专题10 二次函数与平行四边形含矩形菱形正方形的存在性问题-2023年中考数学二轮专题提升训练

这是一份专题10 二次函数与平行四边形含矩形菱形正方形的存在性问题-2023年中考数学二轮专题提升训练，共39页。试卷主要包含了二次函数与矩形存在性问题，二次函数与菱形的存在性问题，二次函数与正方形的存在性等内容，欢迎下载使用。

专题10 二次函数与平行四边形含矩形菱形正方形的存在性问题
第一部分 典例剖析+变式训练
类型一 二次函数与平行四边形的存在性问题
（2022•攀枝花）
1．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
（2022•贵港模拟）
2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为．对称轴l与x轴交于点F，P是直线上方抛物线上一动点，连接，．

(1)求抛物线的表达式．
(2)当四边形面积最大时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，连接，E是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
类型二 二次函数与矩形存在性问题
（2022•绥化）
3．如图，抛物线交y轴于点，并经过点，过点A作轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线，D点的坐标为，连接，，.点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以为对角线作正方形．
　　
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G随着E点运动到达上时，求此时m的值和点G的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
（2022•黔西南州）
4．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 二次函数与菱形的存在性问题
（2022•烟台）
5．如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2022•朝阳）
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
(3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 二次函数与正方形的存在性
（2022•修水县二模）
7．已知二次函数．
(1)有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______．（填序号）
①二次函数的图象开口向上；
②二次函数的图象的对称轴是直线；
③二次函数的图象经过定点（0，3）和（2，3）；
④函数值y随着x的增大而减小．
(2)当时，①抛物线的顶点坐标为______；
②将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______；
(3)设抛物线与y轴相交于点E，过点E作直线轴，与抛物线的另一交点为F，将抛物线沿直线l翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为P，Q．是否存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

第二部分 专题提优训练
（2022春•渝中区月考）
8．如图1，在直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C． 已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥轴交BC于点E，求PE的最大值及此时的点P的坐标；
（3）如图2，点F是BC上一点，OF平分△COB的面积，将抛物线沿射线CB方向平移，当抛物线恰好经过点F时，停止运动，记平移后的抛物线为．已知点M是原抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2019•荆州）
9．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，C的坐标分别为，，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若的平分线交于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当的值最小时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点A作的垂线交于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
（2022•仓山区校级模拟）
10．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE，求证：PE⊥PF；
（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

（2019•辽阳）
11．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，，以A为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点P在对称轴上．

(1)求抛物线解析式；
(2)若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接，当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？
(3)若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
（2022•东胜区二模）
12．如图，已知抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若在x轴上方的抛物线上有一动点P，且的面积为24，求点P的坐标；
(3)直线，垂足为C，直线l上有一点N，在坐标平面内一点M，是否存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．(1)
(2)
(3)存在，或或

【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
（2）如图，连接，

当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，


；
（3）设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)存在，点Q坐标为或或

【分析】（1）根据抛物线解析式可得C点坐标，设交点式表达式，待定系数法求解即可；
（2）如图1，连接，，设，根据，得到二次函数表达式，求最值即可；
（3）如图2，由点E在x轴上，点Q在抛物线上，分两种情况求解：①是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为，代入求解满足题意的解即可；②当为对角线时，点Q的纵坐标为，代入求解满足题意的解即可．
【详解】（1）解：由抛物线，得点C的坐标为
∵抛物线过已知点，点，
∴设抛物线表达式为，即，
将代入得，
解得，
∴抛物线表达式为．
（2）解：如图1，连接，，设

∵，，
∴，，
∴

，
∵，
∴时，四边形的面积最大，
∴．
（3）解：存在．点Q的坐标为 或 或 ．
如图2，由点E在x轴上，点Q在抛物线上，分两种情况求解：

①是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为
∴当时，，解得（舍去）或
∴；
当时，，解得，
∴的坐标为或 ；
②当为对角线时，满足条件的点Q的纵坐标为，
∴，解得（舍去）或，
∴；
综上所述，满足条件的点Q坐标为或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与面积的综合，二次函数与平行四边形的综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．(1)
(2)，
(3)或（3，-3）或

【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线BC解析式，通过△EGF为等腰直角三角形表示出G点坐标，将G点代入BC解析式即可求得m的值，从而求得G点坐标；
（3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC是直角三角形时，当△BCG为直角三角形时，当△CBG为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m的值，即可求得G点坐标．
【详解】（1）将点A（0，-4）、C（6，0）代入解析式中，以及直线对称轴，可得 ，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵A（0，-4），D，
∴△AOD为等腰直角三角形，
∵轴交抛物线于点B，
∴B（4，-4），
设直线BC解析式为y=kx+b′，
将B（4，-4），C（6，0）代入解析式得，
，解得，
∴直线BC解析式为y=2x-12，
由题意可得，△ADB为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形EGFH为正方形，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴，
点G随着E点运动到达上时，满足直线BC解析式y=2x-12，
∴，
∴，此时；
（3）B（4，-4），C（6，0），，
∴,，,
要使以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，
需满足：
当△BGC是直角三角形时，，
，
解得，，，
此时G或（3，-3）；
当△BCG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
当△CBG为直角三角形时，，
，
解得，，
此时G；
综上所述：点G坐标为或（3，-3）或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键．
4．(1)
(2)或或
(3)存在，或或或

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
(2)求出直线AB的表达式为，设，，分当M在N点上方时，．和当M在N点下方时，，即可求出M的坐标；
（3）画出图形，分AC是四边形的边和AC是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设直线AB的解析式为：，
∵直线AB经过，，
∴，
∴，
∴直线AB的表达式为．

∵轴，可设，，其中．
当M在N点上方时，．
解得，（舍去）．
∴．
当M在N点下方时， ．
解得，．
∴，．
综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，．
（3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，．
理由如下：
①如图，若AC是四边形的边．

当时，
∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点．
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，，
∵，，
∴，，．
∵，
∴．
∴．
∴点与点D重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到．
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与拋物线的交点，
∴．
解得，（舍去）．
∴．当时，四边形是矩形．
∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到．
②如图，若AC是四边形的对角线，

当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K．
可得，．
∴．
∴．
∴．
∵点P不与点A，C重合，
∴和．
∴．
∴．
∴如图，满足条件的点P有两个．即，．

当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向左平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．
5．(1)y＝﹣x2﹣x+4
(2)S最大＝，D（﹣，5）
(3)存在，Q（﹣2，）

【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；
（3）根据菱形性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标．
【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4，
∴C （0，4），
当y＝0时，x+4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A （﹣3，0），
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B（1，0），
∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3），
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，

作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4），
∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝＝＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S最大＝，
当m＝﹣时，y＝﹣＝5，
∴D（﹣，5）；
（3）设P（﹣1，n），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，
即：PA2＝PC2，
∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，
∴n＝，
∴P（﹣1，），
∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC
∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q（﹣2，）．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，菱形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和菱形性质
6．(1)，（-3，0）
(2)
(3)或（-2，1）或

【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y=0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；
（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；
（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM=BM，PM=PB和BP=BM，结合图象，进一步得出结果．
【详解】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
令 y=0，则，
解得：，
∴点B的坐标为（-3，0）；
（2）解：设直线BC的解析式为，
把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，
∴，
∴当时，PQ最大，最大值为；
（3）解：存在，
根据题意得：，则，
如图，当BM=PM时，

∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延长NP交y轴于点D，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴，
∴△CDP为等腰直角三角形，
∴，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x轴，
∴BN⊥x轴，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得，
∴，
∴；
如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN，

∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四边形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如图，当PB=MB时，

，解得：，
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四边形OEPN为矩形，
∴PN=OE，PN⊥y轴，
∵∠OBC=45°，
∴，
∴，
∴点N在y轴上，
∴，
综上所述，点N的坐标为或（-2，1）或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．
7．(1)②③
(2)①（1，2）；②；
(3)存在实数m，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，m的值为1或

【分析】（1）根据二次函数图形的性质判断；
（2）①代值计算即可；②根据翻折的后的顶点坐标直接解出函数解析式；
（3）根据正方形的性质找到点的坐标之间的关系，列方程求解即可．
【详解】（1）当时，抛物线的开口向上，故①不一定正确；
抛物线的对称轴为直线，故②正确；
在中，时时，即抛物线经过定点（0，3）和（2，3），故③正确；
二次函数的值在对称轴两侧的增减性恰好相反，故④不正确；
故答案为：②③；
（2）当时，，
①∵，
∴抛物线的顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）；
②∵将抛物线沿x轴翻折得到抛物线，
∴抛物线的顶点为（1，﹣2），
∴抛物线的表达式为，
故答案为：；
（3）存在实数m，使得以点为顶点的四边形为正方形，理由如下：
如图：

在中，令得，
∴E（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线，
∴F（2，3），
在中，令得，
∴P（1，3﹣m），
∵P，Q关于直线对称，
∴Q（1，3+m），
由对称性知EF，PQ互相平分，且，
∴以点为顶点的四边形为正方形，只需，
∴，
解得或，
∴m的值为1或．
【点睛】此题考查二次函数的几何综合，解题关键是找到特殊点的坐标代值计算，解题技巧是根据正方形的推论出边长的关系，转化成点的坐标直接计算．
8．(1) ，(2) ，（2，）；(3)（，）或（，）或（，）．
【分析】(1)根据tan∠CAO＝2，求出A点坐标，用待定系数法即可求解析式；
(2)设P点坐标为，表示出E点坐标，进而表示出PE长，根据二次函数性质求最值和P点坐标即可；
(3)求出F点坐标，根据平移求出解析式，设出点C、B、M、N的坐标，再根据平行四边形的性质列方程即可．
【详解】(1)解：把x=0代入，得，y=3，C点坐标为（0，3），OC=3，
∵tan∠CAO＝2，
∴OA= ，A点作标为（，0），B（4，0），代入解析式得，
，
解得，，
抛物线解析式为，
(2) 设P点坐标为，直线BC解析式为，把B（4，0），C（0，3）代入得，，解得，，直线BC解析式为；
∵PE∥轴，
∴，解得，，故E点横坐标为，
PE=，
当m=2时，PE有最大值，最大值为，此时点P的坐标为（2，）；
(3) ∵OF平分△COB的面积，
∴点F为BC中点，由B（4，0），C（0，3）可得F点坐标为（2，），
抛物线向右平移2个单位，向下平移个单位得到抛物线为，抛物线化为顶点式为，平移后抛物线解析式为，
设M的坐标为，N点坐标为（，d），B（4，0），C（0，3），
当MN为对角线时，，解得，，N点坐标为（，），
当MB为对角线时，，解得，，N点坐标为（，），
当MC为对角线时，，解得，，N点坐标为（，），
N点坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和二次函数的综合，解题关键是熟练掌握相关知识，列出相应的函数关系式和方程组．
9．(1)
(2)点P坐标为
(3)、或

【分析】（1）由平行四边形的性质求点坐标，根据抛物线经过点、、用待定系数法求解析式．
（2）由平分易证得，故有，求得点坐标，进而求得直线解析式．求抛物线对称轴为直线，即求得点坐标．作点关于轴的对称点点，由于点在轴上运动，故有，所以当点、、在同一直线上时，最小．用待定系数法求直线解析式，即求得与轴交点的坐标．
（3）设与相交于点，且的横坐标为，即能用表示、的长，由于点，根据勾股定理可得，把代入解方程即求得的值即求得点坐标．待定系数法求直线解析式，令时求的值即为点坐标．故可得，且点、关于直线对称．由于以点，，，为顶点的平行四边形中，、固定，以为平行四边形的边或对角线进行分类讨论．①以为边时，可得，且，故可得点横坐标为3或11，代入抛物线解析式即求得纵坐标．②以为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得点在抛物线对称轴上，求顶点即可．
【详解】（1）平行四边形中，，，
，轴，
，，即，
设抛物线经过点、、，
，解得：，
抛物线解析式为；
（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，

，
，
，
，
平分，
，
，
，
，即，
直线解析式为，
直线交抛物线对称轴于点，对称轴为直线：，
，
点与点关于轴对称，点在轴上，
，，
当点、、在同一直线上时，最小，
设直线解析式为，
，解得：，
直线，
当时，解得：，
当的值最小时，点坐标为．
（3）存在满足条件的点，，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
设与相交于点，如图2，

于点，，
，
，
，
解得：（舍去），，
，
设直线解析式为，
   解得：，
直线，
当时，，解得：，
，
，点、关于直线对称，
①当为以点，，，为顶点的平行四边形的边时，如图2，
则，，
点在抛物线对称轴：直线上，
或，即或3，
当时，，
当时，，
或，
②当为以点，，，为顶点的平行四边形的对角线时，如图3，

则、互相平分，
直线平分，点在直线上，
点在直线上，即为抛物线顶点，
，
，
综上所述，点坐标为、或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，轴对称求最短路径，解二元一次方程，勾股定理，解一元二次方程．其中第（2）题由轴对称求最短路径和第（3）题已知平行四边形的两顶点固定、求另两个顶点位置，都是函数与几何综合题里的常考题型．
10．（1）抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【分析】（1）先求得点A的坐标，然后依据抛物线过点A，对称轴是x=列出关于a、c的方程组求解即可；
（2）设P（3a，a），则PC=3a，PB=a，然后再证明∠FPC=∠EPB，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E（a，0），然后用含a的式子表示BE的长，从而可得到CF的长，于是可得到点F的坐标，然后依据中点坐标公式可得到，，从而可求得点Q的坐标（用含a的式子表示），最后，将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可．
【详解】（1）当y=0时，，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，
解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，
∴直线m的解析式为y=x．
∵点P是直线1上任意一点，
∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．
又∵PE=3PE，
∴．
∴∠FPC=∠EPB．
∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP⊥PE．
（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，
∴OF=20﹣3a．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q（﹣2，6）．
如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．

∵CF=3BE=3a﹣18，
∴OF=3a﹣20．
∴F（0，20﹣3a）．
∵PEQF为矩形，
∴，，
∴Qx+6=0+a，Qy+2=20﹣3a+0，
∴Qx=a﹣6，Qy=18﹣3a．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q（2，﹣6）．
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a的式子表示点Q的坐标是解题的关键．
11．(1)
(2)当时，其最大值为1
(3)点或或

【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）首先求出直线的解析式，然后利用即可求解；
（3）分是菱形一条边、是菱形一对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）设直线的解析式为：，
由题意可得：，
解得：，
直线的表达式为：，
点，则点，，设点，，
，
，
故有最大值，当时，其最大值为1；
（3）设点，点，
①当是菱形一条边时，
当点在点右方时，
点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则点向右平移3个单位、向下平移3个单位得到，
则，，
而得：，
解得：，
故点；
当点在点左方时，
同理可得：点；
②当是菱形一对角线时，
则中点即为中点，
则，，
而，即，
解得：，
故，，
故点；
综上，点或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
12．(1)
(2)或
(3)或或或或或

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出直线的解析式，令过点且与y轴平行的直线交于点，设，则，可得，求出的值即可得点坐标；
（3）设直线l与x轴的交点为F，根据角的关系可得，求出，再用待定系数法求出直线的解析式，设，，分三种情况讨论：①当为正方形的对角线时，；②当为正方形的对角线时，；③当为正方形的对角线时，；根据正方形的对角线互相平分，对角线长与边长的关系，利用勾股定理和中点坐标公式建立方程组，求解点M的坐标即可．
【详解】（1）将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令过点且与y轴平行的直线交于点，
设，则，
，
，
解得或，
或；
（3）存在以点M、N、A、C为顶点的四边形是正方形，
理由：设直线l与x轴的交点为F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，

①当为正方形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
②当为正方形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
③当为正方形的对角线时，，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：M点坐标为或或或或或．

【点睛】本题考查待定系数法的应用，二次函数的图象及性质，解直角三角形，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，分类讨论是解题的关键．