2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.8《抛物线》(含详解)

2024年(新高考)高考数学一轮复习突破练习9.8

《抛物线》

一              、选择题

1.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为(　　)

A.﹣2              B.2           C.﹣4              D.4

2.设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1                   B.＋＝1      C.＋＝1                   D.＋＝1

3.已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y﹣12|，则动点M的轨迹是(　　)

A.椭圆        B.双曲线       C.抛物线        D.圆

4.已知P为抛物线y2＝4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值是(　　)

A.4          B.           C.﹣1            D.﹣1

5.经过点P(4，﹣2)的抛物线的标准方程为(　　)

A.y2＝x或x2＝﹣8y         B.y2＝x或y2＝8x

C.y2＝﹣8x                D.x2＝﹣8y

6.已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，抛物线上一点A满足|AF|＝5，且点A与点B(0,2)的连线与直线BF垂直，则抛物线的标准方程可以是(　　)

①y2＝4x；②y2＝8x；③y2＝12x；④y2＝16x.

A.①③          B.②③         C.①④        D.②④

7.如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝﹣1，那么它的焦点坐标为(　　)

A.(1,0)        B.(2,0)        C.(3,0)        D.(﹣1,0)

8.拋物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与拋物线在x轴上方的曲线交于点A，则|AF|的长为(　　)

A.2         B.4         C.6            D.8

9.设F为抛物线x2＝4y的焦点， A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则＋＋的值为(　　)

A.3           B.6           C.9             D.12

10.已知点F是抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足|FA|＋|FB|＝10，＋＋＝0，则p等于(　　)

A.1          B.2            C.3             D.4

11.若抛物线Γ：x＝﹣上有一动点P，则点P到Γ的准线的距离与到直线l：x＋y﹣5＝0的距离的和的最小值是(　　)

A.        B.        C.2        D.3

12.已知点P(m，n)是抛物线y＝－x2上一动点，则的最小值为(　　)

A.4          B.5          C.           D.6

二              、填空题

13.以抛物线x2＝8y上一点A为圆心作圆，如果该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么圆A的半径为________.

14.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2＝1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于________.

15.已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为____________.

16.如果点P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2＝2x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，…，x10，F是抛物线的焦点，若x1＋x2＋x3＋…＋x10＝5，则|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P10F|＝      .

0.答案详解

一              、选择题

1.答案为：D；

解析：椭圆右焦点为(2，0)，∴＝2.∴p＝4.

2.答案为：B

解析：因为抛物线的焦点为 (2，0)，故椭圆的焦点在x轴上，且c＝2.

又e＝＝，所以m＝4，n2＝m2﹣c2＝12.所以此椭圆的方程为＋＝1.故选B.

3.答案为：C

解析：方程5＝|3x＋4y﹣12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y﹣12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线.

4.答案为：D

解析：因为A在抛物线的外部，所以当点P，A，F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|-1)＝|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1.

5.答案为：A

解析：∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下.当开口向右时，设抛物线的方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(﹣2)2＝8p1，∴p1＝，∴抛物线的方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝﹣2p2y(p2>0)，则42＝4p2，∴p2＝4，∴抛物线的方程为x2＝﹣8y.

6.答案为：C

解析：设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F(,0).设A(,y0).由AB⊥BF，得·＝﹣1.化简，得8＝y，解得y0＝4.由|AF|＝5，得＋＝5，所以＋＝5，所以p2﹣10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝16x.

7.答案为：A

解析：准线是直线x＝﹣1，则a＝4，焦点坐标为(1,0).

8.答案为：B

解析：易知直线方程为y＝(x﹣1)，

联立消去y得3x2﹣10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.

∴点A的横坐标为3，∴＝3﹣(-1)＝4.

9.答案为：B

解析：由抛物线x2＝4y可得p＝2，F(0,1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，由＋＋＝0，可得F为△ABC的重心，则有＝1，即y1＋y2＋y3＝3，结合抛物线的定义可得|FA|＋|FB|＋|FC|＝(y1+p)＋(y2+p)＋(y3+p)＝6.

10.答案为：D

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FA|＋|FB|＝10，可得|FA|＋|FB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝10.①

由＋＋＝0，可得＋＋＝(x1＋x2-,y1+y2)＝0，所以x1＋x2＝.②

联立①②，可得p＝4.

11.答案为：D.

解析：设点P到准线的距离为d1，到直线l的距离为d2，根据抛物线的定义知，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，则d1＋d2＝|PF|＋d2.过焦点F作FM⊥l于点M，则|PF|＋d2≥|FM|(当且仅当F，P，M三点共线且P在线段FM上时取等号)，又F(﹣1,0)，所以d1＋d2≥＝3.

12.答案为：D

解析：由y＝－x2，得x2＝－4y，则x2＝－4y的焦点为F(0，－1)，准线为l：y＝1.

的几何意义是点P(m，n)到F(0，－1)与到点A(4，－5)的距离之和，如图所示.

过点P作PP1⊥l，垂足为P1，过点A作AQ1⊥l，垂足为Q1，且与抛物线交于点Q.根据抛物线的定义知，点P(m，n)到F(0，－1)的距离等于点P(m，n)到准线l的距离，则|PF|＋|PA|＝|PP1|＋|PA|，所以当P运动到Q时，能够取得最小值，最小值为|AQ1|＝1－(－5)＝6.

二              、填空题

13.答案为：3

解析：∵x2＝8y，∴p＝4，∴F(0，2)，由已知直线y＝1过A点，∴x2＝8，

∴A(2，1)，∴r＝|OA|＝＝3.

14.答案为：.

解析：由抛物线定义知1＋＝5，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x，所以m2＝16，

∴m＝4，即M(1，4)，又因为A(﹣，0)，双曲线渐近线方程为y＝± x，

由题意知＝，∴a＝.

15.答案为：，(,1).

解析：设点P是y2＝2x上任意一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离

d＝＝＝，

当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝，所以点P的坐标为(,1).

16.答案为：10.

解析：由抛物线的定义可知，抛物线y2＝2px(p＞0)上的点P(x0，y0)到焦点F的距离

|PF|＝x0＋，在y2＝2x中，p＝1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|P10F|＝x1＋x2＋…＋x10＋5p＝10.