专题06 二次函数的线段、角度与面积问题-2023年中考数学二轮专题提升训练

专题06 二次函数的线段、角度与面积问题

类型一 线段问题

（2022秋•西华期中）

1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是直线下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线相交于点E．

①求直线的解析式；

②当线段的长度最大时，求点D的坐标．

（2022秋•荔湾区期末）

2．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图象经过A，B，C三点．

(1)求A，C两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．

（2021秋•鼓楼区校级期中）

3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(1，0)，且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，若动点P在过A，B，C三点的抛物线上，是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当0＜PD＜2时，请直接写出点P横坐标的取值范围．

类型二 面积问题

（2022秋•五华区校级期中）

4．已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点C．

(1)求抛物线对应的函数解析式和直线对应的函数解析式．

(2)在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（2022秋•抚远市期末）

5．如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧），与轴交于点，点与关于抛物线的对称轴对称．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；

(2)点是抛物线上的一点，当的面积是8，求出点的坐标

类型三 角度问题

（道里区一模）

6．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线交x轴正半轴于点C，横坐标为t的点P在第四象限的抛物线上，过点P作的垂线交x轴于点E，点Q为垂足，设的长为d，求d与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围；

(3)在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交x轴于点D，连接．当时，求点P坐标．

（2019•崇川区模拟）

7．如图，抛物线交x轴于，两点，顶点B的纵坐标为4．

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)若点C是抛物线上异于原点O的一点，且满足，试判断的形状，并说明理由．

(3)在⑵的条件下，若抛物线上存在一点D，使得，求点D的坐标．

（2020秋•衢州期中）

8．如图，直线y＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．

（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

1．(1)

(2)①；②

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）①求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．

②设D坐标为，则点E坐标为，设的长为d，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，

∴

解得

故该抛物线解析式为：；

（2）解：令，得，

∴ ．

设直线的解析式为，

则有

解得

∴直线BC的解析式为；

②设D坐标为，

∴点E坐标为，

设的长为d，

∵D是直线下方的一点，

∴，

∴当时，线段的长度最长，此时．

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．

2．(1)

(2)

(3)，的最大值为

【分析】（1）根据，即可求解；

（2）设抛物线的表达式为：，再把点代入，即可求解；

（3）先求出直线的表达式，然后过点P作y轴的平行线交于点H，根据，可得，设点 ，则点，可得的长，再根据二次函数的性质，即可求解．

【详解】（1）解：∵点B的坐标为，

∴，

∵，

∴，

∴点；

（2）解：设抛物线的表达式为：，

把点代入得：，

解得：，

故抛物线的表达式为：；

（3）解：∵直线过点，

∴可设其函数表达式为：，

将点代入得：

解得：，

故直线的表达式为：，

过点P作y轴的平行线交于点H，

∵，

，

∵轴，

，

∴，

∵，

∴，

设点 ，则点，

∴，

∵ ，

∴有最大值，当时，其最大值为，

此时点．

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示，是本题解题的关键

3．（1）；（2）存在， P点坐标为（2，-6）或（-2，6）；（3）且．

【分析】（1）由已知可知OB=1，再由OA＝OC＝4OB，可得A， C两点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）分、两种情况，根据等腰直角三角形性质求出直线PC解析式，再联立抛物线与直线解析式求出交点坐标；

（3）过点P作y轴的平行线交AC于点Q,可得，根据直线解析式和抛物线解析式求出线段PQ的函数解析式，可得当x=-2时，P点坐标为（-2，6），此时PQ的最大值为，由此得出点P横坐标的取值范围．

【详解】解：（1）∵点B的坐标为(1，0)，

∴OB=1，

又∵OA＝OC＝4OB，

∴OA＝OC＝4，即点A坐标为（-4，0）；点C坐标为（0，4）；

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．

∴，

解得：,

∴抛物线的解析式为；

（2）以AC为直角边的直角三角形ACP，有两种情况，

I．过C点作PC⊥AC，交抛物线于点P，交x轴于M，此时，如解图2-1；

∵，OA＝OC，

∴，

∴，

∴，即点M坐标为（4，0），

∴直线PC解析式为，

联立解析式得：

，

解得：，，

∴当P点坐标为（-2，6）时，ACP是以AC为直角边的直角三角形；

II．过A点作PA⊥AC，交抛物线于点P，交y轴于N，此时，如解图2-2，

同理可求：当P点坐标为（2，-6）时，ACP是以AC为直角边的直角三角形；

综上所述：当P点坐标为（2，-6）或（-2，6）时，ACP是以AC为直角边的直角三角形．

（3）∵点A坐标为（-4，0）点C坐标为（0，4）

∴直线CA函数表达式为: y=x+4,

过点P作y轴的平行线交AC于点Q,

设点P坐标为，其中，则点Q坐标为，

∵点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，

∴，

∴，即当x=-2时，P点坐标为（-2，6），此时PQ的最大值为

又∵，轴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

又∵0＜PD＜2，

∴0＜PQ＜4，即：，

∴当x=-2时， PQ的最大值为，此时,

∴当0＜PD＜2时，P横坐标的取值范围为：且．

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等，其中（3）得出，并用函数关系表示PQ是本题解题的关键．

4．(1)抛物线解析式为，直线解析式为

(2)存在使得

【分析】（1）把抛物线解析式设为顶点式利用待定系数法求出抛物线解析式进而求出点B的坐标，再设出一次函数解析式，利用待定系数法求解即可；

（2）如图所示，过点D作轴，交于H，设，则，分别求出，，再根据建立方程求解即可；

【详解】（1）解：设抛物线解析式为，

∵在抛物线上，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为；

当时，，

∴点B的坐标为，

设直线解析式为，

∴，

∴，

∴直线的解析式为；

（2）解：如图所示，过点D作轴，交于H，

设，则，

∴，

∴

，

当时，对于函数，，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

解得或（舍去），

∴存在使得；

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，三角形面积，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．

5．(1)，点的坐标为

(2)点的坐标为或或

【分析】（1）根据点的坐标，利用二次函数图像上点的坐标特征可求出值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点的坐标可得出点的坐标；

（2）利用二次函数图像上点的坐标特征可求出点，的坐标及的长，设点的坐标为，由三角形的面积公式结合的面积是8，可求出值，再利用二次函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标．

【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，

，

，

抛物线的解析式为，

抛物线的对称轴为直线，

点与关于抛物线的对称轴对称，

点的坐标为；

（2）解：当时，，

解得：，，

点的坐标为，点的坐标为，，

设点的坐标为，

的面积是8，

，即，解得，

当时，，

解得：，，

点的坐标为，或，；

当时，，

解得：，

点的坐标为；

当的面积是8，点的坐标为或或．

【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用二次函数图像上点的坐标特征求出值；（2）利用三角形的面积公式，求出点的纵坐标．

6．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b、c的值可得到抛物线的解析式；

（2）先求得点C的坐标，设点P的坐标为，EP的解析式为，将点P的坐标代入可求得b的值，得到直线EP的解析式为，接下来，求得点E的坐标，依据可得到d与t的函数关系是；

（3）过点D作，垂足为F．先证明为等腰直角三角形，可得到，由的解析式可知，则Q为的中点，故此E为的中点，则可得到的长，由d和t的函数关系是可得到t的值．

【详解】（1）解：令得：，解得：，

∴点．

将代入得：，

∴．

将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为．

（2）如图1所示：

令得：，解得：，，

∴点C的坐标为．

设点P的坐标为．

∵，

∴设的解析式为．

将点P的坐标代入得：，解得．

设直线的解析式为．

令，得：，解得：．

∴点．

∴．

∴．

∵点P在第四象限，

∴．

（3）如图2所示：过点d作，垂足为F．

∵，，

∴．

∴．

∴．

∵的解析式为，

∴，即．

∴Q为的中点．

∵，

∴E为的中点．

∴．

∴，即，解得或．

∵点P在第四象限，

∴，

当时，．

∴点P的坐标为．

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定、解直角三角形，求得点E的坐标是解题的关键．

7．(1)抛物线的解析式是；

(2)是直角三角形，理由见解析；

(3)点D的坐标为或．

【分析】（1）根据抛物线交x轴于，两点，顶点B的纵坐标为4，根据待定系数法可求抛物线的解析式；

（2）设，由勾股定理得点，则，，因此是直角三角形；

（3）作轴于E，根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点D．中，，可得直线上方的点D即为点，由点B关于点O的对称点，且，可得，将直线解析式为代入抛物线，可得点D的坐标．

【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，顶点B的纵坐标为4，

∴，

解得．

故抛物线的解析式是；

（2）解：是直角三角形．

如图1，设，

由勾股定理得：，，，

∵，

∴化简得，

代入，

解得，

即点，

则，，

因此是直角三角形．

（3）解：如图2，作轴于E，则．

∵，

∴，

∵，

∴，

只要经过点C，在的上方与下方各作一条直线，使所作直线与所成锐角的正切值为，则直线与抛物线的交点即为所求点D．

∵中，，

∴直线上方的点D即为点，

∵点B关于点O的对称点，且，

∴，

∵直线解析式为，

∴代入抛物线，

解得（舍去），

当时，．

则．

综上所述，点D的坐标为或．

【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及运用待定系数法求抛物线解析式、直角三角形的判定、三角函数、勾股定理等知识，运用图形结合的思想是解题的关键．

8．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）45°；（3）存在，点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，4+）、（1，4﹣）；（4）存在，16+8．

【分析】（1）根据直线求得点B与点C坐标，利用待定系数法求解抛物线表达式；

（2）首先判断△OBC形状，再利用圆周角定理求解；

（3）借助直角坐标系内两点间距离公式，分情况讨论求解；

（4）假设存在点P，根据∠APB＝∠OCB，构造直角三角形，利用勾股定理求解．

【详解】解：（1）令x＝0，可得C点坐标（0，3），令y＝0，可得B点坐标（3，0），

将点B，C代入抛物线得，

，

解得，

∴抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图，

∵∠COB＝90°，OC＝OB＝3，

∴△OBC等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°，

根据圆周角定理可得∠OEB＝∠OCB＝45°；

（3）存在点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，4+）、（1，4﹣）时，△PCD为等腰三角形；

理由如下：如图，

由（1）可知抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线对称轴x＝1，顶点D坐标（1，4），

设P点坐标为（1，m），

∴PC2＝（1﹣0）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，PD2＝（m﹣4）2＝m2﹣8m+16，CD2＝（0﹣1）2+（3﹣4）2＝2，

①当PC＝PD时，m2﹣6m+10＝m2﹣8m+16，解得m＝3；

②当PC＝CD时，m2﹣6m+10＝2，解得m1＝2，m2＝4；

③当PD＝CD时，m2﹣8m+16＝2，解得m1＝4+，m2＝4﹣；

综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，4+）、（1，4﹣）时，△PCD为等腰三角形；

（4）存在满足条件的点P，PB2＝16+8．

理由如下：如图，

作BF⊥PA，垂足为F，

∵∠APB＝∠OCB＝45°，

在Rt△BFP中，设BF＝a，则PF＝a，

∴PB＝＝，

∵点A与点B关于对称轴对称，点P在对称轴上，

∴PA＝PB＝，

∴AF＝a﹣a，

令抛物线y＝0，可解得点A坐标（﹣1，0），

在Rt△AFB中，AB＝4，AF＝a﹣a，BF＝a，

∴（a﹣a）2+a2＝16，

解得a2＝8+4，

∴PB2＝（）2•a2＝16+8．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，两点距离公式，勾股定理，圆周角定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．