2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题27二次函数与面积压轴问题（教师版）

这是一份2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题27二次函数与面积压轴问题（教师版），共102页。
专题27二次函数与面积压轴问题
经典例题



【例1】（2022·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，

【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：方法一：连接OP，

设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴

又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为

设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
（3）存在点N．
①当N在y轴上时，

∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，

∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
【例2】（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
(3)在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)点P坐标为；
(3)存在，

【分析】（1）把代入即可的得出抛物线解析式；
（2）依题意可得出即P点在的平分线上且在抛物线的对称轴上利用等腰三角形的性质，即可得出P点的坐标；
（2）利用铅垂线ME，即可表达出，再由即可列出方程求解．
【详解】（1）根据题意，得
，
解得，
抛物线解析式为：．
（2）由（1）得，
点，且点，
．
∵当是以BC为底边的等腰三角形
∴PC=PB，
∵OP=OP，
∴，
∴，
设抛物线的对称轴与轴交于H点，则，

∴，
∴，
∵抛物线对称轴，
∴，
∴，
．
点P坐标为．
（3）存在．
理由如下：过点M作轴，交BC于点E，交x轴于点F．
设，则，
设直线BC的解析式为：，依题意，得：
，
解得，
直线BC的解析式为：，
当时，，
点E的坐标为，
∵点M在第一象限内，且在BC的上方，

，


，
．
∵，
，
解得．
【点睛】此题考查了求抛物线的解析式、等腰三角形的存在性问题，三角形的面积，掌握待定系数法求抛物线的解析式，等腰三角形与函数的特征，三角形面积与函数的做法是解题的关键．
【例3】（2022·河南洛阳·统考二模）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，（点在点的左边），与轴交于点．

(1)直接写出，，的坐标；
(2)点为线段上一点（点与点，点不重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，若点在点的左侧，当矩形的周长最大时，求的面积．
【答案】(1)，，
(2)

【分析】（1）通过解析式即可得出点坐标，令，解方程得出方程的解，即可求得、的坐标；
（2）设点横坐标为，则，，矩形的周长，将配方，根据二次函数的性质，即可得出的值，然后求得直线的解析式，把代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
【详解】（1）由抛物线可知点，
令，则，
解得或，
点，，；
（2）由抛物线可知，对称轴为直线，
设点的横坐标为，则，，
矩形的周长，
当时矩形的周长最大．
点，，
设直线，
代入得，
解得，
直线的函数表达式为，
当时，，则点，
，，
的面积．
【点睛】此题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是求出矩形的周长为．
【例4】（2022·福建·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或（3，4）
(3)存在，

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得 ，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得 ，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据 ，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．

所以


．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
（3）


记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点

，




，
设
直线AB的解析式为．
设，则




整理得






时，取得最大值，最大值为
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．
【例5】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作抛物线，使它与抛物线关于原点成中心对称，请直接写出抛物线的解析式；
(3)如图3，将（2）中抛物线向上平移2个单位，得到抛物线，抛物线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧）．
①求点和点的坐标；
②若点，分别为抛物线和抛物线上，之间的动点（点，与点，不重合），试求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②16

【分析】（1）将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）①通过联立方程组，求出点和点坐标即可；
②求出直线的解析式，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，，则，，可求，，由，分别求出的最大值4，的最大值4，即可求解．
（1）
解：将点和点代入，
∴，解得，
∴．
（2）
∵，
∴抛物线的顶点，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
∴．
（3）
由题意可得，抛物线的解析式为，
①联立方程组，
解得或，
∴或；
②设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：

设，，
则，，
∴，
，
∵，，
∴当时，有最大值，
当时，有最大值，
∵，
∴当最大时，四边形面积的最大值为16．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移和对称的性质是解题的关键．

培优训练


1．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)2；P（-1，0）

【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可．
【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，
∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
，
解得：b=2，c=-3，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
顶点式为：，
则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，
设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P，
由解得：，
∵P在线段AB上，
∴，
∴n的取值范围为-6＜n＜2，
则


∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2．
【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
2．（2022·湖南常德·统考中考真题）如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标；
(3)在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值为

【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可；
（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线经过点，
∴设抛物线为：
抛物线过，且它的对称轴为．
解得：
∴抛物线为：
（2）解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，
设 且 记OA与对称轴的交点为Q，

设直线为：
解得：
直线为：



解得：或
∵ 则

（3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，



设AB为： 代入A、B两点坐标，

解得：
∴AB为：

解得：

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键．
3．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．

(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．
①求A，B，C，D四点的坐标；
②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；
(2)在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，
①求m的取值范围；
②求线段BC长度的最大值．
【答案】(1)①A（2，0），B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②△PAB的面积的最大值是3，点P（1，1）；
(2)①或；
②13

【分析】对于（1），先求出点A，B的坐标，再将抛物线关系式配方表示出点D的坐标，令
x=0，表示出点C的坐标，然后将m的值代入即可得出①的答案；对于②，先求出直线和抛物线的解析式，再作轴，设点P的横坐标为t，即可表示出点P，E的坐标，然后表示出PE，进而根据三角形的面积公式表示△PAB的面积，再配方讨论极值即可；
对于（2），由（1）可知，点B，C的坐标，再根据点C在线段MB上，分两种情况讨论，求出①的答案即可；对于②，根据①中的情况分别表示BC，再配方二次函数的性质求出答案即可．
【详解】（1）∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（2，0），B（0，-2m）．
∵，
∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．
令x=0，则，
∴．
①当m=2时，-2m=-4，则，
∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；
②由上可知，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，
如图，过点P作轴交直线AB于点E．

设点P的横坐标为t，
∴，，
∴，
∴△PAB的面积=，
∵-1＜0，
∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）；
（2）由（1）可知，B（0，-2m），C（0，-m2+2），
①∵y轴上有一点，点C在线段MB上，
∴需分两种情况讨论：
当时，解得：，
当时，解得：，
∴m的取值范围是或；
②当时，
∵，
∴当m=1时，BC的最大值为3；
当时，
∴，
当m=-3时，点M与点C重合，BC的最大值为13，
∴BC的最大值是13．
【点睛】这是一道关于一次函数和二次函数的综合问题，考查了求函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与三角形的综合，根据二次函数关系式求极值等．
4．（2019·广东河源·校联考一模）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求此抛物线的解析式．
(2)求于、两点坐标及三角形的面积．
(3)若点在轴上方的抛物线上，满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)，或

【分析】（1）设抛物线顶点式解析式，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令，解方程得出点C，D坐标，再用三角形面积公式即可得出结论；
（3）先根据面积关系求出点P的坐标，求出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式，
把点代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为；
令，则，
∴或，
∴；
∴，
∴；
（3）由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴，
∴，
∵抛物线的解析式为；
∴，
∴，
∴，或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2022·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点．

(1)请直接写出点，，的坐标；
(2)点在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值．
(3)点是抛物线上的动点，作//交轴于点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)，面积的最大值；
(3)存在，或或．

【分析】（1）令得到，求出x即可求得点A和点B的坐标，令，则即可求点C的坐标；
（2）过P作轴交BC于Q，先求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，利用三角形面积公式求解；
（3）根据点是抛物线上的动点，作//交轴于点得到，设，当点F在x轴下方时，当点F在x轴的上方时，结合点，利用平行四边形的性质来列出方程求解．
【详解】（1）解：令，
则，
解得，，
∴，，
令，则，
∴；
（2）解：过P作轴交BC于Q，如下图．

设直线BC为，将、代入得
，
解得，
∴直线BC为，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，的面积最大，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴时，PQ最大为，
而，
∴的面积最大为；
（3）解：存在．
∵点是抛物线上的动点，作//交轴于点，如下图．

∴，设．
当点F在x轴下方时，
∵，
即，
∴，
解得（舍去），，
∴．
当点F在x轴的上方时，令，
则 ，
解得，，
∴或．
综上所述，满足条件的点F的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等．
6．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或

【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
（2）如图，连接，

当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，


；
（3）设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
7．（2022·山东日照·校考一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，是抛物线轴下方的抛物线上一点，连接、、，若的面积是面积的3倍，求点的坐标
(3)如图3，连接､，在抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在求出点的横坐标，若不存在说明理由
【答案】(1)；
(2)
(3)抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是

【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式为，设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，则点P的是，求出，得到，，根据的面积是面积的3倍，列方程求得m的值，即可求得点M的坐标；
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，证明得到，求出点E的坐标是，待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式即可求出点N的坐标．
【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，

对于，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标是，过点M作直线轴交于点N，
则点P的是，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵的面积是面积的3倍，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
当时，，
∴点M的坐标是；
（3）抛物线上存在一点N，使得，过点B作交于点E，则，

∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点E的坐标是，
设直线的解析式为，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
联立与得，
，
解得或（不合题意，舍去），
∴抛物线上存在一点N，使得，点N的坐标是．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定和性质等知识，关键是添加合适的辅助线解决问题．
8．（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，

【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
又∵B（2，-3），
∴BC//x轴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，由题意可知点P在直线BC上方，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图1，抛物线，交轴于A、B两点，交轴于点，为抛物线顶点，直线垂直于轴于点，当时，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②是，定值为，理由见解析

【分析】（1）由当时，，可知，是的两根，代入方程可得从而得解；
（2）①把代入抛物线解析式可得D点坐标，再代入抛物线解析式可得C点坐标，
从而得知线段轴，利用配方法可知点F坐标，从而利用求面积；
②设，用待定系数法求出直线与直线的解析式，再令得，，从而得出，的长，从而得到是定值8．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴，是的两根，，
∴，
解得：，
抛物线的表达式为：；

（2）①把代入得：，
．
又当，，
，
线段轴．
，
，
；

②设，
直线，，
因此可得：
或，
解得：或，
直线，
．
令得，，
，，
．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及四边形的面积求法，待定系数法等知识，掌握待定系数法和面积求法是解题的关键．
10．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，抛物线与直线交于，两点，且点是它的顶点，在轴上有一点．

(1)求出抛物线的解析式及直线的解析式；
(2)点在直线上运动，若是等腰三角形时，求点的坐标；
(3)设点是抛物线上一动点，若，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或或或
(3)或

【分析】（1）用待定系数法求出一次函数解析式和二次函数解析式即可；
（2）设，然后分三种情况，，求出点E的坐标即可；
（3）设点的坐标为，求出，，求出直线直线的解析式为，过点作平行轴，交于，则，，表示出，求出a的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把，代入抛物线的解析式，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，把，代入直线的解析式，
得：，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：设，
若，
则，
解得或，
∴或；
若，
则，
解得或（舍，
，
若，
则，
解得，
∴；
综上，的坐标为或或或．
（3）解：设点的坐标为，由（1）知，
，
，
设直线的解析式为，把点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
过点作平行轴，交于，

则，，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的综合应用，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，注意进行分类讨论．
11．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为
(3)点的坐标为，，

【分析】（1）将，代入抛物线，列方程组求解即可得到答案；
（2）延长交轴于点，设直线的函数表达式为，将，代入列方程组求解得出解析式，设，根据轴得到，，根据三角形面积公式用t表示出，利用函数性质即可得到最值；
（3）根据，得到，结合抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，延长交轴于点，

设直线的函数表达式为，
∵，，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
设，其中，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵点在原抛物线对称轴上，
∴设点，
①当以为对角线时，，即，
∴，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
②当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
③当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
综上所述，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
12．（2023·广西玉林·一模）已知二次函数的图象经过点．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)二次函数图象与轴的另一个交点为，与轴的交点为，点从点出发在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求面积的最大值；
(3)在点、运动的过程中，是否存在使与相似的时刻，如果存在，求出运动时间，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当时，面积的最大值为
(3)的值为或

【分析】把点代入解析式，求出的值，即可得到解析式；
过点作于点，利用表示出的高，然后表示出的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
由，，知与相似只需为直角三角形，分两种情况：当时，是等腰直角三角形，，有，解得；当时，，解得．
【详解】（1）把点代入得：，
解得：，
二次函数的表达式为：．
（2）过作于，如图：

在中，令得，令得，，
，，，
，，，
设运动时间为，则，，
，
，
，即，
，
，
，
当时，面积的最大值为．
（3）在点、运动的过程中，存在使与相似的时刻，理由如下：
，，
与相似只需为直角三角形，
当时，如图：

，，
，
是等腰直角三角形，，
，
解得；
当时，如图：

同理可知，
，
解得，
综上所述，的值为或．
【点睛】．本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用．
13．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．

(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)若点M在直线上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
(3)设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【答案】(1)，
(2)，当时，S有最大值为
(3)满足条件的点P坐标为，，

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，-+m+），则N（m，-m+），可得S△MBC=•MN•OB=+，再求解即可；
（3）设Q（0，t），P（m，- +m+），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：把点和分别代入可得
，
解得
∴抛物线的解析式为
把代入可得
∴；
（2）解：作直线，作轴交直线于点N

设直线的解析式为（）
把点和分别代入
可得
解得
∴直线的解析式为
设点M的横坐标为m
∴，
∴

∴
（）
∴当时，S有最大值为
把代入可得
∴；
（3）解：当以为边时，只要，且即可
∴点P的横坐标为4或-4
把代入可得
把代入可得
∴此时，
当以为对角线时，作轴于点H

∵四边形是平行四边形
∴
∴
在和中

∴
∴
∴
∴点P的横坐标为2
把代入可得
∴此时
综上所述，满足条件的点P坐标为，，
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
14．（2022·辽宁大连·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接．

(1)求点B，点C的坐标；
(2)如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值；
(3)如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当最大时，
(3)

【分析】（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，C的坐标；
（2）由 可得 再分别表示 再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案；
（3） 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，证明 证明 求解 可得 再求解 及为再联立： 从而可得答案．
（1）解：∵，令 则 令 则 解得： ∴
（2）∵ ∴ 而 ∴ ∴当最大时，则
（3）如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD， ， ∵抛物线 ∴顶点 轴， ∴ 设为 解得 ∴为联立： 解得： 所以
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键．
15．（2022·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点．连接交于点，连接．

(1)试确定抛物线的解析式；
(2)当时，请求出点的坐标；
(3)如图，连接，设点横坐标为，求当为何值时，四边形的面积最大？并求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，四边形的面积最大，点的坐标为

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据，可得，根据，得出，根据，得出，进而求解；
（3）过点作轴交于点，设点的坐标为，则点，由得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）将点点和点代入二次函数表达式得：
即：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）如图1：在中，令，解得，
∴，则
∵，即：，
过点分别作轴的垂线交于点，

∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故点；
（3）由（2），可得，
由点的坐标得，设直线的表达式为
则
解得：
∴直线的表达式为，
过点作轴交于点，如图，

设点的坐标为，则点，
设四边形的面积为，
则


∴当时，，四边形的面积最大，点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，相似三角形的性质与判定，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在；，，
(3)，

【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出的值，以点C为圆心，为半径作弧，交对称轴于；以点D为圆心为半径作圆交对称轴于点，，作垂直于对称轴于点H，由等腰三角形的性质就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出直线的解析式，从而可设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形的面积可求出S与的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：已知抛物线经过点，，
则，解得，
抛物线表达式为：；
（2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线，
则点坐标为，
的长为,
如图1所示，使是以为腰的等腰三角形的点有，，三种情况，其中，
过点作,    垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
综上可得，在抛物线的对称轴上存在点P，使是以为腰的等腰三角形， P点的坐标为，，，
；
（3）解：根据题意作图2，过点作,垂足为点，
令，则，
，，
故点坐标为，，
设直线解析式为，过点，，
，解得，
则直线解析式为，
设，，
，







，
故时，四边形的面积取得最大值为，此时点坐标为，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线中等腰三角形的存在性、抛物线中四边形面积最大值的存在性、勾股定理等知识，采用数形结合和分类讨论思想是解题关键．
17．（2022·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BD翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且，请求出所有满足条件的点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)当点P的横坐标为3或或时，

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）设对称轴与的交点为E，先求出点C，点E坐标，可求，，由折叠的性质可得的长，由勾股定理可求的长，即可求解；
（3）根据平行线间的距离相等，分两种情况讨论，若点Q，点P在的同侧时，若点P与点Q在的两侧时，结合图象及题意分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，
可得，
∴，
∴；
（2）如图，设对称轴与的交点为E，

∵，，
∴对称轴为直线，
∴，
∵点D在抛物线的对称轴上，
∴，
∵将沿直线翻折得到，
∴ ，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点；
（3）如图，设交y轴于点F，

∵点，点，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：
∴直线解析式为：，
当时，
∴点，
∵抛物线的解析式为：与y轴交于点Q，
∴点，
直线经过点，，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：
∴直线解析式为：，
当时，
∴，
若点Q，点P在的同侧时，
∵，
∴点P与点Q到直线BD的距离相等，即，
∴设直线解析式为：，
∵点，
∴直线解析式为：，
∴，
∴（与点Q重合，舍去），（与点C重合，符合题意），
∴点P的横坐标为3；
若点P与点Q在的两侧时，
∵，
∴点P与点Q到直线的距离相等，
∵点，点，
∴，
在y轴上截取，过点H作的平行线交抛物线于点和，
∴，
∴
∴点H坐标，
∴直线解析式为：，
∴，
∴，
综上所述：当点P的横坐标为3或或时，．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质及平行线间的距离相等等知识，综合性较强，有一定的难度．
18．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点，连接，求四边形面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移2个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)、、．

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，求得直线解析式，以及四点坐标，得到、长度，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据平移的性质，求得的表达式，分两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：将，代入二次函数解析式，可得
，解得
即；
（2）设直线解析式，代入，，可得
，解得
即，
则，，，
，
，
，
即当时，最大，为；
（3）由（2）可知，
直线为与轴的交点为，与轴的交点为，两点之间的距离为，
沿射线平移个单位，可看成向右移动了4个单位，向下移动了2个单位，
∴，
则平移后，
抛物线的对称轴为，
设，
当时，如图：

则，
解得，
∴或，
当时，平移到，平移到，
∴，
当时，平移到，平移到，
∴，
当时，如下图：

，解得，
平移到，平移到，可得，
综上点的坐标为、、．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
19．（2022·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为，连结．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．
(3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)M的坐标为或或或

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的表达式，设点，则点，可得
，则，即可求解；
（3）分是边、是对角线两种情况，利用图象平移的性质和中点公式即可求解．
【详解】（1）解：由抛物线交点式表达式得：，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
∴，
设直线的表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：，
如图所示，过点作轴的平行线交直线于点，

设点，则点，
∴，
，
∴，
解得： （舍去）或，
故；
（3）解：当时，点，
设点，点，则，
当是边时，
点向左平移2个单位向上平移个单位得到点，同样点向左平移2个单位向上平移个单位得到点，
故或，
联立得：
或
并解得：（舍去）或或或；
故点的坐标为或或；
当是对角线时，
由中点公式得：，
联立 ，解得或（舍去），
故点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
20．（2022·四川绵阳·校考二模）如图，直角三角形的斜边在轴上，直角顶点在轴正半轴上，已知，抛物线经过点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图①，点是轴右侧抛物线上一动点，若，求点的坐标．
(3)如图②，点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接交于点，交轴于点，连接．设，的面积分别为，，求的最大值．
【答案】(1)抛物线解析式为
(2)点的坐标为或
(3)当时，有有最大值，的最大值为

【分析】（1）先根据三角形相似得到B点坐标，再把A，B，C三点坐标代入函数关系式求得解析式；
（2）分两种情况解题：①点在上方时，，把代入解析式求出P点坐标；②点在下方时，如图：设与轴交于点，则求出直线CD的解析式，与二次函数解析式联立求得P的坐标；
（3）设，表示，，继而计算是二次函数，配方成顶点式，写出最大值．
【详解】（1）如图：

∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线经过点．
∴，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①点在上方时，如图：过点作轴于，

∵ ，
∴，
∵轴，∠COB=90°，
∴四边形是矩形，
∴
∵点是轴右侧抛物线上一点，
∴，解得或0（舍去），
∴点的坐标为；
②点在下方时，如图：设与轴交于点，过点作于，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
∴，解得，
∴的解析式为，
联立得或0（舍去），
时，，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或；
（3）设，过点作轴于，

∴，
∵，
∴，
∵，则，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴



，
∴当时，有有最大值，的最大值为．
【点睛】本题考查二次函数，相似三角形的判定和性质，一次函数，解直角三角形，分类讨论和数形结合思想是解题的关键．
21．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

　　　　　　　　　　　　　　
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值；
(3)设直线AP，BP与抛物线的对称轴分别相交于点E，F，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由．
【答案】(1)y =x²+2x+3
(2)最大值
(3)定值16

【分析】（1）利用顶点式可得结论；
（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设，，推出最大时，的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；
（3）如图，设，求出直线AP，BP的解析式，可得点E，F的坐标，求出FG的长，可得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），
∴根据顶点式，抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，
BD交PM于点J，设，

点，在直线l：上，
∴，
∴，
∴直线DT的解析式为，
令，得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴最大时，的值最大，
∵，，
∴直线BD的解析式为，
∴，
∴，
∵

，
∵二次项系数，
∴时，最大，最大值为11，
∴的最大值；
（3）解：四边形AFBG的面积不变．
理由：如图，设，

∵，，
∴直线AP的解析式为，
∴，
∵E，G关于x轴对称，
∴，
∴直线PB的解析式为，
∴，
∴，
∴四边形AFBG的面积，
∴四边形AFBG的面积是定值．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数解决问题．
22．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，已知二次函数的图像交轴于点，，交轴于点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发．设运动时间为秒（）．当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)已知是抛物线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，的面积最大，最大面积是
(3)存在，的坐标为或或或

【分析】用待定系数法可求得二次函数的表达式为；
过点作轴于点，设面积为，由，，可得，，即得，由二次函数性质可得当秒时，的面积最大，求得其最大面积；
由，得直线解析式为，设，，分三种情况进行讨论求解．
【详解】（1）将点，代入中，
得，
解这个方程组得，
二次函数的表达式为；
（2）过点作轴于点，如图：

设面积为，
根据题意得：，．
，
，
在中，令得，
，
，
．
，
，
，
当时，的面积最大，最大面积是；
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
当，是对角线，则，的中点重合，
，
解得与重合，舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得舍去或，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得或，
或，
综上所述，的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度．
23．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的关系式；
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；
(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；
(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3
(2)P点坐标为（，）
(3)h的取值范围为3≤h≤4
(4)存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，）或（，）

【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）过P作PGy轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；
（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），
∴ ，
解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图1，过P作PGy轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE＝OA＝3，
∴E（3，3），
设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，
3＝3k，
解得k＝1，
∴直线OE的解析式为：y＝x，
∴G（m，m），
∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，
∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG
PG•AE
3×（﹣m2+5m﹣3）
（m2﹣5m+3）
（m）2，
∵0，
∴当m时，△OPE面积最大，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P点坐标为（，）；
（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），
抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．
设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，

∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴M（2，2），
∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），
∴2≤﹣1+h≤3，
解得3≤h≤4；
（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∴∠OMP＝∠PNF＝90°，
∵△OPF是等腰直角三角形，
∴OP＝PF，∠OPF＝90°，
∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，
∴∠OPM＝∠PFN，
∴△OMP≌△PNF（AAS），
∴OM＝PN，
∵P（m，m2﹣4m+3），
则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，
解得：m或，
∵m＞2，不合题意，舍去，
∴m，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，
同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得：m1或m2，
∵＞2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，
∴PN＝FM，
则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，
解得：m1或m2；
∵＜2，不合题意，舍去，
∴m＝，
此时m2﹣4m+3＝，
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图5，
  
同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，
解得：m或（舍），
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．
24．（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．

(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)证明见解析，；
(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析

【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，

连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝ ，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．