人教版高中数学选择性必修第三册第七章7-3-2离散型随机变量的方差习题含答案

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7.3.2　离散型随机变量的方差A级 必备知识基础练1.(多选题)对于离散型随机变量X,有关它的均值E(X)和方差D(X),下列说法正确的是(　　)A.E(X)是反映随机变量的平均取值B.D(X)越小,说明X越集中于E(X)C.E(aX+b)=aE(X)+bD.D(aX+b)=a2D(X)+b2.设0<a<1,已知随机变量X的分布列是 X0a1P 若D(X)=,则a=(　　)A. B. C. D.3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为 X1(甲得分)012P0.20.50.3   X2(乙得分)012P0.30.30.4 现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好(　　)A.甲 B.乙C.甲、乙均可 D.无法确定4.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则(　　)A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布C.E(X)=1 D.D(X)=5.(2022陕西西安模拟)已知随机变量ξ的分布列如表,D(ξ)表示ξ的方差,则D(2ξ+1)=　　　　　.  ξ012Pa1-2a 6.设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)=　　　　　,D(X)=　　　　　. 7.已知随机变量X的分布列为 X01xPp 若E(X)=.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.     8.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术. B级 关键能力提升练9.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值的概率也均为0.2,若记D(X1),D(X2)分别为X1,X2的方差,则(　　)A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关10.已知X的分布列如表所示. X-101P 有下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.311.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则(　　)A.抽取2次后停止取球的概率为B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为12.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=　　　　　. 13.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=,则E(ξ)=　　　　　,当D(ξ)取最小值时,mn=　　　　　. 14.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示.甲: 分数X8090100概率P0.20.60.2 乙:分数Y8090100概率P0.40.20.4 试分析两名学生的成绩水平.           C级 学科素养创新练15.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则(　　)A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)  
7.3.2　离散型随机变量的方差1.ABC　离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差越小,说明随机变量的取值越集中于均值,即A,B正确;由均值和方差的性质可得,E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),即C正确,D错误.2.A　∵E(X)=0+a+1,∴D(X)=[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(a2-a+1)=,∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=3.A　∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).故甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.4.ABD　由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.P(X=0)=,P(X=1)=,∴E(X)=0+1,D(X)=5.2　由题意可得a+1-2a+=1,解得a=,则随机变量ξ的分布列为 ξ012P 所以E(ξ)=0+1+2=1,D(ξ)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=,D(2ξ+1)=22D(ξ)=2.6.2　8　随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.7.解由+p=1,得p=又E(X)=0+1x=,所以x=2.(1)D(X)=0-2(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.8.解(1)由题意得,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为 ξ10987P0.50.30.10.1  η10987P0.30.30.20.2 (2)由(1)得,E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,故甲比乙的射击技术好.9.A　由题意可知E(X1)=E(X2),又由题意可知,X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).10.C　E(X)=(-1)+0+1=-,故①正确.D(X)=,故②不正确.由分布列知③正确.11.BD　设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确;对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1+2+3,C选项错误;对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-2+2-2+3-2,D选项正确.12　由题意知X的可能取值有0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=故E(X)=0+1+2+3,D(X)=13　由分布列的性质得=1,即m+n=1,所以E(ξ)=m+n,D(ξ)=m-2+n-2=m-2+1-m-2=m-2≥0,当且仅当m=n=时等号成立,此时mn=14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(80-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.15.D　由题意得X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=1+2+3,D(X)=1-2+2-2+3-2;Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,∴E(Y)=0+1+2,D(Y)=0-2+1-2+2-2;∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).故选D.