2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习7.3《等比数列及其前n项和》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习7.3

《等比数列及其前n项和》

一              、选择题

1.已知{an}为等比数列， a1>0，a4＋a7＝2，a5a6＝﹣8，则a1＋a4＋a7＋a10等于(　　)

A.﹣7         B.﹣5          C.5               D.7

2.在等比数列{an}中，a1＋a3＝9，a5＋a7＝36，则a1等于(　　)

A.0        B.1        C.2            D.3

3.已知数列{an}是等比数列，则“a2，a6是方程x2﹣6x＋3＝0的两根”是“a4＝﹣”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.若数列{an}满足an＋1＝3an＋2，则称{an}为“梦想数列”，已知正项数列{-1}为“梦想数列”，且b1＝2，则b4等于(　　)

A.            B.           C.           D.

5.在等比数列{an}中，a2a6＋a5a11＝16，则a3a9的最大值是(　　)

A.4         B.8         C.16         D.32

6.设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8等于(　　)

A.12          B.24          C.30        D.32

7.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝(　　)

A.35            B.33           C.31            D.29

8.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)

A.﹣24          B.﹣3      C.3          D.8

9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝﹣8，a7＝，则S6等于(　　)

A.﹣          B.        C.          D.

10.已知{an}是等比数列，Sn是其前n项积，若＝32，则S9等于(　　)

A.1 024        B.512        C.256       D.128

11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＝3an﹣1＋4an﹣2(n≥3)，则S10等于(　　)

A.          B.       C.410﹣1          D.411﹣1

二              、多选题

12. (多选)若数列{an}对任意的n≥2(n∈N)满足(an﹣an﹣1﹣2)(an﹣2an﹣1)＝0，则下面选项中关于数列{an}的命题正确的是(　　)

A.{an}可以是等差数列

B.{an}可以是等比数列

C.{an}可以既是等差又是等比数列

D.{an}可以既不是等差又不是等比数列

三              、填空题

13.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋n，则数列{an}的通项公式为____________.

14.已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，若bn＝﹣1，则数列{bn}的通项公式为bn＝_____.

15.已知各项都为正数的数列{an}，Sn是其前n项和，满足a1＝，a﹣(2an＋1﹣1)an﹣2an＋1＝0，则＝________.

16.已知数列的前n项和为Sn，Sn＝，则的最小值为______.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：B

解析：由等比数列的性质可得a5a6＝a4a7＝﹣8，又a4＋a7＝2，解得a4＝﹣2，a7＝4或a7＝﹣2，a4＝4，因为a7＝a1q6>0，所以a4＝﹣2，a7＝4，a7＝a4q3＝﹣2q3＝4，

所以q3＝﹣2，所以a1＝＝1，a10＝a7q3＝﹣8，所以a1＋a4＋a7＋a10＝﹣5，故选B.

2.答案为：D

解析：在等比数列{an}中，a1＋a3＝9，a5＋a7＝36，∴q4＝＝＝4，解得q2＝2，∴a1＋a3＝3a1＝9，解得a1＝3.

3.答案为：D

解析：因为a2，a6是方程x2﹣6x＋3＝0的两根，所以a2＋a6＝6，a2·a6＝3，得a＝3，又a4＝a2q2>0，所以a4＝，所以“a2，a6是方程x2﹣6x＋3＝0的两根”是“a4＝﹣”的既不充分也不必要条件.

4.答案为：B

解析：若{-1}为“梦想数列”，则有﹣1＝3{-1}＋2，即﹣1＝﹣1，即＝，且b1＝2，所以数列{bn}为以2为首项，以为公比的等比数列，则b4＝2×()3＝.

5.答案为：B

解析：由等比数列性质知，a3a9＝a4a8，∵a2a6＋a5a11＝a＋a＝16≥2a4a8(当且仅当a4＝a8时取等号)，∴a4a8≤8，∴a3a9≤8，即a3a9的最大值为8.

6.答案为：D

解析：设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝2，所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32.

7.答案为：C；

解析：设数列{an}的公比为q，∵a2·a3＝a·q3＝a1·a4＝2a1，∴a4＝2.

又∵a4＋2a7＝a4＋2a4q3＝2＋4q3＝2×，∴q＝.∴a1＝＝16.S5＝＝31.

8.答案为：A

解析：设等差数列的公差为d，d≠0，a＝a2·a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，

d2＝﹣2d(d≠0)，所以d＝﹣2，所以S6＝6×1＋×(﹣2)＝﹣24.

9.答案为：C

解析：设等比数列{an}公比为q，则a7＝a2q5，又a2＝﹣8，a7＝，∴q＝﹣，故a1＝16，

又Sn＝，即S6＝.

10.答案为：B

解析：＝a3a4a5a6a7＝(a5)5＝32，则a5＝2，则S9＝a1a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a5)9＝512.

11.答案为：A.

解析：因为an＝3an﹣1＋4an﹣2(n≥3)，所以an＋an﹣1＝4(an﹣1＋an﹣2)，又a1＋a2＝3≠0，所以＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为3，则数列{a2n﹣1＋a2n}也是等比数列，公比为42＝16，首项为3.所以S10＝.

二              、多选题

12.答案为：ABD.

解析：因为(an﹣an﹣1﹣2)(an﹣2an﹣1)＝0，所以an﹣an﹣1﹣2＝0或an﹣2an﹣1＝0，

即an﹣an﹣1＝2或an＝2an﹣1.

①当an≠0，an﹣1≠0时，{an}可以是等差数列或等比数列；

②当an＝0或an﹣1＝0时，{an}可以既不是等差又不是等比数列.

三              、填空题

13.答案为：an＝2n＋1﹣n﹣1(n∈N*)

解析：结合题意得an＋1＋k＋b＝2(an＋kn＋b)，整理得an＋1＝2an＋kn＋b﹣k，满足an＋1＝2an＋n，即所以有新数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n﹣1，即an＝2n＋1﹣n﹣1.

14.答案为：2n﹣1

解析：因为an＋1＝，所以＝﹣1，所以﹣1＝﹣2＝2(﹣1)，而﹣1＝1，且bn＝﹣1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝1×2n﹣1＝2n﹣1.

15.答案为：2n﹣1.

解析：因为a﹣(2an＋1﹣1)an﹣2an＋1＝0，所以an(an＋1)﹣2an＋1(an＋1)＝0，即(an＋1)(an﹣2an＋1)＝0，而an>0，则an＋1>0，故an﹣2an＋1＝0，即＝(n∈N*)，故数列{an}是等比数列，首项为a1＝，公比为，则an＝()n，Sn＝1﹣()n，故＝2n﹣1.

16.答案为：4

解析：∵Sn＝，∴Sn﹣1＝，∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝，∴an＝4an﹣1.

又a1＝S1＝，∴a1＝4，∴是首项为4，公比为4的等比数列，∴an＝4n，

∴＝＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当n＝2时取“＝”.