2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.3《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.3

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》

一              、选择题

1.sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°=(　　)

A．1　　         B.            C.             D．-

2.下列各式中，值为的是(　　)

A．sin 15°cos 15°      B．cos2-sin2     C.      D.

3.若2cosθ-=3cos θ，则tan θ=(　　)

A.                B.           C．-            D.

4.在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=(　　)

A.－       B.－       C.±        D.±

5.已知锐角α，β满足sinα－cosα=，tanα＋tanβ＋tanα·tanβ=，则α，β的大小关系是(　 　)

A.α＜＜β    B.β＜＜α    C.＜α＜β    D.＜β＜α

6.若cosθ=，θ为第四象限角，则cos的值为(　　)

A.       B.    C.       D.

7.若α，β∈(，π)，且sin α＝，sin＝－，则sin β等于(　　)

A.          B.           C.          D.

8.若cos(α＋β)＝，sin(β－)＝，α，β∈(0,)，则cos(α＋)等于(　　)

A.－          B.         C.          D.－

9.设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有(　　)

A.c<a<b        B.b<c<a        C.a<b<c        D.b<a<c

10.设α∈(0,)，β∈(0，π)，若＝，则(　　)

A.α＋β＝     B.α＋β＝π     C.α﹣β＝      D.β﹣α＝

二              、多选题

11. (多选)已知α，β是锐角，cos α＝，cos(α－β)＝，则cos β等于(　　)

A.        B.        C.          D.－

12.下列命题是真命题的是（    ）

A.若幂函数f(x)=xa过点(,4)，则a=-

B.∃x∈(0,1)，()x>log0.5x

C.∀x∈(0,+∞)，log0.5x>log0.25x

D.命题“∃x∈R，sinx+cosx<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”

三              、填空题

13.在△ABC中，若tanAtanB=tanA＋tanB＋1，则cosC=         .

14. (1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)=    .

15.已知0＜β＜α＜，点P(1,4)为角α终边上的一点，且sin αsin(﹣β)＋cos αcos(＋β)＝，则角β＝________.

16.已知数列{an}满足an＝，{an}的前n项的和记为Sn，则＝______.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：B；

2.答案为：B；

3.答案为：D；

4.答案为：A；

解析：∵B为三角形的内角，cosB=＞0，∴B为锐角，∴sinB==，

又sinA=，∴sinB＞sinA，∴A为锐角，∴cosA==，

∴cosC=cos[π－(A＋B)]=－cos(A＋B)=－cosAcosB＋sinAsinB=－×＋×=－.

5.答案为：B；

解析：∵α为锐角，sinα－cosα=＞0，∴＜α＜.

又tanα＋tanβ＋tanαtanβ=，

∴tan(α＋β)==，∴α＋β=，又α＞，∴β＜＜α.

6.答案为：B；

解析：由cosθ=，θ为第四象限角，得sinθ=－，

故cos=(cosθ－sinθ)=×=.故选B.

7.答案为：B

解析：β＝α－(α－β)，∵＜α＜π，＜β＜π，∴－π＜－β＜－，

∴－＜α－β＜，∵sin(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0，

则cos(α－β)＝＝，

∵sin α＝，∴cos α＝－＝－，

则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝.

8.答案为：C

解析：∵(α＋β)－(β－)＝α＋，∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)-(β－)]

＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)·sin(β－)，

∵α，β∈(0,)，∴0<α＋β<π，－<β－<，

∴sin(α＋β)＝，cos(β－)＝，∴cos(α＋)＝×＋×＝.

9.答案为：A

解析：化简得a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，

b＝2cos213°－1＝cos 26°＝cos(90°－64°)＝sin 64°，c＝＝sin 60°，

∵正弦函数在[0,]上单调递增， ∴sin 60°<sin 62°<sin 64°，即c<a<b.

10.答案为：D

解析：由＝，得(1＋sin α)(1＋cos β)＝(1﹣cos β)(1﹣sin α)，化简得sin α＋cos β＝0，∴sin α＝﹣cos β＝﹣sin(﹣β)＝sin(β﹣)，∵0＜β＜π，∴﹣＜β﹣＜，又0＜α＜，∴α＝β﹣，∴β﹣α＝.

二              、多选题

11.答案为：AC

解析：由α是锐角，cos α＝，得sin α＝＝，

又α，β是锐角，则－β∈，得α－β∈，

又cos＝，则sin(α－β)＝±，

则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×±×＝，得cos β＝或cos β＝.

12.答案为：BD.

解析：对于A：若幂函数f(x)=xa过点(,4)，得a=-2，故A错误；

对于B：在同一平面直角坐标系上画出y=()x与y=log0.5x两函数图象，如图所示

由图可知∃x∈(0,1)，()x>log0.5x，故B正确；

对于C：在同一平面直角坐标系上画出log0.25x与log0.5x两函数图象，如图所示

由图可知，当x∈(0,1)时，错误！未找到引用源。log0.5x>log0.25x，当x=1时，log0.5x=log0.25x，

当x∈(1,+∞)时，log0.5x<log0.25x，故C错误；

对于D：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“∃x∈R，sinx+cosx<1”的否定是

“∀x∈R，sinx+cosx≥1”，故D正确；故选：BD.

三              、填空题

13.答案为：；

解析：由tanAtanB=tanA＋tanB＋1，可得=－1，

即tan(A＋B)=－1，又A＋B∈(0，π)

所以A＋B=，则C=，cosC=.

14.答案为：4；

解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)=1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°

=1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°·tan25°=2，

同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)=2，所以原式=4.

15.答案为：.

解析：∵P(1,4)，∴|OP|＝7，∴sin α＝，cos α＝.

又sin αcos β﹣cos αsin β＝，∴sin(α﹣β)＝.

∵0＜β＜α＜，∴0＜α﹣β＜，∴cos(α﹣β)＝，

∴sin β＝sin[α﹣(α﹣β)]＝sin αcos(α﹣β)﹣cos αsin(α﹣β)

＝×﹣×＝.∵0＜β＜，∴β＝.

16.答案为：3.

解析：∵an＝＝

＝tan n°－tan°＝－tan°＋tan n°，

∴Sn＝＋＋＋…

＋[－tan(n－1)°＋tan n°]＝tan n°，∴＝＝3.