2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.5《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.5

《直线与圆、圆与圆的位置关系》

一              、选择题

1.直线kx﹣2y＋1＝0与圆x2＋(y﹣1)2＝1的位置关系是(　　)

A.相交         B.相切      C.相离         D.不确定

2.过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x﹣2)2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)

A.        B.1         C.            D.2

3.过点(0,1)的直线l被圆(x﹣1)2＋y2＝4所截得的弦长最短时，直线l的斜率为(　　)

A.1         B.﹣1        C.           D.﹣

4.与圆x2＋y2﹣4x＋2y＋4＝0关于直线x﹣y＋3＝0成轴对称的圆的方程是(　　)

A.x2＋y2﹣8x＋10y＋40＝0

B.x2＋y2﹣8x＋10y＋20＝0

C.x2＋y2＋8x﹣10y＋40＝0

D.x2＋y2＋8x﹣10y＋20＝0

5.已知直线l：y＝x＋m与曲线x＝有两个公共点，则实数m的取值范围是(　　)

A.[﹣2,2)        B.(﹣2，﹣2]

C.[2,2)          D.(﹣2，2]

6.若直线y＝kx﹣2k与圆(x﹣3)2＋y2＝1恒有两个交点，则实数k的取值范围为(　　)

A.R       B.(﹣∞，0)∪(0，＋∞)   C.(﹣，)     D.(﹣，)

7.对任意的实数k，直线y＝kx﹣1与圆x2＋y2﹣2x﹣2＝0的位置关系是(　　)

A.相离          B.相切         C.相交           D.以上三个选项均有可能

8.已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣4)2＝1和两点A(﹣m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A.7                     B.6                             C.5                                D.4

9.已知圆M：x2＋y2﹣2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1的位置关系是(　　)

A.内切         B.相交       C.外切         D.相离

10.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋2＝1的位置关系是(　　)

A.内切          B.相交         C.外切             D.外离

二              、多选题

11. (多选)已知直线2x﹣y＋3＝0与圆C：x2＋y2＋ay﹣1＝0相切，则实数a的值为(　　)

A.﹣1         B.4          C.3             D.5

12. (多选)下列命题是真命题的是(　　)

A.直线x＋4y﹣3＋3m＝0(m∈R)恒过定点

B.圆x2＋y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y＋＝0的距离等于1

C.若圆C1：x2＋y2＋2x＝0与圆C2：x2＋y2﹣4x﹣8y＋m＝0(m＜20)恰有三条公切线，则m＝4

D.若已知圆C：x2＋y2＝4，点P为直线＋＝1上一动点(点P在圆C外)，过点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过定点

三              、填空题

13.已知圆M与直线x﹣y＝0及x﹣y＋4＝0都相切，且圆心在直线y＝﹣x＋2上，则圆M的标准方程为________________.

14.若直线x﹣y＋2＝0与圆C：(x﹣3)2＋(y﹣3)2＝4相交于A、B两点，则·值为_____.

15.过点P(1，﹣2)作圆C：(x﹣1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为________.

16.已知AB为圆C：x2＋y2﹣2y＝0的直径，点P为直线y＝x﹣1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为       .

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：A

解析：直线kx﹣2y＋1＝0过定点(0,)，显然点(0,)在圆内，所以直线与圆相交.

2.答案为：C

解析：根据题意，设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l，

其方程为y＝tan 30°(x﹣1)，即y＝(x﹣1)，变形可得x﹣y﹣1＝0.

圆(x﹣2)2＋y2＝1的圆心为，半径r＝1.设直线l与圆交于点A，B，

圆心到直线的距离d＝＝，则|AB|＝2×＝.

3.答案为：A

解析：点(0,1)在圆(x﹣1)2＋y2＝4内，要使得过点(0,1)的直线l被圆(x﹣1)2＋y2＝4所截得的弦长最短，则该弦以(0,1)为中点，与圆心和(0,1)的连线垂直，而圆心和(0,1)连线的斜率为＝﹣1，所以所求直线的斜率为1.

4.答案为：C.

解析：由题意知，已知圆的圆心坐标为Q(2，﹣1)，半径r1＝1，而点Q(2，﹣1)关于直线x﹣y＋3＝0的对称点为Q′(﹣4,5)，故所求的对称圆的方程为(x＋4)2＋(y﹣5)2＝1，即x2＋y2＋8x﹣10y＋40＝0.

5.答案为：B

解析：由x＝，得x2＋y2＝4(x≥0)，如图.

当直线l：y＝x＋m与x2＋y2＝4(x≥0)相切时，＝2，解得m＝±2，又m＝2不符合题意，故m＝﹣2.结合图象可知若直线l：y＝x＋m与曲线x＝有两个公共点，则实数m的取值范围是(﹣2，﹣2].

6.答案为：A

解析：由题意可知＜1，即此不等式恒成立.或直线y＝k(x﹣2)过定点(2，0)，定点(2，0)在圆(x﹣3)2＋y2＝1上.由于斜率k存在，故总有两个交点.

7.答案为：C；

解析：直线y＝kx﹣1恒经过点A(0，﹣1)，又02＋(﹣1)2﹣2×0﹣2＝﹣1＜0，得点A在圆内，

故直线y＝kx﹣1与圆x2＋y2﹣2x﹣2＝0相交，故选C.

8.答案为：B；

解析：若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，其方程为x2＋y2＝m2.由题意知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，所以|m﹣1|≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，所以4≤m≤6，故m的最大值为6.选B.

9.答案为：B

解析：圆M：x2＋y2﹣2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y﹣a)2＝a2，由题意，d＝，所以有a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y﹣2)2＝22，圆心距＝，半径和＝3，半径差＝1，所以二者相交.

10.答案为：B

解析：化简圆M：x2＋(y－a)2＝a2⇒M(0，a)，r1＝a⇒M到直线x＋y＝0的距离

d＝⇒()2＋2＝a2⇒a＝2⇒M(0，2)，r1＝2，

又N(1，1)，r2＝1⇒|MN|＝⇒|r1－r2|＜|MN|＜|r1＋r2|⇒两圆相交.

二              、多选题

11.答案为：AB

解析：圆C：x2＋y2＋ay﹣1＝0的标准方程为x2＋(y+a)2＝1＋，

可知圆心坐标为(0,-a)，半径R＝.∵直线2x﹣y＋3＝0与圆C相切，

∴＝.化简，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝4或a＝﹣1.

12.答案为：BCD

解析：A中，直线(3＋m)x＋4y﹣3＋3m＝0(m∈R)可化为m(x＋3)＋3x＋4y﹣3＝0，由得则直线恒过定点(﹣3,3)，故A为假命题；

B中，圆心(0,0)到直线l：x﹣y＋＝0的距离d＝1，圆的半径r＝2，因此圆上有且仅有3个点到直线l的距离为1，故B为真命题；

C中，圆C1：x2＋y2＋2x＝0，即(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：x2＋y2﹣4x﹣8y＋m＝0(m＜20)，即(x﹣2)2＋(y﹣4)2＝20﹣m，若C1与C2恰有三条公切线，则C1，C2外切，则两圆心的距离为＝5＝1＋，解得m＝4，故C为真命题；

D中，由点P为直线＋＝1上一动点，可设点P(4﹣2t，t)，圆C：x2＋y2＝4的圆心为C(0,0)，以线段PC为直径的圆Q的方程为[x﹣(2﹣t)]2＋(y﹣t)2＝，即x2＋(2t﹣4)x＋y2﹣ty＝0，故圆Q与圆C的公共弦方程为x2＋(2t﹣4)x＋y2﹣ty﹣＝0﹣4，即(2t﹣4)x﹣ty＋4＝0，此直线即为直线AB.经验证点(1,2)在直线(2t﹣4)x﹣ty＋4＝0上，即直线AB经过定点(1,2)，故D为真命题.

三              、填空题

13.答案为：x2＋(y﹣2)2＝2.

解析：∵圆M的圆心在y＝﹣x＋2上， ∴设圆心为(a，2﹣a)，∵圆M与直线x﹣y＝0及x﹣y＋4＝0都相切，∴圆心到直线x﹣y＝0的距离等于圆心到直线x﹣y＋4＝0的距离，即＝，解得a＝0，∴圆心坐标为(0，2)，圆M的半径为＝，∴圆M的标准方程为x2＋(y﹣2)2＝2.

14.答案为：0.

解析：由题意得点C的坐标为(3，3).

由解得或可令A(3，5)，B(1，3)，

∴＝(0，2)，＝(﹣2，0).∴·＝0.

15.答案为：y＝﹣.

解析：点P(1，﹣2)，圆心为C(1,0)，则P，C，A，B四点共圆，且PC为直径，所以四边形PACB的外接圆的方程为(x﹣1)2＋(y＋1)2＝1，与圆C的方程相减可得直线AB的方程为y＝﹣.

16.答案为：6.

解析：圆心C(0，1)，设∠PCA＝α，|PC|＝m，则|PA|2＝m2＋1﹣2mcosα，|PB|2＝m2＋1﹣2mcos(π﹣α)＝m2＋1＋2mcosα，∴|PA|2＋|PB|2＝2m2＋2.又C到直线y＝x﹣1的距离为d＝＝，即m的最小值为，∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×()2＋2＝6.