人教版高中数学选择性必修第三册模块综合测评(一)含答案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册全册综合习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评(一)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A.-15x4 B.15x4
C.-20ix4 D.20ix4
2.已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)

X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1

则P(1≤X≤3)等于(　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有(　　)
A.10种 B.20种 C.25种 D.32种
4.已知具有线性相关关系的两个变量x,y之间的一组数据如表:

x
0
1
2
3
4
y
2.2
n
4.5
4.8
6.7

若经验回归方程是y^=0.95x+2.6,则下列说法不正确的是(　　)
A.n的值是4.3
B.变量x,y呈正相关关系
C.若x=6,则y的值一定是8.3
D.若x的值增加1,则y的值约增加0.95
5.若X的分布列为

X
0
1
2
P
15
a
15

则E(X)=(　　)
A.1 B.12 C.45 D.75

6.已知随机变量ξ服从正态分布N(10,0.2),且P(ξ≥3a-2)=P(ξ≤2a+7),则a=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.3
7.某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布,正态分布密度曲线如图所示,则成绩X位于区间[51,69]的人数大约是(　　)

A.997 B.954 C.800 D.683
8.某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机,从中选购5台,且至少有品牌机和兼容机各2台,则不同的选购方法有(　　)
A.1 050种 B.700种
C.350种 D.200种
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2022山东青岛期末)对于(a-b)11的展开式,下列说法正确的为(　　)
A.各项的系数之和为0
B.第三项的系数为-55
C.第6项系数最小
D.第6项与第7项的二项式系数相等且最大
10.在统计中,由一组成对样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用最小二乘法得到两个变量的经验回归方程为y^=b^x+a^,那么下面说法正确的是(　　)
A.直线y^=b^x+a^至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个点
B.直线y^=b^x+a^必经过点(x,y)
C.直线y^=b^x+a^表示最接近y与x之间真实关系的一条直线
D.样本相关系数为r,那么|r|越接近于1,成对样本数据的相关程度越大;|r|越接近于0,成对样本数据的相关程度越小
11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,给出下列结论,其中所有正确结论的序号是(　　)
A.从中任取3球,恰有一个白球的概率是35
B.从中有放回地取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为43
C.现从中不放回地取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为25
D.从中有放回地取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为2627
12.6位同学在毕业聚会活动中交换纪念品,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.抛掷两枚骰子,则在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现6点的概率是　　　　　. 
14.在1+x+1x2 02110的展开式中,x2项的系数为　　　　　(结果用数值表示). 
15.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率是1235.若已知从中任意取出2粒恰好是同一色,则这2粒都是黑子的概率是　　　　　. 
16.袋子中装有若干个均匀的红球和白球,从中摸出一个红球的概率是13,现从袋子中有放回地摸球,每次摸出一个,有2次摸到红球即停止,则恰好摸4次停止的概率P=　　　　;若记4次之内(含4次)摸到红球的次数为ξ,则随机变量ξ的均值E(ξ)=　　　　　　. 
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2022湖南模拟)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子,其中肉粽1个,蛋黄粽2个,豆沙粽3个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取2个.
(1)用ξ表示取到的豆沙粽的个数,求ξ的分布列;
(2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.






18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,
(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?






19.(12分)已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布,其密度函数图象如图.

(1)写出此地农民工年均收入的正态密度函数式;
(2)估计此地农民工年均收入在8 000~8 500之间的人数百分比.

























20.(12分)(2022山东模拟)短视频已成为很多人生活娱乐中不可或缺的一部分,很多人喜欢将自己身边的事情拍成短视频发布到网上,某人统计了发布短视频后1~8天的点击量的数据进行了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.


x
y
t
∑i=18(xi-x)2
4.5
5
25.5
42
∑i=18(ti-t)2
∑i=18(xi-x)(yi-y)
∑i=18(ti-t)(yi-y)
3 570
72.8
686.8

其中ti=xi2.
某位同学分别用两种模型:①y^=bx2+a,②y^=dx+c进行拟合.
(1)根据散点图,比较模型①,②的拟合效果,应该选择哪个模型?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y关于x的经验回归方程;(在计算回归系数时精确到0.01)
(3)预测该短视频发布后第10天的点击量是多少?
附:经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2,a^=y-b^ x.




21.(12分)某电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析“体育迷”是否与性别有关?

性别
非体育迷
体育迷
合计
男



女



合计




(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
α
0.05
0.01
xα
3.841
6.635






22.(12分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确各得0分,第三个题目,回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8,回答第三题正确的概率为0.6,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值;
(2)求这位挑战者总得分不为负数(即ξ≥0)的概率.









模块综合测评(一)
1.A　由题意可知,含x4的项为C62x4i2=-15x4.
2.C　由题得0.1+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1,解得a=0.2,
所以P(1≤X≤3)=0.1+0.2+0.3=0.6.
3.D　5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种,故选D.
4.C　x=1+2+3+45=2,
y=2.2+n+4.5+4.8+6.75=18.2+n5,
所以样本点的中心为2,18.2+n5,代入y^=0.95x+2.6,得18.2+n5=0.95×2+2.6,
解得n=4.3,故A正确;
因为y关于x的经验回归方程为y^=0.95x+2.6,所以变量x,y呈正相关关系,故B正确;若x=6,
则求得y^=8.3,但不能断定y的值一定是8.3,故C错误;
若x的值增加1,则y的值约增加0.95,故D正确.
5.A　由15+a+15=1,得a=35,所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1.
6.D　因为随机变量ξ服从正态分布N(10,0.2),所以正态分布曲线的对称轴为直线x=10,又P(ξ≥3a-2)=P(ξ≤2a+7),所以3a-2+2a+7=10×2,即a=3.
7.D　由题图知,X~N(μ,σ2),
其中,μ=60,σ=9,
∴P(51≤X≤69)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
∴人数大约为0.682 7×1 000≈683.
8.C　分两类.(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台;
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.
所以不同的选购方法有C63C52+C62C53=350(种).
9.ACD　A.令a=b=1,得各项系数和为(1-1)11=0,故A正确;
B.T3=C112a9b2=55a9b2,则第三项的系数为55,故B错误;
C.展开式中二项式系数最大为第6项和第7项,
其中T6=C115a6(-b)5=-C115a6b5,T7=C116a5(-b)6=C115a5b6,
其中第6项系数为负值,最小,第7项系数为正值,最大,故C正确;
D.由选项C知第6项与第7项的二项式系数相等且最大,故D正确.
故选ACD.
10.BCD　直线y^=b^x+a^由点拟合而成,可以不经过任何样本点,故A错误;直线y^=b^x+a^必过样本点的中心,即点(x,y),故B正确;直线y^=b^x+a^是采用最小二乘法求解出的直线方程,接近真实关系,故C正确;相关系数r的绝对值越接近于1,表示成对样本数据的相关程度越大,越接近于0,表示成对样本数据的相关程度越小,故D正确.
11.ABD　恰有一个白球的概率P=C21C42C63=35,故A正确;
对于有放回地取球,每次任取一球,取到红球的概率为23,则X~B6,23,方差为6×23×1-23=43,故B正确;设A={第一次取到红球},B={第二次取到红球},
则P(A)=23,P(A∩B)=4×36×5=25,
则P(B|A)=P(A⋂B)P(A)=35,故C错误;
每次取到红球的概率P=23,
所以至少有一次取到红球的概率为1-1-233=2627,故D正确.
12.BD　设6位同学分别用a,b,c,d,e,f表示.
若任意两位同学之间都进行交换,则共进行C62=15(次)交换,现共进行了13次交换,说明有两次交换没有发生,此时可能有两种情况:
(1)由3人构成的2次交换没有发生,如a与b和a与c之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有b,c两人.
(2)由4人构成的2次交换没有发生,如a与b和c与d之间的交换没有发生,则收到4份纪念品的有a,b,c,d四人.
13.13　设“至少有一枚出现6点”为事件A,“两枚骰子的点数不同”为事件B,则n(B)=6×5=30,n(AB)=10,
所以P(A|B)=n(AB)n(B)=1030=13.
14.45　因为1+x+1x2 02110=(1+x)+1x2 02110=(1+x)10+C101(1+x)9·1x2 021+…+C10101x2 02110,
所以x2项只能在(1+x)10的展开项中,即为C102x2,系数为C102=45.
15.517　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.所以P(C)=P(A)+P(B)=17+1235=1735,即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.
故所求概率为P(A|C)=171735=517.
16.427　9881　①恰好摸4次停止的概率P=C31×13×1-132×13=427.
②由题意可得,ξ的取值为0,1,2,
则P(ξ=0)=1-134=1681;
P(ξ=1)=C41×13×1-133=3281;
P(ξ=2)=C22×132+C21×13×1-13×13+C31×13×1-132×13=1127.
故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×1681+1×3281+2×1127=9881.
17.解 (1)由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2,
则P(ξ=0)=C32C62=15,P(ξ=1)=C31C31C62=35,P(ξ=2)=C32C62=15.
故ξ的分布列为

ξ
0
1
2
P
15
35
15

(2)由(1)可得,选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率P=P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+15=45.
18.解 (1)将取出4个球分成三类情况:
①取4个红球,没有白球,有C44种;
②取3个红球1个白球,有C43C61种;
③取2个红球2个白球,有C42C62种,
故红球的个数不比白球少的取法有C44+C43C61+C42C62=115(种).
(2)设取x个红球,y个白球,
则x+y=5,0≤x≤4,2x+y≥7,0≤y≤6,
故可得x=2,y=3或x=3,y=2或x=4,y=1.
因此,符合题意的取法共有C42C63+C43C62+C44C61=186(种).
19.解 设农民工年均收入ξ~N(μ,σ2),结合图象可知,μ=8 000,σ=500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2=15002πe-(x-8 000)22×5002,x∈(-∞,+∞).
(2)∵P(7 500≤ξ≤8 500)=P(8 000-500≤ξ≤8 000+500)≈0.682 7,
且正态曲线关于直线x=8 000对称,
∴P(8 000≤ξ≤8 500)=12P(7 500≤ξ≤8 500)=0.341 35.
即农民工年均收入在8 000~8 500之间的人数约占总体的34.135%.
20.解 (1)由散点图可知,模型①效果更好.
(2)因为ti=xi2,所以y^=b^t+a^,
∵b^=∑i=1n(ti-t)(yi-y)∑i=1n(ti-t)2=686.83 570≈0.19,
∴a^=y-b^ t=5-0.19×25.5≈0.16,
∴y^=0.19x2+0.16.
(3)由(2)可知,令x=10,则y^=0.19×100+0.16=19.16,
故预测该短视频发布后第10天的点击量为19.16.
21.解 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有100×(0.020+0.005)×10=25(人),从而完成2×2列联表如下:

性别
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100

零假设为H0:“体育迷”与性别无关,
将2×2列联表中的数据代入公式计算,得
χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
=100×(30×10-45×15)275×25×45×55=10033≈3.030.
因为3.030<3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为“体育迷”与性别无关.
(2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为5人,其中女生为2人.
记“从‘超级体育迷’中取2人,至少有1名女性”为事件A,
则P(A)=C22C30+C21C31C52=710,
即从“超级体育迷”中任意选取2人,至少有1名女性观众的概率为710.
22.解 (1)如果三个题目均答错,得0+0+(-10)=-10(分).
如果三个题目均答对,得10+10+20=40(分).
如果三个题目一对两错,包括两种情形:
①前两个中一对一错,第三个错,得10+0+(-10)=0(分);
②前两个错,第三个对,得0+0+20=20(分).
如果三个题目两对一错,也包括两种情形:
①前两个对,第三个错,得10+10+(-10)=10(分);
②第三个对,前两个一对一错,
得20+10+0=30(分).
故ξ的可能取值为-10,0,10,20,30,40.
P(ξ=-10)=0.2×0.2×0.4=0.016;
P(ξ=0)=C21×0.2×0.8×0.4=0.128;
P(ξ=10)=0.8×0.8×0.4=0.256;
P(ξ=20)=0.2×0.2×0.6=0.024;
P(ξ=30)=C21×0.8×0.2×0.6=0.192;
P(ξ=40)=0.8×0.8×0.6=0.384.
所以,ξ的分布列为

ξ
-10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384

ξ的均值为
E(ξ)=-10×0.016+0×0.128+10×0.256+20×0.024+30×0.192+40×0.384=24.
(2)这位挑战者总得分不为负数的概率为
P(ξ≥0)=1-P(ξ<0)=1-0.016=0.984.