2022-2023学年江苏省南京市江宁区十校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

2022-2023学年江苏省南京市江宁区十校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  小红随机调查了名九年级同学某次知识问卷的得分情况，结果如表，则这名同学问卷得分的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

4.  若关于的方程的解是，，则关于的方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  已知，则        ．

8.  设，是关于的方程的两个根，，则______．

9.  若一个圆锥的底面圆的半径是，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为          ．

10.  点是二次函数图象上一点，则的值为        ．

11.  如图，在正八边形中，、是两条对角线，则的度数为          
 

12.  如图，点、、在边长为的正方形网格格点上，则______．

13.  如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当函数值时，自变量的取值范围是______．

14.  如图，四边形内接于，、的延长线相交于点，、的延长线相交于点，，则           ．
 

15.  关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为        ．

16.  如图，在边长为的正六边形中，将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是______．

三、解答题（本大题共10小题，共79.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解方程：．

18.  本小题分
新冠疫情防控期间，某市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动为了了解初中生每日线上学习时长单位：小时的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图根据图中信息，解答下列问题：

在这次调查活动中，一共抽取了        名初中生；
补全条形统计图；
若该校有名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有多少名？

19.  本小题分
某班有甲，乙，丙三个综合实践活动课题研究小组，现各课题小组将逐个进行研究成果的展示，并通过抽签确定三个小组展示的先后顺序．
甲小组第一个展示的概率是        ；
求丙小组比甲小组先展示的概率．

20.  本小题分
如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，．
求证：．
若等于，求的度数．

21.  本小题分
图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂是可伸缩的，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为．
当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？参考数据：
 

22.  本小题分
已知二次函数的图象如图所示．
求该抛物线的顶点坐标；
将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法．

23.  本小题分
以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点、、、均在格点上．
在图中，：______．
利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
如图，在上找一点，使．
如图，在上找一点，使∽．
 

24.  本小题分
近两年直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音平台上对一款成本价为元的商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件通过市场调查，该商售价每降低元，日销售量增加件，设每件商品降价元为的倍数
每件商品降价元时，日销售量为        件；
若日销售盈利为元，为尽快减少库存，的值应为多少；
设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？

25.  本小题分
如图，已知，．
作，使得圆心在线段上，经过点，且与相切于点；
若，的半径为，求的长．

26.  本小题分
已知二次函数，其中为常数．
求证：不论为何值，该二次函数的图象与轴有公共点．
若和是该二次函数图象上的两个点，请判断、的大小关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：总人数为人，
中位数为第和人的得分的平均值，
中位数为，
得分为分的人数为人，最多，
众数为，
故选：．
根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，则中间的数或中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数解答即可．
本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
估计在和之间．
故选：．
直接利用，得出的取值范围．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的有理数是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系．
设，则原方程可化为，根据关于的方程的解是，，得到，，于是得到结论．
【解答】
解：设，
则原方程可化为，
关于的方程的解是，，
，，
或，
解得，．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
是等边三角形，
，
．
故选：．
先证明是等边三角形，得，即可得出．
本题考查了等边三角形的判定与性质以及特殊角的三角函数值，证明三角形是等边三角形是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，
在等腰中，，
，
，，
为的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，
点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，易得四边形为正方形，，
点的路径为以为直径的半圆，
点运动的路径长．
故选：．
取的中点、的中点、的中点，连接、、、、、，如图，利用等腰直角三角形的性质得到，则，，再根据等腰三角形的性质得，则，于是根据圆周角定理得到点在以为直径的圆上，由于点点在点时，点在点；点点在点时，点在点，则利用四边形为正方得到，所以点的路径为以为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点运动的路径长．
本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定点的轨迹为以为直径的半圆．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
故答案为：．
将变形为，再利用比例的性质计算即可．
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，是关于的方程的两个根，，
，，
．
故答案为．
根据一元二次方程的根与系数的关系解答．
本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
该圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．
【解答】
解：设该圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即该圆锥的母线长为．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：点是二次函数图象上一点，
，
，
．
故答案为：．
把点代，得到，整体代入即可求得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入点求得是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
连接、、，推出四边形为正方形，根据正方形的性质即可求解．
本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
【解答】
解：连接、、，如图所示：
则四边形为正方形，
所以，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：连接格点、．
点、、在边长为的正方形网格格点上，
，，
．
，
是直角三角形．
．
故答案为：．
先利用格点和勾股定理计算、、，再判断的形状，最后求出．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理和勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，
图象与轴的另一个交点为：，
故当函数值时，自变量的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点，进而得出答案．
此题主要考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，，，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：四边形内接于，
，，，
，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，
，
，
，
，
故答案为：．
求出的值，再判断即可得到结论．
本题考查了的根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

16.【答案】 

【解析】解：在边长为的正六边形中，，，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，

图中阴影部分的面积，
故答案为：．
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
原式，
，
或，
解得，． 

【解析】根据负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值以及二次根式的运算法则计算即可；
先将原方程进行变形，再用分解因式法解方程即可．
本题考查的知识点是实数的运算以及解一元二次方程，掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值以及二次根式的运算法则和解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意得：名，
名，
答：在这次调查活动中，一共抽取了名初中生，
故答案为：；
补全条形统计图如图：

条形统计图中，的人数为名，
则估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有：名，
答：估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有名．
由的人数除以所占百分比即可；
由该校共有初中生人数乘以每日线上学习时长在“”范围的初中生所占的比例即可．
本题主要考查了抽样调查与全面调查，条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：有可能甲小组第一个展示，也有可能乙小组第一个展示，还有可能丙小组第一个展示，
甲小组第一个展示的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能出现的结果，其中丙小组比甲小组先展示有种结果，
丙小组比甲小组先展示的概率为：．
根据概率公式可直接得出答案；
根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和丙小组比甲小组先展示的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
；
解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
平分，
． 

【解析】根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论；
根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线的定义解答．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图，作于点，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
，
；
如图，作于点，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中，，
，
；
最高救援高度为，
故该消防车能实施有效救援． 

【解析】如图，作于点，易得四边形为矩形，则，，再计算出，则在中利用正弦可计算出，然后计算即可；
如图，作于点，易得四边形为矩形，则，，再计算出，则在中利用正弦可计算出，然后计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．
 

22.【答案】解：把代入，得，
解得，
抛物线的解析式为．
．
该抛物线的顶点坐标为；

设平移后抛物线解析式为：，
把点代入，得．
解得或．
故将该抛物线向左平移个单位或向右平移个单位，使其经过坐标原点． 

【解析】把点代入求值即可求得抛物线解析式，根据将所求抛物线解析式利用配方法求得顶点坐标即可；
设平移后抛物线解析式为：，然后将点代入求得的值．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

23.【答案】解：：．

如图所示，点即为所要找的点；
如图所示，作点的对称点，
连接，交于点，
点即为所要找的点，
，
∽． 

【解析】

【分析】
本题考查了作图相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
根据勾股定理得的长为，再根据相似三角形的判定方法即可找到点；
作点的对称点，连接与的交点即为要找的点，使∽．
【解答】
解：图中，
，
，
故答案为：．
见答案．  

24.【答案】 

【解析】解：由题意得，每件商品降价元时，日销售量为件，
故答案为：；
解：由题意得，，
，
解得，，
为尽快减少库存，
的值应为；
解：由题意得，，
，
当时，取最大值，
为的倍数，
当或时，取值最大，最大值是．
根据售价每降低元，日销售量增加件列出对应的代数式即可；
根据利润售价成本价数量列出方程求解即可；
根据利润售价成本价数量列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，即为所求作．


是的切线，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】作的角平分线交于，过点作交于点，以为圆心，为半径作即可．
利用勾股定理求出，再利用平行线分线段成比例定理求出即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型．
 

26.【答案】证明：
方法一：令，，
解得，，
当时，得，方程有两个相等的实数根，故二次函数与轴有一个公共点；
当，得，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与轴有两个公共点；
由上可得，不论为何值，该二次函数的图象与轴有公共点．
方法二：，
当时，，即方程有两个实数根．
不论为何值，该二次函数的图象与轴有公共点；
，
该函数的图象的对称轴为直线，函数图象开口向上，
和是该二次函数图象上的两个点，
当时，，
当时，，
当或时，． 

【解析】要证明结论成立，有两种证明方法，方法一：令求出的值，然后利用分类讨论的方法说明时的值存在；方法二，就是将函数解析式化为一般形式，然后令，求出的值，即可说明结论成立；
根据题目中的函数解析式可以求得该函数的对称轴，然后利用二次函数的性质和分类讨论的方法即可得到、的大小关系．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．