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    2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.5《空间向量及其运算》(含详解)

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    2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.5《空间向量及其运算》(含详解)

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    这是一份2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.5《空间向量及其运算》(含详解),共7页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题等内容,欢迎下载使用。


    2024(新高考)高考数学一轮复习突破练习8.5

    《空间向量及其运算》

                  、选择题

    1.已知空间四边形OABC中,点M在线段OA上,且OM=2MA,点N为BC的中点,设abc,则等于(  )

    A.abc         B.-abc

    C.abc         D.abc

    2.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1、l2方向向量,若l1l2,则(  )

    A.x=6,y=15     B.x=3,y=7.5     C.x=3,y=15      D.x=6,y=7.5

    3.若向量a=(2x,1,3),b=(1,3,9),如果ab为共线向量,则(  )

    A.x=1        B.x=         C.x=       D.x=

    4.已知a=(2,1,3),b=(1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ=(  )

    A.9             B.9         C.3             D.3

    5.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是(   )

    A.x=,y=,z=          B.x=,y=,z=

    C.x=,y=,z=          D.x=,y=,z=

    6.空间四边形OABC中,abc,点M在OA上,且=2,N为BC中点,则为(  )

    A.abc      B.abc     C.abc      D.abc

    7.已知动点Q在ABC所在平面内运动,若对于空间中任意一点P,都有=-2+5+m,则实数m的值为(  )

    A.0         B.2          C.-1        D.-2

    8.在下列命题中:

    若向量ab共线,则向量ab所在的直线平行;

    若向量ab所在的直线为异面直线,则向量ab一定不共面;

    若三个向量abc两两共面,则向量abc共面;

    已知空间的三个向量abc,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.

    其中正确命题的个数是(  )

    A.0          B.1           C.2             D.3

    9.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上,且,N为B1B的中点,则||为(   )

    A.a        B.a         C.a         D.a

    10.如图,在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点,则下列结论正确的是(  )

    A.DB1D1P

    B.平面AD1P平面A1DB1

    C.APD1的最大值为90°

    D.AP+PD1的最小值为

                  、多选题

    11. (多选)关于空间向量,以下说法正确的是(  )

    A.向量ab,若a·b=0,则ab

    B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面

    C.设{abc}是空间中的一组基底,则{abbcac}也是空间中的一组基底

    D.若空间中四个点P,A,B,C,,则A,B,C三点共线

    12. (多选)给出以下命题,其中不正确的是(  )

    A.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,),则l与m垂直

    B.直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α

    C.平面αβ的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β

    D.平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1

                  、填空题

    13.已知向量a=(2,1,3),b=(1,4,2),c=(7,0,λ),若abc三个向量共面,则实数λ=______.

    14.已知空间四边形OABC,点M、N分别是OA、BC的中点,且abc,用abc表示向量           .

    15.已知2ab=(0,5,10),c=(1,2,2),a·c=4,|b|=12,则以bc为方向向量的两直线的夹角为     .

    16.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°,则AC1的长为________;异面直线BD1与AC夹角的余弦值为________.


    0.答案详解

                  、选择题

    1.答案为:B

    解析:因为点M在线段OA上,且OM=2MA,所以a,又点N为BC的中点,所以bc,故bca=-abc.

    2.答案为:D.

    3.答案为:C

    解析:a与b共线,.x=.

    4.答案为:B;

    解析:由题意设c=xa+yb,则(7,6,λ)=x(2,1,3)+y(1,2,3),

    解得λ9.

    5.答案为:D;

    解析:设=a,=b,=c,G分MN的所成比为2,

    ()=a+(b+ca)=a+b+ca=a+b+c,

    即x=,y=,z=.

    6.答案为:B;

    解析:

    ()=a+b+c.

    7.答案为:B

    解析:因为=-2+5-m,动点Q在ABC所在平面内运动,所以-2+5-m=1,解得m=2.

    8.答案为:A

    解析:ab共线,ab所在的直线也可能重合,故不正确;两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内,故不正确;三个向量abc中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当abc不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0.

    9.答案为:A;

    解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

    则A(a,0,0),C1(0,a,a), N(a,a,a).

    设M(x,y,z),因为点M在AC1上,且

    则(xa,y,z)=(x,ay,az),得x=a,y=,z=,即M(a,,),

    所以||=a.

    10.答案为:B;

    解析:建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz,

    则有D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),

    A1(1,0,1),B1(1,1,1),=(0,1,1),又P为线段A1B上的动点,

    设P(1,λ,1﹣λ)(0<λ<1),=(1,0,1),=(1,λ﹣λ),

    设n=(x,y,z)是平面AD1P的法向量,

    则有可取n=

    又平面A1DB1的法向量可为=(1,0,1),·n=0,平面AD1P平面A1DB1.故选B.

                  、多选题

    11.答案为:BCD.

    解析:对于选项A,由a·b=0,也可能是a0b0,故错误;

    对于选项B,因为对空间中任意一点O,,则()+()+()=0,整理得=-2-3.由空间向量基本定理可知点P,A,B,C四点共面,故正确;

    对于选项C,由{abc}是空间中的一组基底,则向量abc不共面,可得向量abbcac也不共面,所以{abbcac}也是空间中的一组基底,故正确;

    对于选项D,若空间中四个点P,A,B,C,,可得(),即,则A,B,C三点共线,故正确.

    12.答案为:BCD.

    解析:对于A,a·b=2-1-1=0,abl与m垂直,A正确;

    对于B,an不共线,直线l不垂直于平面α,B错误;

    对于C,n1n2不共线,平面α与平面β不平行,C错误;

    对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),

    n·=-1-u+t=0,n·=-1+3u=0,解得u=,t=u+t=,D错误.

                  、填空题

    13.答案为:10;

    解析:由a,b,c共面可得c=xa+yb,

    解得λ=10.

    14.答案为:(bca).

    解析:如图,()

    [()+()]=(2)=()=(b+ca).

    15.答案为:60°

    解析:由题意,得(2a+b)·c=0+1020=10,即2a·c+b·c=10.

    a·c=4,b·c=18,cos〈b,c〉=

    〈b,c〉[0°,180°],〈b,c〉=120°两直线的夹角为60°.

    16.答案为:.

    解析:设abc,由已知得,a·bb·ca·c,|a|=|b|=|c|=1,又abc||=.bcaab.cos〈〉=.

     

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