2023年广东省东莞市东华初级中学中考数学结课试卷(含解析）

2023年广东省东莞市东华初级中学中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(    )

A. 水满则溢 B. 水涨船高 C. 水滴石穿 D. 水中捞月

2.  将方程化成的形式，则，，的值分别为(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  如果将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行的时间单位：的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，点、、在上，若，，则劣弧的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，的顶点都在方格纸的格点上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  关于反比例函数的图象，下列说法错误的是(    )

A. 该反比例函数图象经过点 B. 在每一象限内，随的增大而增大
C. 该反比例函数图象经过第一、三象限 D. 该反比例函数图象关于原点对称

8.  年卡塔尔世界杯足球赛正在进行，小组内比赛采用单循环制，即每支球队必须和其余球队比赛一场现组有支球队参加，共比赛了场，则下列方程中符合题意的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：∽；；；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  方程的解为______．

12.  已知中，，，，那么的长是______．

13.  如图，在半径为的中，为弦的中点，若，则的长为        ．

14.  如图，等边，点在轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是        ．

15.  已知二次函数图象的一部分如图，以下结论：；当时，函数有最大值；方程的解是，；其中正确的是        填序号

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，，以为半径的交于点，且，求证：是的切线．

18.  本小题分
“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、科普活动三大板块课程依次记为，，若该校小欣和小林两名同学随机选择一个板块课程请解答以下问题：
小欣选择科普活动课程的概率是        ；
用画树状图或列表的方法，求小欣和小林选择不同板块课程的概率．

19.  本小题分
某商店将进价为元的商品按每件元出售，每天可出售件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高元，那么每天的销售量就减少件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为元？

20.  本小题分
如图，在中，，，点为边上一动点不与点、重合，过点作射线交于点，使；
求证：∽；
当时，求线段长度．

21.  本小题分
已知：正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是．
求反比例函数解析式；
当时，求反比例函数的取值范围．

22.  本小题分
如图，为的直径，为圆上的一点，为劣弧的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，与交于点．
求证：；
求证：；
若的半径为，，求的长度．

23.  本小题分
已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
在上方的抛物线上有一动点．
如图，当点运动到某位置时，以线段，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点的坐标；
如图，过动点作于点，求线段长的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、水满则溢是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

2.【答案】 

【解析】解：将原方程化为一般形式得：，
，，．
故选：．
将原方程化为一般形式，进而可得出，，的值．
本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是，
即，
故选：．
根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
函数有最大值，
当秒，
即飞机着陆后滑行秒能停下来，
故选：．
根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
劣弧的长度为
故选：．
根据圆周角定理得，再根据弧长公式即可得出答案．
本题考查了弧长的计算和圆周角定理，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：延长到，连接，如右图所示，
由题意可得，，

故选：．
根据题意和图形，可以得到长，然后即可求得的值．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：、因为，说法正确，不符合题意；
B、因为，所以函数图象位于二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，说法正确，不符合题意；
C、因为，所以函数图象位于二、四象限，说法错误，符合题意；
D、因为反比例函数图象关于原点对称，说法正确，不符合题意．
故选：．
反比例函数中的时位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，根据这个性质选择则可．
本题考查了反比例函数图象的性质：
当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故选：．
利用小组内比赛的总场数球队支数球队支数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数图象位于第二、四象限，
，
，
二次函数的图象的图象开口向上，对称轴为直线，且抛物线与轴交于正半轴．
观察选项，只有选项符合题意．
故选：．
先根据反比例函数图象得到，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正确选项．
此题考查二次函数，反比例函数中系数与图象位置之间关系，难度不大，结合图形解答即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
∽，所以正确；
，，
，
，
而是边的中点，
，
，所以正确；
，，
，
∽，
，
，
，
垂直平分，
，所以正确；
设的面积为，则，
，
∽，
，
：：，
即，
：：，
所以正确．
故选：．
根据矩形的性质得到，，，利用，可判断∽，则可对进行判断；通过证明，则利用平行线分线段成比例得到，则可对进行判断；利用∽得到，所以，于是得到垂直平分，则可对进行判断；设的面积为，利用三角形面积公式得到，，然后利用∽得到，所以，则：：，于是可对进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．运用相似三角形的性质可证明线段之间的关系，也可进行几何计算．也考查了矩形的性质．
 

11.【答案】， 

【解析】解：，
或，
或，
故答案为：，．
利用因式分解法解答即可．
本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因数分解法解一元二次方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，
，，
．
故答案为：．
利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题考查了解直角三角形，掌握“某角的余弦”是解决本题的关键．
 

13.【答案】． 

【解析】解：连接，，

为的中点，过圆心，
，，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
连接，，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，再求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记平分弦弦不是直径的直径垂直于弦是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
是正三角形，
，
，
又，
，
故答案为：．
根据正三角形的性质以及反比例函数系数的几何意义，得出，即可求出的值．
本题考查等边三角形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握等边三角形的性质以及反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
，
，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数有最大值，所以正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
方程的解是，，所以错误；
，
，所以错误．
故答案为：．
利用抛物线开口方向确定，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与轴的交点位置确定，从而可对进行判断；根据二次函数的性质可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则根据抛物线与轴的交点问题可对进行判断；然后利用可对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

17.【答案】证明：连接，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
是的半径，
是的切线． 

【解析】连接，证得是等边三角形，得到，根据等腰三角形的性质和三角形外角定理求出，得到，由切线的判定得到是的切线．
本题主要考查了切线的判定，根据等边三角形的性质和判定及等腰三角形的性质和三角形外角定理求出和的度数是解决问题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：小欣选科普活动课程的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小欣和小林选不同板块课程的结果有种，
小欣和小林选不同板块课程的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小欣和小林选同一个板块课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

19.【答案】解：设售价为元，
根据题意列方程得，
整理得：，
即，
解得，．
故将每件售价定为或元时，才能使每天利润为元．
原价为元，
元，元，
故应将商品的售价提高元或元． 

【解析】设售价为元，则有进价每天售出的数量每天利润，解方程求解即可．
本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
．
，，
，
∽；
解：∽，，
．
如图所示．

，
，
．
综上所述：当为直角三角形时，点、之间的距离为． 

【解析】根据可得出，由三角形的内角和定理结合平角等于，即可找出，进而即可证出∽；
根据相似三角形的性质可得出，利用解直角三角形可求出的长度．综上即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，解题的关键是：通过角的计算找出；得出．
 

21.【答案】解：由题意，得，
，
将，，代入中，得：．
所求反比例函数的解析式为；
反比例函数的解析式为，
当时，；当时，，
，
反比例函数在每个象限内随的增大而减少．
在第三象限，
当时，；
点在第一象限，
当时，．
当时，或． 

【解析】将两函数交点的纵坐标代入解析式，求出该点的坐标，将此坐标代入反比例函数，即可求出的值，从而得到解析式．
求出，时的取值，再根据反比例函数的增减性求出的取值范围．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

为劣弧的中点，
，
．
是的切线，
，
；
证明：连接，，如图，

为劣弧的中点，
，
，．
，
∽，
，
；
设，则．
由知，
．
．
为的直径，
，
．
的半径为，
．
，
解得：或不合题意，舍去，
． 

【解析】连接，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；
连接，，由为劣弧的中点，得出，则，又根据，得出∽，推出，进而得出结论，
设，则，根据的结论列出关于的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接，是解决此类问题常添加的辅助线．
 

23.【答案】解：设抛物线的解析式为，，
把，，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为．
，
，
设第四个点为点则，
以线段，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，
，轴，
设，则，
轴，
，
解得，
点的坐标为

连接，则，
，，
当面积最大时，可求得垂线段的最大值，
，，
直线为，
作轴，交直线于点，
设，则，
，
，
当时，有最大面积，
由得，
线段长的最大值为． 

【解析】待定系数法，求抛物线解析式；
若以，为邻边的平行四边形的第四个顶点恰好也在抛物线上，则，设，则，由，两点的纵坐标相等，建立方程，问题即可解决；
连接，，则当面积最大时，可求得垂线段的最大值，作轴，交直线于点，运用铅垂法表示出面积，求出其最大面积，即可求出线段长的最大值．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，铅垂法计算三角形面积，以及利用二次函数性质求三角形的最大面积等，其中，点坐标的特征运用，垂线段最大值转化为求三角形面积的最大值，是解本题的关键，题目综合性较强，难度不大，是一道很好的中考题．