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2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.5《空间向量及其运算》(含详解)
展开这是一份2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.5《空间向量及其运算》(含详解),共7页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题等内容,欢迎下载使用。
2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.5
《空间向量及其运算》
一 、选择题
1.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,设=a,=b,=c,则等于( )
A.a+b-c B.-a+b+c
C.a-b+c D.a+b-c
2.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1、l2方向向量,若l1∥l2,则( )
A.x=6,y=15 B.x=3,y=7.5 C.x=3,y=15 D.x=6,y=7.5
3.若向量a=(2x,1,3),b=(1,3,9),如果a与b为共线向量,则( )
A.x=1 B.x= C.x= D.x=﹣
4.已知a=(2,1,﹣3),b=(﹣1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=( )
A.9 B.﹣9 C.﹣3 D.3
5.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量,,表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是( )
A.x=,y=,z= B.x=,y=,z=
C.x=,y=,z= D.x=,y=,z=
6.空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC中点,则为( )
A.a﹣b+c B.﹣a+b+c C.a+b﹣c D.a+b﹣c
7.已知动点Q在△ABC所在平面内运动,若对于空间中任意一点P,都有=-2+5+m,则实数m的值为( )
A.0 B.2 C.-1 D.-2
8.在下列命题中:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且=,N为B1B的中点,则||为( )
A.a B.a C.a D.a
10.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论正确的是( )
A.DB1⊥D1P
B.平面AD1P⊥平面A1DB1
C.∠APD1的最大值为90°
D.AP+PD1的最小值为
二 、多选题
11. (多选)关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.向量a,b,若a·b=0,则a⊥b
B.若对空间中任意一点O,有=++,则P,A,B,C四点共面
C.设{a,b,c}是空间中的一组基底,则{a+b,b+c,a+c}也是空间中的一组基底
D.若空间中四个点P,A,B,C,=+,则A,B,C三点共线
12. (多选)给出以下命题,其中不正确的是( )
A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,﹣),则l与m垂直
B.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
C.平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1
三 、填空题
13.已知向量a=(2,﹣1,3),b=(﹣1,4,﹣2),c=(7,0,λ),若a,b,c三个向量共面,则实数λ=______.
14.已知空间四边形OABC,点M、N分别是OA、BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量= .
15.已知2a+b=(0,﹣5,10),c=(1,﹣2,﹣2),a·c=4,|b|=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为 .
16.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°,则AC1的长为________;异面直线BD1与AC夹角的余弦值为________.
0.答案详解
一 、选择题
1.答案为:B
解析:因为点M在线段OA上,且OM=2MA,所以=a,又点N为BC的中点,所以=b+c,故=-=b+c-a=-a+b+c.
2.答案为:D.
3.答案为:C
解析:∵a与b共线,∴==.∴x=.
4.答案为:B;
解析:由题意设c=xa+yb,则(7,6,λ)=x(2,1,﹣3)+y(﹣1,2,3),
∴解得λ=﹣9.
5.答案为:D;
解析:设=a,=b,=c,∵G分MN的所成比为2,∴=,
∴=+=+(﹣)=a+(b+c﹣a)=a+b+c﹣a=a+b+c,
即x=,y=,z=.
6.答案为:B;
解析:=++
=+﹣+(﹣)=﹣++=﹣a+b+c.
7.答案为:B
解析:因为=-2+5-m,动点Q在△ABC所在平面内运动,所以-2+5-m=1,解得m=2.
8.答案为:A
解析:a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内,故②不正确;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0.
9.答案为:A;
解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz,
则A(a,0,0),C1(0,a,a), N(a,a,a).
设M(x,y,z),因为点M在AC1上,且=,
则(x﹣a,y,z)=(﹣x,a﹣y,a﹣z),得x=a,y=,z=,即M(a,,),
所以||==a.
10.答案为:B;
解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则有D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
A1(1,0,1),B1(1,1,1),∵=(0,1,﹣1),又P为线段A1B上的动点,
∴设P(1,λ,1﹣λ)(0<λ<1),∴=(﹣1,0,1),=(1,λ,﹣λ),
设n=(x,y,z)是平面AD1P的法向量,
则有即可取n=,
又平面A1DB1的法向量可为=(﹣1,0,1),∵·n=0,∴平面AD1P⊥平面A1DB1.故选B.
二 、多选题
11.答案为:BCD.
解析:对于选项A,由a·b=0,也可能是a=0或b=0,故错误;
对于选项B,因为对空间中任意一点O,=++,则(-)+(-)+(-)=0,整理得=-2-3.由空间向量基本定理可知点P,A,B,C四点共面,故正确;
对于选项C,由{a,b,c}是空间中的一组基底,则向量a,b,c不共面,可得向量a+b,b+c,a+c也不共面,所以{a+b,b+c,a+c}也是空间中的一组基底,故正确;
对于选项D,若空间中四个点P,A,B,C,=+,可得-=(-),即=,则A,B,C三点共线,故正确.
12.答案为:BCD.
解析:对于A,∵a·b=2-1-1=0,∴a⊥b,∴l与m垂直,A正确;
对于B,∵a与n不共线,∴直线l不垂直于平面α,B错误;
对于C,∵n1与n2不共线,∴平面α与平面β不平行,C错误;
对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),
由n·=-1-u+t=0,n·=-1+3u=0,解得u=,t=,∴u+t=,D错误.
三 、填空题
13.答案为:10;
解析:由a,b,c共面可得c=xa+yb,
∴解得λ=10.
14.答案为:(b+c﹣a).
解析:如图,=(+)
=[(﹣)+(﹣)]=(+﹣2)=(+﹣)=(b+c﹣a).
15.答案为:60°;
解析:由题意,得(2a+b)·c=0+10﹣20=﹣10,即2a·c+b·c=﹣10.
又∵a·c=4,∴b·c=﹣18,∴cos〈b,c〉===﹣,
又∵〈b,c〉∈[0°,180°],∴〈b,c〉=120°,∴两直线的夹角为60°.
16.答案为:,.
解析:设=a,=b,=c,由已知得,a·b=,b·c=,a·c=,|a|=|b|=|c|=1,又=a+b+c,∴||===.∵=b+c-a,=a+b.∴cos〈,〉==.
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