2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.6《椭圆》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.6

《椭圆》

一              、选择题

1.已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)

A.圆         B.椭圆          C.双曲线        D.抛物线

2.如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)

A.(3，＋∞)

B.(﹣∞，﹣2)

C.(3，＋∞)∪(﹣∞，﹣2)

D.(3，＋∞)∪(﹣6，﹣2)

3.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)

A.1         B.       C.2         D.2

4.已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)

A.＋＝1                   B.＋＝1

C.＋＝1或＋＝1         D.＋＝1或＋＝1

5.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)

A.5         B.4        C.3         D. 1

6.设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　 　)

A.4         B.3       C.2         D.5

7.以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是(　　)

A.              B.             C.            D.

8.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为30.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于10，则曲线C2的标准方程为(　　)

A.﹣＝1        B.﹣＝1       C.﹣＝1        D.＋＝1

9.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)

A.1﹣          B.2﹣         C.         D.﹣1

10.已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1        B.＋＝1或＋＝1

C.＋＝1        D.＋＝1或＋＝1

11.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为(　　)

A.         B.        C.         D.

12.已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)

A.[0,3)　　      　B.(0,2)     C.[2，3)         D.(0,4]

二              、填空题

13.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________.

14.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点.若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

15.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为________.

16.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，F1，F2为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，则＋的最小值是________.

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：B；

解析：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，

所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6＞|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆.故选B.

2.答案为：D

解析：本题考查焦点在不同坐标轴上的椭圆方程的特征.由于椭圆的焦点在x轴上，

所以即解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2，故选D.

3.答案为：D

解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1

⇒bc＝1,2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时，等号成立.故选D.

4.答案为：C

解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.

又2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2.∴b2＝a2﹣c2＝9.

故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.

5.答案为：B

解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，

又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，

由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，

故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.

6.答案为：A.

解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a﹣|PF2|＝10﹣6＝4.

7.答案为：D.

解析：不妨令椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0).

因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，

所以2b＝，即a＝3b，则c＝＝2b，

则该椭圆的离心率e＝＝.故选D.

8.答案为：B

解析：由题意知在椭圆C1中，＝，2a＝30，∴a＝15，c＝7，

曲线C2是双曲线，2a1＝10，c＝7，∴b2＝c2﹣a＝72﹣52＝24，

∴双曲线C2的标准方程为﹣＝1.

9.答案为：D；

解析：在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，

设|PF2|＝m，则2c＝|F1F2|＝2m，|PF1|＝m，

又由椭圆定义可知2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)m，

则离心率e＝＝＝＝﹣1.故选D.

10.答案为：B；

解析：因为a＝4，e＝，所以c＝3，所以b2＝a2﹣c2＝16﹣9＝7.因为焦点的位置不确定，

所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

11.答案为：A

解析：根据题意可取P(c，)，Q(c，﹣)，所以tan∠PAF＝＝＝＝

＝1﹣e，cos∠PAQ＝cos 2∠PAF＝cos2∠PAF﹣sin2∠PAF＝＝

＝＝，故5﹣5(1﹣e)2＝3＋3(1﹣e)2⇒8(1﹣e)2＝2

⇒(1﹣e)2＝.又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1﹣e＝，e＝，故选A.

12.答案为：B；

如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.

∵·＝0，∴⊥.

又MP为∠F1PF2的平分线，

∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点.

∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.

∵|F2G|＝||PF2|﹣|PG||＝||PF1|﹣|PF2||，

∴||＝|2a﹣2|PF2||＝|4﹣|PF2||.

∵4﹣2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，

∴||∈(0,2).

二              、填空题

13.答案为：＋x2＝1

解析：本题考查椭圆的标准方程.由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，

∴b2＝a2﹣c2＝16﹣15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.

14.答案为：8

解析：本题主要考查椭圆的定义.由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)

＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.

15.答案为：.

解析：根据题意，设△ABF2内切圆的半径为r，

△ABF2的周长为4×5＝20，面积为S＝×2c×＝＝，

又S＝×20×r＝10r，所以r＝＝.

16.答案为：.

解析：由题意得＝，b＝1，解得a＝2，c＝，于是|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以＋＝＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝2，即＝，＝时等号成立.