2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题05 填空题之分类讨论思想 (教师版)

这是一份2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题05 填空题之分类讨论思想 (教师版)，共31页。

专题05 填空题之分类讨论思想
【典型例题】
1．(2022·江西九江·九年级期末)如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，点P是射线BO上的一个动点，当△ACP为直角三角形时，则BP的长为______．

【答案】或或
【解析】
【分析】
分三种情况：①若∠ACP=90°，②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上，③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时，分别根据图形计算即可．
【详解】
解：在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O为AC的中点，
∴AO=1，BO=，
①若∠ACP=90°时，
∵∠OCP=∠OAB=90°，CO=AO，∠COP=∠AOB，
∴△OCP≌△OAB，
∴OP=BO，
∴BP=OP+BO=2；

②若∠APC=90°，且点P在BO延长线上时，
∵O为AC的中点，
∴OP=AC=1，
∴BP=OP+BO=；

③若∠APC=90°，且点P在线段BO上时，
∵O为AC的中点，
∴OP=AC=1，
∴BP= BO-OP=；

综上，线段BP的长为或或．
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，分类讨论是解题的关键．




【专题训练】
一、填空题
1．(2022·广东澄海·八年级期末)若△ABC的边AB=6cm，周长为16cm，当边________时，△ABC为等腰三角形．
【答案】6或5或4
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的三边关系可得答案.
【详解】
解： △ABC的边AB=6cm，周长为16cm，

当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，符合三角形的三边关系，
所以为6cm或5cm或4cm.
故答案为：6或5或4
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.
2．(2022·广东花都·八年级期末)已知一个等腰三角形一腰与另一腰上高夹角为20°，则这个等腰三角形的顶角为 _____°．
【答案】70或110
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行分析，画出图形分两种情况讨论即可解决问题．
【详解】
解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠BDC-∠ABD=90°-20°=70°；

②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，
∴∠BAC=∠ABD+∠ADB=20°+90°=110°．

故答案为：70或110．
【点睛】
此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．
3．(2021·重庆·八年级期中)在平行四边形中，，是边上的高，，则的度数为___．
【答案】或
【解析】
【分析】
结合已知条件利用三角形的内角和定理可得出或，又因为，推出的度数即可．
【详解】
解：情形一：当点在线段上时，如图所示，
是边上的高，，
，
，
；

情形二：当点在的延长线上时，如图所示，
是边上的高，，
，
，
．
故答案为：或．

【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余等知识，得出的度数是解题关键．
4．(2021·广东顺德·九年级期末)如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4．若D是BC边上的黄金分割点，则△ABD的面积为_____．

【答案】5﹣或3﹣5
【解析】
【分析】
过作于，先由等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，再求出的面积，然后由黄金分割的定义得或，进而得出答案．
【详解】
解：过作于，如图所示：

，
，
，
的面积，
是边上的黄金分割点，
当时，，
，
的面积；
当时，，
，
，
的面积；
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义和等腰三角形的性质．
5．(2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期末)等腰△ABC，AB＝AC，底角为70°，BD将△ABC分成两个三角形，当这两个三角形有一个是以BD为腰的等腰三角形时，则∠ADB的度数是_____．
【答案】110°或100°
【解析】
【分析】
根据题意，分量种情况讨论①当时，②若时，根据等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质求得的度数即可．
【详解】
解：如图，根据题意，
①当时，






②若时，如图，






综上所述，∠ADB的度数是110°或100°
【点睛】
本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，掌握等边三角形的性质并分类讨论是解题的关键．
6．(2021·广东越秀·一模)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是__________．

【答案】或
【解析】
【分析】
分两种情况：当点C在边AD上，当点C在边DE上，由旋转的性质及三角形内角和定理可求出答案．
【详解】
解：当点C在边AD上，如图1，

∵，
∴，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴，
如图2，当点C在边DE上，

∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴，
∴，
∴．
综合以上可得α的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查旋转的性质，三角形内角和定理．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．
7．(2022·广东揭西·九年级期末)在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是(2，3)，以原点O为位似中心把△ABC放大，使放大后的三角形与△ABC的相似比为3：1，则点A的对应点A′的坐标为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或进行解答．
【详解】
解：以原点为位似中心，把放大，使放大后的三角形与的相似比为，
则点的对应点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
8．(2022·广东花都·九年级期末)如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A(3，6)，则点C的坐标为 _____．

【答案】或
【解析】
【分析】
由位似知共有两种情况：情况①：由知如图，作，垂足分别为，有，，证明，可得，进而可知点坐标，情况②：由位似可知，在位似中心O的左侧仍存在，且此时的C点与情况①中的C点坐标关于原点O中心对称，进而可知C点坐标．
【详解】
解：由位似知共有两种情况：情况①：由知如图，作，垂足分别为

∵
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴点坐标为；
情况②：由位似可知，在位似中心O的左侧仍存在，且此时的C点与情况①中的C点坐标关于原点O中心对称
∴此时C点坐标为；
综上所述C点坐标为或
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了位似图形的点坐标．解题的关键在于对位似知识的熟练掌握．
9．(2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是BC边上一点，将ABE沿着直线AE折叠，得到AFE，当点F落到矩形的对角线上时，线段BE的长为________．

【答案】或
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理可得，然后分两种情况讨论：当点F落在BD上时；当点F落在AC上时，即可求解．
【详解】
解：在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
由勾股定理得： ，
如图，当点F落在BD上时，则AE⊥BD，

∴∠BAE+∠ABD=90°，
∵∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
如图，当点F落在AC上时，则AF=AB=3，EF=BE，

设 ，则 ， ，
∵AC=5，
∴CF=AC-AF=2，
在 中， ，
即 ，解得： ，
即 ．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10．(2021·广西·台州市书生中学模拟预测)如图，在中，，，，点是斜边上的动点且不与，重合，连接，点与点关于直线对称，连接，当垂直于的直角边时，的长为__．

【答案】1或3
【解析】
【分析】
先利用三角函数值和勾股定理求出AB=5，BC=3，然后进行讨论当和时，利用平行线和等腰三角形的性质与判定进行求解即可．
【详解】
解：，，∠C=90°
，
，
①如图1中，当时，设直线交于，
由轴对称的性质可知，直线平分，
∴平分，
，
∵AC⊥BC，，
，
，
，
；

②当于时，同法可证，
综上所述，满足条件的的值为1或3．
故答案为：1或3．

【点睛】
本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想进行求解．
11．(2021·浙江·杭州市丰潭中学二模)如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E是AD上一个动点，把△CDE沿CE向矩形内部折叠，当点D的对应点D′恰好落在矩形的内角平分线上时(∠DCD'为锐角)，则cos∠DCD'＝__________________．

【答案】或或或
【解析】
【分析】
根据D′恰好落在矩形的内角平分线上时，分四种情况，分别考虑，当D'落在∠BCD的平分线上，则∠DCD'=45°即可；当D'落在∠D的平分线上，则∠DCD'=90°，不符合题意；当D'落在∠ABC的平分线上，则∠D'BC=45°，当D'落在∠BAD的平分线上，则∠DAG=45°，都是在Rt△CD'H中，利用勾股定理列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：如图1，当D'落在∠BCD的平分线上，则∠DCD'＝45°，cos∠DCD'＝；

当D'落在∠D的平分线上，则∠DCD'＝90°，不符合题意，舍去；
如图2，当D'落在∠ABC的平分线上，则∠D'BC＝45°，
连接BD'，作D'H⊥BC于H，

设D'H＝t，则BH＝t，CH＝8﹣t，
在Rt△CD'H中，由勾股定理得：
t2+(8﹣t)2＝62，
解得：t＝4±，
∵D'H⊥BC，CD⊥BC，
∴∠DCD'＝∠CD'H，
∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝；
如图3，当D'落在∠BAD的平分线上，则∠DAG＝45°，
连接AD'，过D'作D'H⊥BC于H，延长HD'交AD于G，

设D'G＝t，则AG＝t，D'H＝6﹣t，HC＝8﹣t，
在Rt△CD'H中，由勾股定理得：
(6﹣t)2+(8﹣t)2＝62，
解得t1＝7+(不合题意，舍去)，t2＝7﹣，
∴D'H＝6﹣t＝﹣1，
∵D'H⊥BC，CD⊥BC，
∴∠DCD'＝∠CD'H，
∴cos∠DCD'＝cos∠CD'H＝，
综上所述：cos∠DCD'＝或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，以及三角形函数等知识，运用分类讨论思想，分别画出符合题意的图形是解题的关键．
12．(2021·全国·九年级单元测试)如图，在中，，将绕点B按逆时针旋转度()到，边和边相交于点P，边和边相交与点Q，当为等腰三角形时，则______．

【答案】或．
【解析】
【分析】
由题意过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转的性质和全等三角形的性质得到BP平分∠A'PC，再根据∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝(180°﹣∠C'PQ)＝90°﹣θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．
【详解】
解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
∴∠A′EB=∠ADB，
由旋转可得，A′B=AB，∠A′=∠A，
在△A′BE和△ABD中

△A′BE≌△ABD(AAS)，
∴BD＝BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C＝∠C'＝40°，∠BQC＝∠PQC'，
∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，
∴∠BPQ＝(180°﹣∠C'PQ)＝90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB＝PQ时，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝40°+θ，

∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，
∴90°﹣θ+2×(40°+θ)＝180°，
解得θ＝；
②如图所示，当BP＝BQ时，∠BPQ＝∠BQP，

即90°﹣θ＝40°+θ，
解得θ＝；
③当QP＝QB时，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，
又∵∠BQP＝40°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2(90°﹣θ)+40°+θ＝220°＞180°(不合题意)，
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．
13．(2022·江苏·无锡市江南中学八年级期末)如图，中，，是斜边上一个动点，把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，当平行于的直角边时，的长为______．

【答案】或
【解析】
【分析】
在Rt△ABC中，BC＝AC＝，于是得到AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD＝x，根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，推出A′C⊥AB，求得BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝．
【详解】
解：Rt△ABC中，BC＝AC＝，
∴AB＝2，∠B＝∠A′CB＝45°，
①如图1，

当A′D∥BC，设AD＝x，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴∠A′＝∠A＝∠A′CB＝45°，A′D＝AD＝x，
∵∠B＝45°，
∴A′C⊥AB，
∴BH＝BC＝1，DH＝A′D＝x，
∴x＋x＋1＝2，
∴x＝2-，
∴AD＝2-；
②如图2，

当A′D∥AC，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，
∵∠A′DC＝∠ACD，
∴∠A′DC＝∠A′CD，
∴A′D＝A′C，
∴AD＝AC＝，
综上所述：AD的长为：或．
【点睛】
本题考查了翻折变换−折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
14．(2022·浙江宁波·八年级期末)如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点(与点A，B不重合)，将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 _____．

【答案】或
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，AC=BC=1，所以∠CAB=∠B=45°，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，分两种情况讨论①AF=FD时，AF=AC=×1=；②AF=AD时，AF=．
【详解】
解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF=AC=×1=；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD=，
∴AF=AD=，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正确利用旋转原理和直角三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键．
15．(2022·浙江余姚·八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点在直线：上，点在直线：上，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为__________．

【答案】或
【解析】
【分析】
如图，过点作轴，垂足为，过点作于点，证明，设，根据，列出二元一次方程组，解方程组求解即可．
【详解】
如图，过点作轴，垂足为，过点作于点，

是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
,,






依题意，设，则,
,
，
解得
如图，当点在第二象限时，过点作轴，垂足为，过点作于点，

同理可得

则,
,
，
解得
或
或
故答案为：或
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解二元一次方程组，分类讨论是解题的关键．
16．(2020·广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中)如图，平面直角坐标系内有一点A(2，－2)，点O是原点，点P是x轴上一动点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么点P的坐标为_______．

【答案】(，0)或(4，0)或(－2，0)或(2，0)
【解析】
【分析】
根据题意分类讨论，①OA为等腰三角形底边，②OA为等腰三角形一条腰，根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】
解：设，
A(2，－2)

如图：①OA为等腰三角形底边，
即

解得
符合条件的动点P有一个，即(2，0)；
②OA为等腰三角形一条腰，
当时，
即
解得
当时，

解得或(舍去)
符合符合条件的动点P有三个即(－2，0)，(2，0)，(4，0)．
综上所述，符合条件的点P的坐标是：(，0)或(4，0)或(－2，0)或(2，0)．
故答案为：(，0)或(4，0)或(－2，0)或(2，0)．

【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，根据等腰三角形的性质求解．
17．(2022·河南淇县·八年级期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是__．

【答案】110°或80°
【解析】
【分析】
分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝ (180°﹣40°)＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是110°或80°，
故答案为：110°或80°．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，全三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
18．(2022·河南·郑州外国语中学九年级期末)如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，FD的长是______．

【答案】或
【解析】
【分析】
分∠DA'F= 90°和∠A'FD= 90°两种情况，再根据折叠的性质加以分析即可；
【详解】
在矩形ABCD中，，，
∵将沿EF所在直线翻折，得到，
∴
如图①所示，当∠DA'F= 90°时，

∴. E，A'，D在同一直线上，
∵点E是AB的中点，
∴
在中，，
∴，
∵，
∴
∴，即
∴
如图②所示，当∠A'FD= 90°

∴，
∵折叠
∴
∴
∴
∴
综上所述：或；
故答案为：或
【点睛】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
19．(2021·浙江诸暨·八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点A在线段上且满足，B点是x轴上一点，当是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为______．

【答案】或或
【解析】
【分析】
根据y=-x+3可求出点M，N的坐标，过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点 F，由AN=2AM可得，段可得AF=2AE，设A(x，-x+3)，得-x+3=2x，求出x的值，得点A坐标，求出AO的长，再根据是以OA为腰的等腰三角形可得点B坐标．
【详解】
解：由令当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，
∴M(0，3)，N(3，0)
∴OM=ON=3
过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点 F，

∵AN=2AM
∴
∴AF=2AE，
设A(x，-x+3)，
∴-x+3=2x，
解得，x=1，-x+3=2
∴A(1，2)
∴
∵是以OA为腰的等腰三角形
∴点B的坐标为：或或
故答案为或或．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等妥三角形的判断，求出点A坐标是解答本题的关键．