2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.7《正弦定理和余弦定理》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习5.7

《正弦定理和余弦定理》

一              、选择题

1.若△ABC的三个内角满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则△ABC是(　　)

A.锐角三角形        B.直角三角形

C.钝角三角形         D.以上都有可能

2.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，且满足，则△ABC形状是(    )             

A.等腰三角形               B.直角三角形        C.等边三角形                 D.等腰直角三角形             

3.有分别满足下列条件的两个三角形：①∠B=30°,a=14,b=7②∠B=60°,a=10,b=9,那么下列判断正确的是(　　)

A.①②都只有一解                 B.①②都有两解                 C.①两解,②一解                  D.①一解,②两解

4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，C.若c2=(a－b)2＋6，C=，则△ABC的面积是(　 　)

A.3           B.        C.          D.3

5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝(a﹣b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为(　　)

A.3           B.            C.         D.3

6.若在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，a＝2，b＝4，则B等于(　　)

A.45°或135°        B.135°    C.45°        D.以上都不对

7.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则a的值为(　　)

A.12        B.8        C.2        D.2

8.在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上的一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为(　　)

A.2          B.          C.            D.

9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2 023c2，则＋等于(　　)

A.        B.       C.        D.

10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积S＝a2﹣(b﹣c)2，则sin A等于(　　)

A.         B.         C.           D.

二              、多选题

11. (多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有(　　)

A.若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos B

B.若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形

C.若a2＋b2﹣c2＞0，则△ABC一定为锐角三角形

D.若B＝，a＝2且该三角形有两解，则b的取值范围是(，2)

12. (多选)a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知bsin A＝(3b﹣c)sin B，且cos A＝，则(　　)

A.a＋c＝3b                 B.tan A＝2

C.△ABC的周长为4c         D.△ABC的面积为c2

三              、填空题

13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若＝，c2﹣b2＝2ab，则cos A＝____.

14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2=bc，且sinC=2sinB，则角A的大小为        .

15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=    .

16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcos C＋3ccos B＝5asin A，且A为锐角，则当取得最小值时，的值为________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：C

解析：由正弦定理得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，

所以cos C＝＝＝﹣＜0，

又0＜C＜π，所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形.

2.C.

3.D.

4.答案为：C；

解析：c2=(a－b)2＋6，即c2=a2＋b2－2ab＋6.①

∵C=，∴由余弦定理得c2=a2＋b2－ab，②

由①和②得ab=6，∴S△ABC=absinC=×6×=，故选C.

5.答案为：C

解析：因为c2＝(a﹣b)2＋6，所以c2＝a2＋b2﹣2ab＋6，

由C＝，得c2＝a2＋b2﹣2abcos ＝a2＋b2﹣ab，

因此a2＋b2﹣ab＝a2＋b2﹣2ab＋6，即ab＝6，

所以△ABC的面积为absin ＝，故选C.

6.答案为：C

解析：在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin B＝.因为b＜a，所以B＜A，所以B＝45°.

7.答案为：D

解析：由题意可得，×b×c×sin A＝，即×2×c×＝，∴c＝2，又a2＝b2＋c2﹣2bccos A＝4＋4﹣8×(-)＝12，∴a＝2.

8.答案为：D

解析：由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝﹣，又∠DCB＜∠ACB＝180°﹣A﹣B＝120°﹣B＜120°，所以cos∠DCB＞﹣，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos B＝＝，所以sin B＝.在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝.

9.答案为：B

解析：＋＝＝＝

＝＝＝＝.

10.答案为：B

解析：因为S＝bcsin A，所以由余弦定理得，bcsin A＝a2﹣(b﹣c)2＝(b2＋c2﹣2bccos A)﹣(b﹣c)2，整理得bcsin A＝2bc﹣2bccos A，所以sin A＋4cos A＝4，①又sin2A＋cos2A＝1，②联立①②，解得sin A＝.

二              、多选题

11.答案为：AD

解析：对于A选项，C＝π﹣A﹣B＜，则A＞﹣B，sin A＞sin(﹣B)＝cos B，故A选项正确；

对于B选项，由于sin 2A＝sin 2B＝sin(π﹣2B)，由于A，B是三角形的内角，所以2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项不正确；

对于C选项，由余弦定理得cos C＝＞0，可得C为锐角，但A或B可能为钝角，故C选项不正确；

对于D选项，B＝，a＝2，且该三角形有两解，所以asin B＜b＜a，即2sin ＜b＜2，也即＜b＜2，故D选项正确.

12.答案为：ABD

解析：∵bsin A＝(3b﹣c)sin B，∴ab＝(3b﹣c)b，∴a＝3b﹣c，

根据余弦定理得(3b﹣c)2＝b2＋c2﹣2bccos A，

整理得b＝c，又cos A＝，∴sin A＝，tan A＝2，

周长为a＋b＋c＝4b≠4c，故△ABC的面积为bcsin A＝c2.

三              、填空题

13.答案为：.

解析：因为＝，所以由正弦定理得＝，即c＝2b.又c2﹣b2＝2ab，则a＝b.由余弦定理得，cos A＝＝.

14.答案为：.

解析：由sinC=2sinB得，c=2b，∴a2－b2=bc=b·2b=6b2，∴a2=7b2.

则cosA===，又∵0<A<π，∴A=.

15.答案为：3；

解析：由=得sinB=sinA=，由a2=b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3=0，

解得c=3(舍负).

16.答案为：.

解析：根据正弦定理，将3bcos C＋3ccos B＝5asin A变形可得3sin Bcos C＋3sin Ccos B＝5sin2A，即3sin(B＋C)＝5sin2A，由sin(B＋C)＝sin A＞0可得sin A＝，而A是锐角，所以cos A＝，则由余弦定理可得a2＝b2＋c2﹣2bccos A＝b2＋c2﹣bc，则＝＝﹣≥﹣＝，当且仅当b＝c时取等号，取得最小值，故a2＝b2，故a＝b，

所以＝.