2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题29二次函数与相似压轴问题（教师版）

这是一份2023年中考数学二轮复习压轴大题培优学案专题29二次函数与相似压轴问题（教师版），共110页。
专题29二次函数与相似压轴问题
经典例题



【例1】（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求CP+PQ+QB的最小值；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
(2)6
(3)(，)或(，)或(，)

【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．
（1）
解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．
（2）
将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6．
（3）
如图：

由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
【例2】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或

【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，

∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，

设，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴，，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴或，
∴或，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键．
【例3】（2022·辽宁·统考中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2)P点的横坐标为或
(3)Q点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)

【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），由面积关系求出P点的横坐标；
（3）分类讨论①当△CDF∽△QAE时， ；②当△CDF∽△AQE时，；③当△CDF∽△EQA时， ；④当△CDF∽△QEA时， ．分别求出点Q的坐标．
（1）
解：将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）
将A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），
过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，

设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为或；
（3）
∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
【例4】（2022·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数表达式及点的坐标；
(2)若四边形为矩形，．点以每秒1个单位的速度从点沿向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点沿向点运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以、、为顶点的三角形与相似时，求运动时间的值；
(3)抛物线的对称轴与轴交于点，点是点关于点的对称点，点是轴下方抛物线图像上的动点．若过点的直线与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、相交于点、，求证：为定值．
【答案】(1)；顶点为
(2)或
(3)见解析

【分析】（1）设二次函数表达式为：，将、代入，进行计算即可得，根据二次函数的性质即可得；
（2）依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为，分情况讨论：①当时，②当时，进行解答即可得；
（3）根据对称的性质得，根据直线与抛物线图像只有一个公共点，即可得，利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，联立，结合已知，解得：，同理可得：，运用三角函数求出GH，GK即可得．
【详解】（1）解：设二次函数表达式为：，
将、代入得：
，
解得，，
抛物线的函数表达式为：，
又 ，，
顶点为；
（2）解：依题意，秒后点的运动距离为，则，点的运动距离为．
①当时，
，
解得；
②当时，
，
解得；
综上得，当或时，以、、为顶点的三角形与相似；
（3）解：点关于点的对称点为点，
，
直线与抛物线图像只有一个公共点，
只有一个实数解，
△，
即：，
解得：，
利用待定系数法可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，
联立，结合已知，
解得：，
同理可得：，
则：，，
，
的值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点和的横坐标是解题的关键．
培优训练


一、解答题
1．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；
(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)不能，理由过程见详解
(3)(1,4)或者()

【分析】（1）根据抛物线对称轴即可求出b，再根据抛物线过B点即可求出C，则问题得解；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，根据等边三角形的性质即可求出P点坐标，再验证P点是否在抛物线上即可求证；
（3）先根据PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根据（2）中的结果求得OC=4，根据B点(2,0)，可得OB=2，则有tan∠CBO=2，分类讨论：第一种情况：△BMH∽△CMP，即可得，即P点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(1,4)；第二种情况：△BMH∽△PMC，过P点作PG⊥y轴于点G，先证明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，设GP=a，则GC=，即可得PH=OG=+4，则有P点坐标为(a,+4)，代入到抛物线即可求出a值，则此时P点坐标可求．
【详解】（1）∵的对称轴为，
∴，即b=2，
∵过B点(2,0)，
∴，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：；
（2）△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，

∵当x=0时，，
∴C点坐标为(0,4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO=DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，
∴P点坐标为(,1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
（3）∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，
即OC=4，
∵B点(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时，，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1,4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，

∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P点坐标为(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P点在第一象限，
∴a=，
∴，
此时P点坐标为()；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()．
【点睛】本题考查了求解抛物线解析式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似三角形的性质、解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
2．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点．

(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或

【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；
（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；
（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．
【详解】（1）解：由翻折可知：.
令，解得：，，
∴，，
设图象的解析式为，代入，解得，
∴对应函数关系式为= ．
（2）解：联立方程组，
整理，得：，
由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，
由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象有三个交点；
（3）解：存在．如图1，当时，，此时，N与C关于直线x= 对称，
∴点N的横坐标为1，∴；
如图2，当时，，此时，点纵坐标为2，
由，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以；
如图3，当时，，此时，直线的解析式为，
联立方程组：，解得，（舍），
∴N的横坐标为，
所以，
因此，综上所述：点坐标为或或．

【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度．
3．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴             
解得             
∴此抛物线的解析式为：            
（2）当时，，所以，OB=OC=3，
∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，
∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，解得，，（舍去），把代入得，，则P点坐标为，

当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，则P点坐标为；

当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为；

综上，P点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，连接，且．

(1)求抛物线解析式．
(2)点是抛物线上的一点．
①当点在第一象限时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，连接，当和相似时，求点的坐标．
②当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①或；②或

【分析】（1）先根据直线的解析式求出点和的坐标，再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）①设出点的横坐标为，用的代数式表示和，然后根据相似三角形的两种情况，由两组对应角相等，利用相等的三角函数值列出关于的方程即可；
②过点作平分，交拋物线于点，过点作轴，交于点，可得到，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，可确定点G的坐标，进而求出直线BG与抛物线的交点坐标，便可得出其中一个满足条件的点坐标；利用翻折，设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，进而求得直线BN与抛物线的交点坐标，便可得出另一个满足条件的点坐标．
【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于、两点，
当时，，
∴，，
当时，得，解得：，
∴，，
∵，设，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线经过、两点，与轴负半轴交于点，
∴，
解得：．
∴拋物线的解析式为．
（2）①设，
∵轴交于点，轴交于点，
∴，
∴ ，，
∴，
∵，
∴和相似分以下两种情况：
当时，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上所述，当和相似时，点的坐标为或．
②如图，过点作平分，交拋物线于点，
∴，
∴，
过点作轴，交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点G的坐标为，
又∵，
设直线BG的解析式为，
∴，
∴直线BG的解析式为，
由，
解得：，，
∴；
将直线沿轴翻折，交拋物线于点，
∴，
设与轴的交点为点，关于轴的对称点为，
∵直线BG的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴设直线BN的解析式为，
∴
∴，
由，
解得：，，
∴．
综上所述，当时，点坐标为或．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，根据解析式表示点的坐标，再由点的坐标表示线段的长，利用等量关系列方程或方程组求解，利用方程组确定两个函数图像的交点．分类讨论的应用是解题的关键．
5．（2022·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为．二次函数的图象经过点A，B，且x轴的交点为E，F．点P在线段上运动，过点O作于点H．直线交直线于点D，连接．

(1)求，的值及点E和点F的坐标；
(2)在点P运动的过程中，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到的中点时，能否将绕平面内某点旋转后使得的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，，；
(2)当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；
(3)旋转中心M的坐标为或或或．

【分析】（1）先由点B的坐标和正方形的性质得到点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入函数解析式，求得b和c的值，得到二次函数的解析式，再令求得点E和点F的坐标；
（2）分三种情况讨论，①当点P在线段上，由结合三角形相似得到与全等，求得，即可得到点P的坐标；②点P在线段上，通过与相似，以及和全等即可求得点P的坐标；③点P在线段上通过与相似，以及与全等得到点P的坐标；
（3）分四种情况讨论，设绕点M顺时针旋转得到，且点、两点在抛物线上，设，则，，然后将、代入抛物线的解析式，求得x、y的值，最后通过即可求得点M的坐标．同法可求得其他情况下点M的坐标．
【详解】（1）解：∵正方形的边，分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，
∴A，C，
将点A，B分别代入，得
，解得：，
∴二次函数的解析式为，
令，则，
解得：或，
∴点E，F；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
①当点P在线段上时，如图所示，

则，，
∵与相似，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②点P在线段上时，如图所示，

∵，，
∴，
∵与相似，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍）或，
∴点P的坐标为；
③点P在线段上时，如图所示，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴点P的坐标为；
综上所述，当与以A，B，D为顶点的三角形相似时，点P的坐标为或或；
（3）解：①绕点顺时针旋转时，点A与点B重合，点O与点A重合，
∵点A和点B在x轴上方的抛物线上，
∴旋转中心M的坐标为；
②绕点M逆时针旋转时，点O与点B重合，
∵点A和点B在x轴上方的抛物线上，
∴旋转中心M的坐标为；
③如图3所示，设绕点M顺时针旋转得到，且点、两点在抛物线上，

设，则，，
∴，解得：，
∴，
过点M作轴，交于点H，交于点G，连接、，
则，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，解得：，
∴点M的坐标为；
④如图4所示，设绕点M逆时针旋转得到，且、两点在抛物线上，

设，则，，
同③理可证，M的坐标为；
综上所述，旋转中心M的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、正方形的性质、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质，会用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
6．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为，对称轴与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为轴正半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，与抛物线的对称轴交于点，连接．
①若与相似，求点的坐标；
②若点在轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时有一边与线段具有对称性，我们把这样的点称为“对称点”，请直接写出“对称点”的坐标．
【答案】(1)
(2)①M点的坐标为或 ；②M点的坐标为或或

【分析】（1）利用待定系数法去求抛物线解析式；
（2）①先求出抛物线的对称轴为，作直线于点D，作于E，根据相似三角形的判定和性质进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时进行求解即可；
②先确定进行如下的分类讨论即可：（1）当时，（2）当时，（3）当时进行求解即可．
【详解】（1）将点，分别代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①抛物线的对称轴为直线，
作直线于点D，作于E，
∵，
∴当，即，
∴，如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
∴当，即，
∴，如图2，
同理可得，
∴，
而，
∴，
此时M点的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或；
②∵，
∴，
当时，，此时点M的坐标为；
当时，点N与点P重合，则，
∴，此时M点的坐标为；
当时，在中，，
∵，
∴，即，
解得，此时点M的坐标为，
综上所述，M点的坐标为或或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似三角形的判定和性质进行几何计算；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
7．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于两点．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)在坐标轴上是否存在点D，使得是以线段为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点P是线段上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作轴于点C，交于点N，若的面积满足，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，D点坐标为或或
(3)，M点坐标为

【分析】（1）利用待定系数法来求解；
（2）分两种情况来求解：点D在x轴上和点D在y轴上．当点D在x轴上时，过点A作轴于点D，易求D点的坐标；当点D在y轴上时，设，在中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；
（3）过P作于点F，易证，从而得到，在中和在中利用三角函数得出，设，则，利用和之间的面积关系，进而表示出M的坐标，再根据M点在抛物线上求出a的值，进而得到答案．
【详解】（1）解：∵两点在抛物线的图像上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为；
（2）解：存在三个点满足题意，理由如下：当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵，∴D坐标为；
当点D在y轴上时，设，则，且，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，解得，或
∴D点坐标为或；综上可知存在满足条件的D点，其坐标为或或；
（3）解：如图2，过P作于点F，

∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，设，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴M点坐标为，
又M点在抛物线上，代入可得，
解得或（舍去），
，，∴点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数图像综合问题，涉及三角函数的计算及相似三角形的判定及性质的运用，能够熟练运用数形结合思想是解题关键．
8．（2022·山东济南·统考一模）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，B两点坐标分别是，，连接．

(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接BP，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点不在抛物线的对称轴上，理由见解析
(3)

【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为，可证明，继而可证，则将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，可证，可得点D横坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；
（3）先求出过点、的直线解析式，分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，再证明，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：点不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为，

∴点坐标为．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴将沿所在直线折叠，点一定落在直线上，
延长至，使，过点作轴交轴于点．
又∵，
∴，
∴，则点横坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴点不在抛物线的对称轴上．
（3）解：设过点、的直线表达式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴过点、的直线解析式为．
过点作轴的垂线交的延长线于点，
∵当时，，
∴点坐标为，
∴．
过点作轴的垂线交于点，

设点坐标为，则点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴．
若分别以、为底计算和的面积（同高不等底），
则与的面积比为，即，
∴．
∵，
∴当时，的最大值为，此时点坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示相关线段的长度．
9．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
　
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标；
(3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)

【详解】（1）解：将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
∴点B坐标为．
将代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴当时， ，
此时；
当时， ，
如图，当时，，

∴点B，N关于抛物线对称轴对称，
∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点B坐标为，
∴点N坐标为，
∴点M坐标为；
如图，当时， ，作轴于点C，

设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得或0（舍去），
∴点M坐标为；
综上所述，点M坐标为或；
（3）解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∴翻折后顶点坐标为，
当点A为最低点时，，解得，
令，
解得，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握相似三角形的性质，通过分类讨论求解．
10．（2022·辽宁丹东·校考一模）已知抛物线经过点，，与x轴交于另一点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且，求直线的表达式；
(3)在抛物线上是否存在点D，直线交x轴于点E，使与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）令求抛物线与x轴的交点C的坐标，作和的高线，根据面积相等可得，证明，则，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；
（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与有可能相似，即和，
①当与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角，可得，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；
②当与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．
【详解】（1）解：把点代入，得
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得：或4，
∴，
如图1，过O作于E，过C作于F，设交x轴于G，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，过P作轴于M，
，
∴，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴，
∴，
设直线AP的解析式为，
∴，
∴
∴；
（3）解：以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有共4个，其中重合，不符合条件，不能构成三角形，
∴当与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：和，
①当与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴由待定系数法可求的解析式为：，
则，
（舍），，
∴；
②当与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，

∵，
∴当时，，
∴，
设，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴或，
∵，或是钝角，此时与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，

∴；
由待定系数法可求的解析式为：，
，
或0（舍）
∴；
同理可得E在C的右边时，，
∴，
设，
中，由勾股定理得：，
∴，
，
，
∴（舍）或，
∵，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，
综上，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，一元二次方程的解法，三角形面积以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键．
11．（2022·宁夏银川·校考三模）如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A、B的坐标为、，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿向终点A运动，点N沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，已知动点运动了x秒．

(1)用含x的代数式表示P的坐标．
(2)设四边形的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值．
(3)是否存在x的值，使以 P 、A 、M 为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，y的最小值为
(3)存在，见解析

【分析】（1）根据矩形的性质求出C点坐标，利用待定系数法求出的解析式，求出的长度表达式即为P点横坐标，代入解析式即可求出P点的纵坐标，从而得到P点坐标表达式；
（2）求出的长度表达式，根据三角形的面积公式求出的面积表达式，用的面积减去的面积的表达式即为四边形的面积表达式，再根据二次函数的最值求法解答；
（3）先假设以P、A、M为顶点的三角形与相似，再根据相似三角形的性质进行计算，若能求出x，则存在；否则不存在
【详解】（1）∵四边形是矩形，点A、B的坐标为、，
∴C的坐标为
设的解析式为
将点、代入得：
，
解得：
则的解析式为
∵
∴
则点P的坐标是
（2）∵，
∴，
∴



∴当时，y的最小值为
（3）存在，理由如下：
在中，
则，即
解得，且
若时，，即
解得
若时，，即
解得
综上所述，当秒或秒时以P 、A 、M 为顶点的三角形与相似
【点睛】本题考查了动点问题与相似三角形的性质，根据题意，逐步解答，充分利用前一问题的结论是解题的关键，同时要注意分类讨论
12．（2022·河南郑州·统考一模）已知，二次函数的图象与轴交于A，两点（点A在点的左边），与轴交于点，点A的坐标为，且．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？
(3)设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)函数的最大值为5，最小值为
(3)存在，或

【分析】（1）先求出点C的坐标，得到点B的坐标，再将点A、B的坐标代入解析式计算即可；
（2）将函数解析式化为顶点式，根据函数的性质解答即可；
（3）存在点，设，根据相似三角形对应边成比例列得，代入数值求出m即可．
【详解】（1）二次函数的图象与轴交于点，．
，点在点的左边，．
又点A的坐标为，
由题意可得：，解得：．
二次函数的解析式为．
（2） ，二次函数顶点坐标为，
当时，，
当时，随着的增大而减小，
当时，，
当时，随着的增大而增大，
当时，．
当时，函数的最大值为5，最小值为．
（3）存在点，如图，设，

，且与是相似三角形的对应边，
，即：，
解得：或，
或．
【点睛】此题考查了二次函数与图形问题，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，相似三角形的性质，二次函数的最值，正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
13．（2022·四川成都·成都市树德实验中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于三点．

(1)求证：；
(2)点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②点是的中点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或．

【分析】（1）分别计算三点的坐标，再利用勾股定理求得的长，最后利用勾股定理逆定理解题；
（2）①先解出直线的解析式，设，得出，由，得出利用二次函数的配方法求最值；
②根据直角三角形斜边的中线性质，解得的长，再证明，再分两种情况讨论以点为顶点的三角形与相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可．
【详解】（1）解：令，得，
，
令得，
，
，
，，
，
，
，
，
（2）①设直线的解析式为：，代入，得
，
，
，
设，
，
，
∴，
∴，
，


，
，
，
，
，
即的最大值为9；
②点是的中点，
在中，，
即为等腰三角形，

，
，
，
，
，
若以点为顶点的三角形与相似，
则①，
，
又，
，
，
，，
，
，，
或，
经检验：不符合题意，舍去，
②，
又，
，
，
，
整理得，，
，，
或，
同理：不合题意，舍去，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，掌握相关知识是解题关键．
14．（2022·湖南长沙·校考三模）如图1，已知二次函数的图象的顶点为，且经过点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)过点A的直线与二次函数图象的另一交点为B，与y轴交于点C，若的面积是的两倍，求直线AB的解析式；
(3)如图2，已知，是x轴上一动点（E，O不重合），过E的两条直线，与二次函数均只有一个交点，且直线，与y轴分别交于点M、N．对于任意的点E，在y轴上（点M、N上方）是否存在一点，使恒成立．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，

【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据的面积是的两倍，得到的横坐标的绝对值是的两倍，根据在抛物线上，求出的坐标，待定系数法求直线解析式即可；
（3）根据过的直线与抛物线只有一个交点，设直线的解析式为：，利用E点坐标得出：，联立两个函数，根据，列出一元二次方程，根据根与系数的关系得到两条直线之间的关系式，设出和利用，对应边对应成比例，求解即可．
（1）
解：设抛物线的解析式为：，
∵抛物线的顶点为，
∴，
将点代入得：，
解得：，
∴；
（2）
解：设
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
当时：，
当时：，
设直线的解析式为：，
当时：
，解得：，
∴；

当时：
，解得：，
∴；

综上：或；
（3）
解：存在，
设过点的直线的解析式为：，
则：，
，
∴，
∵直线与抛物线只有一个交点：
∴，整理得：，
，
设的两个根为：，
∴，
设直线为：，则：，
设直线为：，则：，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴存在，当时，恒成立．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．
15．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过三点．

(1)求出抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标；
(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)符合条件的点P为或．

【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为，再根据过两点，即可得出结果．
（2）先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交于E，再由题意可求得直线的解析式为，即可求出E点的坐标，再利用面积公式列函数关系式，利用二次函数的性质得出结果即可．
（3）首先判断出存在，首先设出的坐标，，再分两种情况进行讨论，当时，当时 ，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵该抛物线过点，
∴可设该抛物线的解析式为． 将代入，
得   
解得  
∴此抛物线的解析式为
（2）如图，设D点的横坐标为，则D点的纵坐标为，

过D作y轴的平行线交于E，而
设直线为：
∴ 解得：
∴直线的解析式为．
∴E点的坐标为
∴
∴

∴当时，面积最大，此时  
∴
（3）存在．如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为，
当时，，

又∵，
∴①当 ，
∵C在抛物线上，
∴
∴，
即
解得（舍去），
∴
②当 时，△APM∽△CAO，
即．
解得（均不合题意，舍去）
∴当时，，
如图，当时，，

① 或② ，
当 时，则，
解得： （都不符合题意，舍去）
当时，则，
解得：（不符合题意舍去）
此时 则，
综上所述，符合条件的点P为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
16．（2022·广东深圳·深圳市海滨中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，－2）．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；

(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)
(2)
(3)存在，或（．

【分析】（1）把点的坐标直接代入函数解析式，计算即可；
（2）用二次函数的解析式表示点D的坐标，用点D的表示线段的比值，构造出二次函数，用二次函数的最值求解即可；
（3）分点P在直线BQ的左右两侧求解即可．
（1）
解：∵，，点，
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x－4)，
∴－2=－4a，
解得a=，
∴y=(x+1)(x－4)，
∴．
（2）
解：过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K，

∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴．
∴．
∴当时，有最大值，最大值是．
（3）
解：符合条件的点P的坐标为或（．
∵，
∴直线l的解析式为，
设，
①当点P在直线右侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，
∴，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
∴．

②当点P在直线左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为．
此时点P的坐标为．
综合所述，存在这样的点P，且坐标为或（．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，最值的应用，一次函数解析式的确定，平行线的性质，三角形的相似，存在性问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活用点的坐标表示比值构造二次函数，活用分类思想是解题的关键．
17．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考三模）已知抛物线：与轴交于点，过点与点的直线与交于点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)如图，若点为直线下方的上一点，求点到直线的距离的最大值；
(3)如图，将直线绕点顺时针旋转后恰好经过的顶点，沿射线的方向平移抛物线得到抛物线，的顶点为，两抛物线相交于点设交点的横坐标为若，求的值．
【答案】(1)y=x+2
(2)
(3)

【分析】（1）先根据抛物线的函数表达式求出点A的坐标，再将点A的坐标和（1，3）代入y=kx+b，即可求出直线AB的函数表达式；
（2）过点P作交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，易证△MPQ为等腰直角三角形，分别表示出点P和点Q的坐标，求出PQ的最大值，当PQ取最大值时PM也取最大值，
（3）过点E作，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，易证△APE～△DEQ，将点D的坐标用m表示出来，根据即可求出m的值．
（1）
解：当x=0时，，
∴A（0，2），
设直线AB的函数表达式为：y=kx+b，
把A（0，2）和（1，3）代入y=kx+b，
，解得：，
∴直线AB得函数表达式为：y=x+2．
（2）
将抛物线的函数表达式整理为一般式为：，
如图，过点P作交直线AB于点Q，过点P作PM⊥AB，垂足为点M，

设点P的坐标为（a，），
∵，
∴点Q的横坐标为a，
∵点Q在直线AB上，
∴点Q的坐标为（a，a+2），
∴，整理得：，
当a=时，PQ有最大值，最大值为，
∵直线AB与竖直方向得夹角为45°，
∴∠MQP=45°，
∴△MPQ为等腰直角三角形，
∴PM=，
当PQ取最大值时，PM也取最大值，
∴PM的最大值为：，
（3）
∵抛物线的函数表达式为：，
∴顶点C（1，1），
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b，将点C和点A的坐标代入得：
，解得：，
∴直线AC的函数表达式为：y=-x+2，
设点D的横坐标为b，
∵点D在直线AC上，
∴点D的纵坐标为-b+2，即D（b，-b+2），
∴的函数表达式为：，
E的横坐标为m，
∵点E在抛物线上，
∴点E的纵坐标为：，
∵点E也在抛物线上，
∴点E的纵坐标为：，
∴=，
整理得：解得：b=2m或b=1（舍），
∴D（2m，-2m+2），

过点E作，交x轴于点P，过点D作DQ⊥PQ，垂足为Q，
∵∠AED=90°，∠EPA=90°，
∴∠AEP+∠DEQ=90°，∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠DEQ=∠EAP，
在△APE和△DEQ中，
∠DEQ=∠EAP，∠APE=∠DQE，
∴△APE～△DEQ，
∴，
∵A（0，2），E（m，），D（2m，-2m+2），
∴PE=m，EQ=m，
DQ=，
AP=，
∴，整理得：，
解得：或（舍）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的性质于判定，熟练掌握相关内容，根据函数的表达式将点的坐标用同一个参数表示以及构造相似三角形是解题的关键．
18．（2022·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考三模）已知抛物线与轴的交点为点、点且，点是抛物线的一个动点不与点、重合，作轴于点，线段的最大值是．

(1)求抛物线的解析式．
(2)当点运动到什么位置时，图中的矩形是正方形？并求出点的坐标．
(3)是否在此抛物线上存在点使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)A的坐标为
(3)存在，（2，4）或

【分析】（1）先求出点O，E，P的坐标，利用待定系数法求解即可．
（2）设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形，利用正方形的边长相等求解．
（3）分两种情况：①当∠BAO=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；②当∠AOB=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；利用比例式求解．
（1）
解：∵抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E，且OE=4，
∴O（0，0），E（4，0），
∵AB⊥x轴于点B，线段AB的最大值是PM=4．
∴P（2，4），
∵抛物线OPE过原点，设它的解析式为，
把E（4，0），P（2，4），代入，得
，
解得：，
∴抛物线OPE的解析式为；
（2）
设当A的坐标为时，矩形ABCD是正方形，
∵OM=2，
∴,
BC=2BM=,
∵AB=,
∴,
解得（舍去）．
∴
∴A的坐标为
（3）
存在．
设点A的坐标为时，△ABO与△PMO相似，
①当∠BAO=∠MPO时，
∵
∴
解得x=2或x=0（舍去），
点A的坐标为（2，4）时，即与点P重合，
②当∠AOB=∠MPO时，
∴
∴
解得或（舍去），
∴，
∴A的坐标为，
综上所述，当A的坐标为（2，4）或时，△ABO与△PMO相似．
【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及三角形相似，二次函数解析式及正方形性质，解题的关键是利用三角形相似列出方程．
19．（2022·广东东莞·校考一模）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于、两点，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且，．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或

【分析】（1）由直线求出点，，过点作轴于，证明≌，根据全等三角形的性质得，，则，过点作轴于，则，，证明∽，根据相似三角形的性质得，可得，根据可求出，则，代入抛物线即可求解；
（2）由，可得，分两种情况：时，时．分别求解即可．
（1）
解：直线，与轴交于点，与轴交于点，
点，，
抛物线与轴交于点，
，
过点作轴于，

，，
，．
，
，
≌（AAS），
，，
，
过点作轴于，
，，，，
∽，
，
，
，
，解得，
，，
，
代入抛物线得，解得，
抛物线的解析式为．
（2）
解：，，
，
时，∽，

，
，
，
，，
，
，
设，
，解得或不合题意，舍去，
点的坐标为；
时，∽，

，
，，，，
，，，
，
，
设，
，解得或不合题意，舍去，
点的坐标为
综上，存在，点的坐标为或
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数数解析式、勾股定理，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
20．（2021·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线lBC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在．符合条件的点P的坐标为（）或（）．

【分析】（1）把点的坐标直接代入函数解析式，计算即可；
（2）用二次函数的解析式表示点D的坐标，用点D的表示线段的比值，构造出二次函数，用二次函数的最值求解即可；
（3）分点P在直线BQ的左右两侧求解即可．
（1）
解：∵，，点，
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4)，
∴-2=-4a，
解得a=，
∴y=(x+1)(x-4)，
∴．
（2）
解：过点D作轴于点G，交于点F，过点A作轴交的延长线于点K，

∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴．
∴．
∴当时，有最大值，最大值是．
（3）
解：符合条件的点P的坐标为或（．
∵，
∴直线l的解析式为，
设，
①当点P在直线右侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，
∴，
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
∴．

②当点P在直线左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为．
此时点P的坐标为．
综合所述，存在这样的点P，且坐标为为或（．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定，最值的应用，一次函数解析式的确定，平行线的性质，三角形的相似，存在性问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活用点的坐标表示比值构造二次函数，活用分类思想是解题的关键．
21．（2022·湖北襄阳·模拟预测）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点连接，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点，交于点，于点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)如图，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，坐标为或或或

【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解；
（2）求出直线的解析式为，设，则，由三角形面积可得出或，则可得出答案；
（3）分两种情况，①若，②若，由相似三角形的性质可求出的长，求出点坐标，联立直线和抛物线的解析式可求出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线y=a+bx-3交x轴于，两点，
∴ ，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴时，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
设直线AC的解析式为，
∴ ，
∴，
∴直线AC的解析式为，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：∵，，，
∴，，，
若以A，O，N为顶点的三角形与相似，可分两种情况：
①若，
∴，
∴，
∴，
过点N作于点K，

∴，
∴，
∴，
∴直线ON的解析式为，
∴ ，
∴，
∴或（；
②若，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理ON的解析式为，
∴ ，
∴，
∴或．
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知识是解题关键．
22．（2022·广东河源·统考二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线经过A，B两点，点C的坐标为，，点C关于点B的对称点M刚好落在抛物线上，连接AM．

(1)求点M的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)过点M作MD平行于y轴交AB于点D，若点E为抛物线上的一点，点F在x轴上，连接AE，AF，EF．是否存在点F使得△ADM与△AEF相似？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，

【分析】(1）先由“点C的坐标为，”这些条件求得B的坐标，再利用轴对称的性质从而得到点M的坐标；
(2）由“点C的坐标为，”这些条件先求得点A、B的坐标，将点A、C的坐标代入求解即可；
(3）先根据已知条件和前面的结论证明△ADM是顶角为120°的等腰三角形，然后再分类讨论求出所有可能的结果即可，点F在点A左侧的情况有四种结果，点F在点A右侧的情况有两种结果，共有6种结果．
(1)
解：∵，，
∴，，
∴．
∵M是C关于B的对称点，即B是CM的中点，
∴．
(2)
如下图，

∵C的坐标为，由（1）知，，
∴，．
∵抛物线经过A，B，M三点，
把点坐标分别代入，得
，解得，
∴．
(3)
解：存在点F使得△ADM与△AEF相似．
根据题意得，在△ABC中，，
，
分类讨论：有六种情况．
如图2，
①当，时，；
②当，时，；

如图3，
③当，时，；
④当，时，；

如图4，
⑤当，时，；

如图5，
⑥当，时，．

综上所述，点F的坐标共有6个：

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握轴对称的性质及二次函数的解析式的求法即待定系数法、相似三角形的判定是解题的关键．
23．（2022·青海西宁·统考二模）如图①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点M在第一象限抛物线的对称轴上，若点C在BM的垂直平分线上，求点M的坐标；
(3)如图②，过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，x轴上方的对称轴上是否存在一点P，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在P或，使以E，H，P为顶点的三角形与相似，

【分析】（1）根据顶点坐标设顶点式计算即可；
（2）根据点C在BM的垂直平分线上得CM=CB，用距离公式列方程计算即可；
（3）分别求出B、E、F、H的坐标，再利用相似三角形的性质计算即可，注意分类讨论．
【详解】（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），顶点为D（4，-1），
∴设抛物线解析式为
把C（0，3）代入得：
解得
∴抛物线解析式为
（2）令y=0得
解得
∴A点坐标为（2,0），B点坐标为（6,0）
∵抛物线对称轴为
∴设M点坐标为
∵点C在BM的垂直平分线上，
∴CB=CM
∴
解得：
∵M在第一象限
∴
∴M点坐标为
（3）∵B（6,0），C（0,3）
∴直线BC的解析式为
∵对称轴与直线BC交于点E，
∴E点坐标为（4,1）
∵过点E作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H，
∴H坐标为
∵F点坐标为（4,0）
∴EF=1,BF=2,EH=
设x轴上方的对称轴上的P点坐标为（4，n），n>0

∴PE=n-1
当时
∴
解得：
此时P点坐标为：
当时
∴
解得：
此时P点坐标为：
综上所述，存在P或，使以E，H，P为顶点的三角形与相似．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求二次函数的解析式、垂直平分线的性质，解题的关键是分类作出对应的图形利用相似三角形的性质求出点P．
24．（2022·山东泰安·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，D（-2，3）

【分析】（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图1，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，解直角三角形即可得到结论．
(1)
解：对于函数：y=x+2，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），C（0，2），
∵抛物线y=-x2+bx+c经过A．C两点，
∴，
∴b=-，c=2，
∴y=-x2-x+2；
(2)
解：①如图，令y＝0，
∴，
∴，，
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵B（1，0），
∴，
∴，
∵-