2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考数学（文）试卷（含答案）

2023届普通高等学校招生全国统一考试大联考数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   ).

A. B. C. D.

2、已知命题，，若为真命题，则a的取值范围是(   ).

A. B. C. D.

3、设a，b是实数，则“”的一个必要不充分条件是(   ).

A. B. C. D.

4、已知角，角，终边上有一点，则(   ).

A. B. C. D.

5、若向量，，满足，，，，，则(   ).

A.5 B.6 C.3 D.4

6、已知，，，则a，b，c的大小关系是(   ).

A. B. C. D.

7、如图是函数的图象，则函数的解析式可以为(   ).

A. B. C. D.

8、在中，D为BC的中点，b，c分别为角B，C的对边，，则的最小值为(   ).

A.30° B.45° C.60° D.90°

9、已知是定义在R上的单调减函数，则能使成立的一个区间是(   ).

A. B. C. D.

10、在中，，，交于Q，，则(   ).

A. B. C. D.

11、以意大利数学家莱昂纳多·斐波那契命名的数列满足：，，设其前n项和为，则(   ).

A. B. C. D.

12、已知函数，则以下结论：

①的周期为；

②的图像关于直线对称；

③的最小值为；

④在上单调，

其中正确的个数为(   ).

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

13、已知函数，的值域分别为M，N，，则实数a的取值范围是_________.

14、已知数列为等比数列，公比，首项，前三项和为7，，则_________.

15、已知，满足，，则________.

16、已知是定义在R上的奇函数，且函数图象关于直线对称，对，，则以下结论：

①为奇函数；

②为偶函数；

③；

④在区间上，为增函数.

其中正确的序号是_________.

三、解答题

17、已知数列满足，，且.

(1)证明：为等差数列；

(2)求数列的通项公式.

18、已知函数.

(1)求函数的对称中心及最小正周期；

(2)若，，求的值.

19、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.

(1)若，求的周长；

(2)若内切圆、外接圆的半径分别为r，R，求的取值范围.

20、已知为定义在R上的偶函数，为定义在R上的奇函数，且.

(1)求函数，的解析式；

(2)求不等式的解集.

21、已知数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

22、已知函数在Error! Digit expected.处的切线过点Error! Digit expected.，a为常数.

(1)求a的值；

(2)证明：.

参考答案

1、答案：C

解析：集合.

因为，所以.

故选：C.

2、答案：C

解析：：，，因为为真命题，则，即.

故选：C.

3、答案：D

解析：假设“”的必要不充分条件为p，则，即找能推出但不等价的条件.

对于A，令，，显然满足，但，故A错误；

对于B，由幂函数的单调性易知与等价，故B错误；

对于C，令，，显然满足，但，故C错误；

对于D，当时，，由的单调性得；

当，即时，令，显然，但，即推不出，故D正确.

故选：D.

4、答案：D

解析：因为，所以，即点在第三象限，

且，且，

所以.

故选：D.

5、答案：A

解析：因为，所以，又，，，所以，

因为，所以，又，，，所以，

所以，故选：A.

6、答案：A

解析：，因，，

在上单调递增，则，

又在上单调递增，则，即.

又，在在上单调递增，

则，又，则.

故选：A.

7、答案：D

解析：解：对于A：定义域为，

当时，则，即函数在上单调递增，故A错误；

对于B：定义域为R，且，，所以，故B错误；

对于C：定义域为，

又，所以当时，

当或时，即函数在，上单调递减，在上单调递增，故C错误；

对于D：定义域为，

，

所以当或时，当时，

即函数在，上单调递增，在上单调递减，符合题意；

故选：D.

8、答案：C

解析：因为D为BC的中点，如图，

所以，所以，

又，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，

又，所以，又，

所以，故的最小值为.

故选：C.

9、答案：B

解析：解：因为是定义在R上的单调减函数，

则不等式等价于，

所以，

令，，解得，，

所以不等式的解集为，，

因为，故时满足.

故选：B.

10、答案：C

解析：解：依题意，

，

又A、Q、M三点共线，

所以，即，

又，所以，

所以，

所以，解得.

故选：C.

11、答案：B

解析：因为，，，

所以数列的前100项和为

.

故选：B.

12、答案：B

解析：对于①，因为，根据函数周期性的定义可知①正确；

对于②，由得，，研究1个周期上的函数图像即可，

当时，，故，此时，，，故的图像关于直线对称，故②正确；

对于③，若，则，，此时，；

同理：若，则，，此时，；故最小值不能取，故③错误；

对于④，因为，，即，所以函数在上不单调，故④错误；

综上：正确的个数为2.

故选：B.

13、答案：

解析：解：因为，所以，

又，所以，

因为，所以，即.

故答案为：.

14、答案：5

解析：由条件可知，，即，，

解得：，所以，

，即，

得，解得：或(舍).

故答案为：5.

15、答案：或0.5

解析：解：因为，

所以，

所以，

又因为，则，

所以.

故答案为：.

16、答案：①②

解析：对于①，因为是定义在R上的奇函数，且函数图象关于直线对称，所以，因为，所以为奇函数，所以为奇函数，所以①正确，

对于②，因为的图象关于直线对称，所以，所以为偶函数，所以②正确，

对于③，因为是定义在R上的奇函数，所以，由，得，所以③错误，

对于④，对于函数满足条件，而此函数在上不是增函数，所以④错误，

故答案为：①②.

17、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)解：因为，

所以，则，

即，

所以，

又，所以，

所以是以2为首项，4为公差的等差数列.

(2)解：由(1)可得，

所以，

解得

因为且，即数列为递增数列，所以，

所以，

若，则，不符合题意，

故.

18、答案：(1)函数的对称中心为，，函数的最小正周期为

(2)

解析：(1)

，

令，，可得，，

又，

所以函数的对称中心为，，

函数的最小正周期；

(2)因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，所以，

故，

所以，

所以或，

又，故.

19、答案：(1)的周长为

(2)的取值范围为

解析：(1)由余弦定理可得，

又，，，

所以，所以，，

所以的周长为；

(2)由正弦定理可得，所以，设的面积为S，

由内切圆的性质可得，又，

所以，所以，又，，

所以，

因为，，，所以，

令，则，，所以，所以，

所以，所以的取值范围为.

20、答案：(1)，

(2)不等式的解集为

解析：(1)因为为定义在R上的偶函数，所以，

因为为定义在R上的奇函数，所以，

因为，所以，

所以②，

所以，；

(2)即，

即，即，

令，则，解得，

即，则，所以，

故，故不等式的解集为.

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)解：因为①，

当时②，

①-②得，

所以，经检验当时也成立，

所以.

(2)解：由(1)可得，

所以

.

22、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)由，得，

所以，，

因为在处的切线过点，

所以，

所以，解得，

(2)证明：要证，即证，

即证，

即证，

因为，

所以即证，

令，，则，

当时，，当时，，

所以在上递减，在上递增，

所以，

所以恒成立，

令，，则，

所以在递增，

所以当时，取得最小值0，

所以原不等式成立.