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
同理可得：BC=．
故答案为：4或或；
（3）将抛物线的表达式y=x2与直线方程y=x＋2联立并解得：x=−1或2，
即：点R、S的坐标分别为（−1，1）、（2，4），则RS＝3，
则RS边上的高为：×3=，
则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，

设直线RS与y轴交于点N，则N（0，2），过点N作NQ⊥TQ于点Q，则NQ=，则NT=＝3，
∴点T（0，5），
则点Q所在的直线方程为：y＝x＋5，
同理：当点Q所在的直线在直线RS的下方时，y＝x−1，
∴点Q所在的直线方程为：y＝x＋5或y＝x−1；
如图4，当点P介于点R与点S之间时，
设与RS平行且与抛物线只有一个交点的直线方程为：y＝x＋d，
将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2−x−d＝0，
∴△＝1＋4d＝0，解得：d＝，
此时，x2−x＋＝0，解得：x＝，
∴点（，），此时，P（）Q取得最小值．
【点睛】本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、锐角三角函数的定义，画出示意图，分类讨论，是解题的关键．
10．(1)点是点A，B的融合点
(2)①；②

【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案；
（2）①由题中融合点的定义可得；.
②当时，画出图形，由融合点的定义求得点、坐标，进而求出解析式．
【详解】（1）解：，，
∴点是点A，B的融合点．
（2）解：①由融合点定义知，得，
又∵，得．
∴，化简得．
②当时，如图所示，则点T为，

由点是点,的融合点，可得点，
此时设直线的方程为，则，解之得，
∴，
直线ET的解析式为．
【点睛】本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解，解决本题关键是搞清楚新定义．
11．（1）好点有：，，，和，共5个；（2），和；（3）.
【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可；（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题；（3）如图3中，抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时Dm的值，即可判断．
【详解】解：（1）当时，二次函数的表达式为
画出函数图像（图1）

图1
当时，；当时，
抛物线经过点和
好点有：，，，和，共5个
（2）当时，二次函数的表达式为
画出函数图像（图2）

图2
当时，；当时，；当时，
该抛物线上存在好点，坐标分别是，和
（3）抛物线顶点P的坐标为
点P支直线上
由于点P在正方形内部，则
如图3，点，

图3
当顶点P支正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）
当抛物线经过点时，
解得：，（舍去）
当抛物线经过点时，
解得：，（舍去）
当时，顶点P在正方形OABC内，恰好存在8个好点
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题．
12．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得，则可得与互余，即与互余，从而可得答案；
（2）画出图形即可．
（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得、，再判定，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．
【详解】（1）解：，是的角平分线，
，
，
，
与互余，
四边形是邻余四边形；
（2）解：如图所示（答案不唯一），

四边形为所求；
（3）解：，是的角平分线，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)见解析
(3)①AC的值为或3；②

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到进而证明是等边三角形，即可证明四边形为理想四边形；
（2）由圆周角定理进行求解即可；
（2）①当时，如图3中，先求出，得到，；再由等边三角形的性质得到，，即可证明，则由勾股定理可得；同理当时，如图4中，同法可得；②如图5中，以为边作等边，连接，作交的延长线于F．由等边三角形的性质得到，，证明，得到，求出，得到．．在中，由勾股定理得，则，
整理得：．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴四边形为理想四边形；
（2）解：∵圆心角，
∴当点C在上，由圆周角定理得，
∴四边形为理想四边形；
（3）解：①当时，如图3中，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；

当时，如图4中，同法可得；
综上所述，的值为或；

②如图5中，结论：，理由如下：
以为边作等边，连接，作交的延长线于F．
∵都是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．．
在中，由勾股定理得，
∴，
整理得：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
14．（1）①；②；（2）或或或
【分析】（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP=AB=2，由此即可求解问题；②如图2中，当OP=AB时，作PH⊥x轴于点H，求出点P的横坐标，利用图象法即可求解问题；
（2）如图3-1中，作CH⊥y轴于点H，分别以点A、B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B，首先证明∠COH=30°，则由题意可推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合思想解决问题即可．
【详解】解：（1）①由题意可得：点，如图所示：

∵点P为线段AB关于射线OC的等腰点，
∴OP=AB=2，
∴；
故答案为；
②如图，当OP=AB时，作PH⊥x轴于点H，

在Rt△POH中，PH=1，OP=AB=2，
∴，
故若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，；
（2）如图，作CH⊥y轴于点H，分别以点A、B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B，

如图，当⊙B与OC相切于点P时，连接BP，

∴OP⊥BP，
∴∠BPO=90°，
当时，，
故，由勾股定理可得，
∴∠COH=30°，
∴∠POB=60°，
∵BP=2，
∴，
故，
如图，当⊙A与OC相切于点P时，连接AP，

同理可得，
当⊙A经过原点时，此时OA=2，即t=2，观察图形可知，满足条件的t的值为；
综上所述，满足条件t的值为或或或．
【点睛】本题主要考查三角形综合题，等腰三角形的判定和性质，三角函数及切线的性质定理，熟练掌握三角形综合题，等腰三角形的判定和性质，三角函数及切线的性质定理是解题的关键．
15．(1)①，，；②O和D
(2)点F横坐标的取值范围是：
(3)r的取值范围为

【分析】（1）①通过直线外一点到直线的距离垂线段最短判断即可；②根据题意定义的限距关系判断即可；
（2）分类讨论，①当在圆内时；②当与圆有交点时；③当在圆外并且没有交点时，结合各个情况找出圆上的点与线段的最短距离与最长距离，结合新定义的限距关系关系式来求取值范围即可；
（3）取极限状态即和在的两端时，找出此时最大距离和最短距离结合限距关系的关系式求取值范围即可．
【详解】（1）①如图1中，

∵点，
，
，
当时，的值最小，当与重合时，的值最大是，
中，，即的最小值是；
如图2，当时，的值最小，

中， ，
，
，
，
，
，
当与重合时，的值最大，的最大值是2，
∴线段的取值范围是：；
故答案为：，，；
②根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3，

故点与线段满足限距关系；
根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3，

故点与线段满足限距关系；
故答案为：和；
（2）∵点，
∴设直线的解析式为：，
，解得： ，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴设的解析式为：，
，
，
当时，如图5，线段在内部，与无公共点，

此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为，
∵线段与满足限距关系，
，
解得，
∴；
当时，线段与有公共点，线段与满足限距关系，
当时，如图6，线段在的外部，与没有公共点，

此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为，
∵线段与满足限距关系，
，
而总成立，
∴时，线段 与满足限距关系，
综上所述，点F横坐标的取值范围是：b；
（3）如图3﹣1中，不妨设，的圆心在轴上位于轴的两侧，

两圆的距离的最小值为，最大值为，
∵和都满足限距关系，
，
解得
故的取值范围为．
【点睛】本题主要考查一次函数与圆的综合问题以及新定义问题，含角的直角三角形的性质，熟练掌握一次函数性质与含角的直角三角形的性质以及充分理解新定义的意义是解决本题的关键．
16．(1)A、C或A、D，2或；
(2)或；
(3)；

【分析】（1）根据定义通过计算求解即可得到答案；
（2）设，由根据“限斜点”定义列方程求解即可得到答案；
（3）由题意可知C点在直线上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，则T点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径的圆上，当T点在直线上时，，再由，可知T点在直线的上方，直线的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部；
【详解】（1）解：， ，
有|，
∴A、C为一对“限斜点”，且“限斜点系数”为2；
，，
有，
∴A、D“限斜点”，且“限斜点系数”为，
故答案为：A、C或A、D，2或；
（2）解：设，
∵点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴或；
（3）解：∵，
∴C点在直线上，
∵，
∴T点在以M为圆心1为半径的圆上，
∵M点在以O为圆心3为半径的圆上，
∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，
当T点在直线上时，设，
∴，
∴，
∵，
∴T点在直线的上方，直线的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，
∴；

【点睛】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合．
17．(1)
(2)且
(3)

【分析】（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可；
（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为，求出的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线的解析式，结合图形即可解决问题；
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为或，设当与直线相切于点M时，当与直线相切于点N时，分别求出，，结合图象即可解决问题．
【详解】（1）如图1中，观察图象可知，点的特征线是，

故答案为：；
（2）如图2中，

设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为，
，
∴，
∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为，
∴，
当的面积为6时，，
∴，
∴或，
当经过，时，
，解得，
当直线经过，时，
，解得，
观察图形可知满足条件的k的值为且；
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为或，

当与直线相切于点M时，连接，
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，此时，
当与直线相切于点N时，同理可得，此时，
结合图象可知满足条件的t的值为：．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质、三角形的面积、点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用特殊位置解决问题．
18．(1)抛物线的解析式为；
(2)①当时，函数值y随着x的增大而增大；②当时，此分段函数的图象与直线有三个公共点；
(3)区域内所有整点的坐标为，，．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①结合图象即可求解；
②分别两个抛物线的顶点坐标，观察图象即可求解；
（3）画出图象，观察图象即可求解．
【详解】（1）解：∵函数的图象过点，．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：补全分段函数的图象如图所示，
，
①此分段函数的一条性质：当时，函数值y随着x的增大而增大；
②函数，顶点坐标为，
函数，顶点坐标为，
∴当时，此分段函数的图象与直线有三个公共点；
（3）解：如图，

观察图象，区域内所有整点的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够准确画出函数的图象，通过观察图象获取性质是解题的关键．
19．（1）①B，C；②1≤d≤2；（2）﹣6≤m＜﹣或﹣＜m≤3﹣．
【分析】（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．
②如图，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．
（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图，设FT是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．②如图，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°．③如图，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可得出结论．
【详解】（1）①如图，
∵A（0，﹣3），B（﹣1，），C（2，﹣1），⊙O的半径为1，
∴切线AG的长＝＝2＞2，
切线BN的长＝2，
切线CM的长＝2，
∴点B，C是⊙T的伴随点，
故答案为：B，C

②如图，设点D的坐标为（d，﹣d+3），
当过点D的切线长为2r＝2时，
OD＝＝，
∴d2+（﹣d+3）2＝5，
解得：d1＝2，d2＝1．
结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是1≤d≤2．

（2）∵直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．
∴x=0时，y=3，y=0时，x=，
∴E（﹣，0），F（0，3）．
①如图，设FT是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，此时m＝6．

观察图象可知：当﹣6≤m＜﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．
②如图，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°

当ET＝6时，EM＝＝＝3，此时m＝3﹣，
③如图，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．
∵E（﹣，0），F（0，3），
∴OE＝，OF＝3，
∴EF＝＝，
∵EF是切线，
∴EF⊥MT，
∴∠MTE＝∠EOF＝90°，
∵∠MET＝∠FEO，
∴△MTE∽△FOE，
∴＝，
∴，
∴EM＝，
此时m＝﹣，
结合图象可知，当﹣＜m≤3﹣时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，

综上所述，m的取值范围是﹣6≤m＜﹣或﹣＜m≤3﹣．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆的伴随点的定义，切线的性质，相似三角形得判定与性质及勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
20．(1)①，；②的取值范围是或
(2)正方形T与图形W相离的t的取值范围是或或

【分析】（1）①将，，，四个点的坐标代入直线计算即可判断．
②根据直线经过点，和点计算的值即可得出答案．
（）先画出图形，再分三种情形，观察图象得出经过特殊位置的的坐标，即可得出答案．
【详解】（1）解：①点，
当时，，
点不在直线上，
同理，点不在直线上，点，点在直线上，
与直线相离的点是，；
故答案为：，；
②当直线过点时，
．
．
当直线过点时，
．
．
的取值范围是或．
（2）如图所示，

正方形与图形相离的的取值范围是或或．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，学会用分类讨论的思想思考问题．