2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题12 一次函数与几何综合问题(教师版)

这是一份2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题12 一次函数与几何综合问题(教师版)，共46页。
备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题12 一次函数与几何综合问题
【典型例题】
1．(2022·四川成都·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C(3，0)(A点在C点的左侧)，连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO≌△DAC，直线BD交x轴于点E．

(1)求直线AD的解析式；
(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；
(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．
【答案】(1)y＝2x﹣4
(2)1或
(3)G(，3﹣3)或G(，﹣3﹣3)
【解析】
【分析】
( 1)由△ABO≌△DAC，得到OC＝OA+AC＝OA+OB，再由已知求出AO＝2，OB＝1，即可得到A(2，0)，D(3，2)，用待定系数法求直线AD的解析式即可；
(2 )由题意可知只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，分两种情况求解即可；
( 3)设G(n，2n﹣4)，P(m，m+1)，Q(3，p)，AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，列出方程组，解得n＝或n＝．
(1)
∵△ABO≌△DAC，
∴AC＝OB，AO＝CD，
∵C(3，0)，
∴OC＝3，
∵OC＝OA+AC＝OA+OB，
又∵AO＝2BO，
∴AO＝2，OB＝1，
∴B(0，1)，A(2，0)，
∴CD＝2，
∴D(3，2)，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，∴，
∴直线AD的解析式为y＝2x﹣4；
(2)
设BD的解析式为y＝ax+c，
把B(0，1)，D(3，2)代入y＝ax+c，得
，∴，
∴BD的解析式为y＝x+1，
令y=0，则x+1=0
∴x=-3
∴E(﹣3，0)，
∴AE＝2+3=5，AD＝，ED＝2，AC＝1，
∵F点在直线AD上，
∴设F(t，2t﹣4)，
∴AF＝|t﹣2|，
∵∠DAC＝∠EDA+∠DEA，
∴△ACF与△ADE相似时，只有△ACF∽△ADE和△ACF∽△AED两种情况，此时F点必在x轴下方，
∴t＜2，
①当△ACF∽△ADE时，＝，
∴＝，
∴t＝3(舍)或t＝1；
②当△ACF∽△AED时，＝，
∴，
∴t＝或t＝(舍)；
综上所述：t的值为1或；
(3)
设G(n，2n﹣4)，P(m，m+1)，Q(3，p)，
∵四边形AQPG是菱形，
∴AP、GQ为菱形对角线，AG＝AQ，
∴，
解得n＝或n＝，
∴G(，3﹣3)或G(，﹣3﹣3)．
【点睛】
本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，三角形相似的判定及性质，分类讨论，准确地计算是解题的关键．




【专题训练】
一、 选择题
1．(2022·山东龙口·七年级期末)对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是(       )
A．它的图象必经过点(1，3) B．y的值随x值的增大而增大
C．当x＞0时，y＜0 D．它的图象与x轴的交点坐标为(，0)
【答案】D
【解析】
【分析】
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出一次函数y=-3x+1的图象不经过点(1，3)及一次函数y=-3x+1的图象与x轴的交点坐标为(，0)；由k=-3＜0，利用一次函数的性质可得出y的值随x的增大而减小；代入x＞0可得出y＜1．
【详解】
解：A．当x=1时，y=-3×1+1=-2，
∴一次函数y=-3x+1的图象不经过点(1，3)，该选项不符合题意；
B．∵k=-3＜0，
∴y的值随x的增大而减小，该选项不符合题意；
C．∵当x=0时，y=-3×0+1=1，即经过点(0，1)，且k=-3＜0，
∴当x＞0时，y＜1，该选项不符合题意；
D．当y=0时，-3x+1=0，解得：x=，
∴一次函数y=-3x+1的图象与x轴的交点坐标为(，0)．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
2．(2022·江苏溧阳·八年级期末)如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM 与△AOB全等时，移的时间t是(     )

A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
【答案】D
【解析】
【分析】
先求解的坐标，再利用全等三角形的性质求解 再结合轴对称的性质可得答案.
【详解】
解： 直线与x轴、y轴交于A、B两点，
令 则
令，则

而

当时， 而


如图，当关于轴对称时，
此时

此时

故选：D
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，熟悉全等三角形的基本图形是解本题的关键.
3．(2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末)数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A(3，2)，B(-1，-6)，由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P(2a，4a-4)在该函数图象上； ④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
【分析】
已知一次函数过两个点A(3，2)，B(-1，-6)，可以用待定系数法求出关系式；根据关系式可以判定一个点(已知坐标)是否在函数的图象上；根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k＞0，y随x的增大而增大；根据关系式可以求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而可以求出直线AB与坐标轴围成的三角形的面积，最后综合做出结论．
【详解】
解：设一次函数表达式为y=kx+b，将A(3，2)，B(-1，-6)代入得：
，
解得：k=2，b=-4，
∴关系式为y=2x-4，故结论①是正确的；
由于k=2＞0，y随x的增大而增大，故结论②也是正确的；
点P(2a，4a-4)，其坐标满足y=2x-4，因此该点在此函数图象上；故结论③也是正确的；
直线AB与xy轴的交点分别(2，0)，(0，-4)，
因此与坐标轴围成的三角形的面积为：×2×4=4≠8，故结论④是不正确的；
因此，不正确的结论是④；
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求函数关系式，一次函数的性质，一次函数图象的点的坐标特征，以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，进而求出三角形的面积等知识点，在解题中渗透选择题的排除法，验证法．
4．(2022·江苏启东·八年级期末)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为(0，4)，(8，0)，(8，2)，点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为(       )

A．(2，0) B．(3，0) C．(4，0) D．(5，0)
【答案】C
【解析】
【分析】
先分析四边形APQE的周长最小，则最小，如图，把沿轴正方向平移2个单位长度得作关于轴的对称点 则 连接交轴于 则 所以当重合时，最小，即最小，再利用一次函数的性质求解一次函数与轴的交点的坐标即可得到答案.
【详解】
解： 四边形APQE的周长
PQ＝2，
是定值，
所以四边形APQE的周长最小，则最小，
如图，把沿轴正方向平移2个单位长度得 则
则

作关于轴的对称点 则
连接交轴于 则
所以当重合时，最小，即最小，
设的解析式为：
解得：
所以的解析式为：
令 则 则 即

故选C
【点睛】
本题考查的是利用轴对称的性质求解四边形的周长的最小值时点的坐标，平移的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握Q的位置使周长最小是解本题的关键.
二、填空题
5．(2022·江苏滨湖·八年级期末)如图，直线y＝﹣x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为 _____．

【答案】5
【解析】
【分析】
先求直线与两轴的交点点A(6，0)，点B(0，8)，然后利用勾股定理求出AB，利用直角三角形斜边中线性质计算即可．
【详解】
解：∵直线y＝﹣x+8与坐标轴分别交于A、B两点，
∴令x=0，y=8，令y=0，﹣x+8=0，解得x=6，
∴点A(6，0)，点B(0，8)，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理AB=，
∵P是AB的中点，∠AOB=90°，
∴OP=，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查一次函数与两轴交点问题，勾股定理，直角三角形斜边中线，掌握一次函数与两轴交点问题，勾股定理，直角三角形斜边中线是解题关键．
6．(2021·山东济阳·八年级期中)如图，一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据∠OPC＝45°，PC＝PO，证明∠BPC=∠AOP，从而证明△BPC≌△AOP，得到PB=AO=2，过点P作PD⊥y轴，求得PD，BD，DO，根据点所在象限即可确定点P的坐标．
【详解】
∵一次函数y＝x＋2的图像与坐标轴分别交于A，B两点，
∴A(-2，0)，B(0，2)，
∴OA=OB，
∴∠PAO=∠CBP=45°，
∵∠OPC＝45°，PC＝PO，
∴∠PCO=∠COP=67.5°，
∴∠BPC=∠AOP=22.5°，
∴△BPC≌△AOP，
∴PB=AO=2，
过点P作PD⊥y轴，垂注为D，

则PD=BD==，
∴DO=OB-BD=2-，
∵点P在第二象限，
∴点P(，)，
故答案为：(，)．
【点睛】
本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与象限和线段之间的关系，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点确定，灵活运用三角形全等的判定和性质是接退的关键．
7．(2021·湖北阳新·模拟预测)如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为(3，0)，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为_____．

【答案】(4，3)或(3，4)
【解析】
【分析】
求出的坐标，分平行轴，不平行轴两种情况，求解计算即可．
【详解】
解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
∴点B(0，3)
∵OB：OC=3：1
∴OC＝1，
∴点C(﹣1，0)；
①如图，当BD平行x轴时，以点为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形
则BD＝AC＝1+3＝4，则点D(4，3)；
②当BD不平行x轴时，则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，

∴直线DD′∥AB，
设直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入y＝﹣x+n中解得：n＝7，
∴直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′(m，7﹣m)，
∵A，B，D′为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝，
解得：m＝3，
故点D′(3，4)；
故答案为：(4，3)或(3，4)．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等，平行线的性质，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解．
8．(2022·山东龙口·七年级期末)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示放置，点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y＝kx+b(k＞0)和x轴上，已知点B1，B2，B3，B4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn的坐标为_____

【答案】(2n-1，2n-1)
【解析】
【分析】
由图和条件可知A1(0，1)A2(1，2)A3(3，4)，由此可以求出直线为y=x+1，Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为(2n-1)，然后就可以求出Bn的坐标．
【详解】
解：∵点B1(1，1)，B2(3，2)，
∴A1(0，1)，A2(1，2)，A3(3，4)，
∵直线y=kx+b(k＞0)经过A1(0，1)，A2(1，2)，
则，解得
∴直线y=kx+b(k＞0)为y=x+1，
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，
又An的横坐标为2n-1-1，所以纵坐标为2n-1，
∴Bn的坐标为(2n-1，2n-1)．
故答案为：(2n-1，2n-1)．
【点睛】
本题主要考查函数图象上点的坐标特征，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
三、解答题
9．(2022·江苏海州·八年级期末)已知直线l1经过点A(3，2)和点B(0，5)，直线l2：y＝2x﹣4经过点A且与y轴相交于点C．
(1)求直线l1的函数表达式；
(2)已知点M在直线l1上，过点M作MN//y轴，交直线l2于点N．若MN＝6，请求出点M的横坐标．
【答案】(1)y=-x+5
(2)1或5
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法确定直线l1的函数关系式；
(2)由已知条件设出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
(1)
解：设直线l1的表达式为y=kx+b，
则，
解得：．
∴直线l1的函数关系式为：y=-x+5；
(2)
解：∵直线l1的函数关系式为：y=-x+5，
设M(a，-a+5)，由MN//y轴，得N(a，2a-4)，
MN=|-a+5-(2a-4)|=6，
解得a=1或a=5，
∴点M的横坐标是1或5．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，用含a的代数式表示出MN的长是解题的关键．
10．(2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末)如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：

(1)点A、B、C的坐标；
(2)这个反比例函数的表达式；
(3)这个一次函数的表达式．
【答案】(1)A(-1，0)，B(0，1)，C(1，2)
(2)
(3)y＝x+1
【解析】
【分析】
(1)由OA＝OB＝OD＝1求出A(-1，0)，B(0，1)，进而求出直线AB的解析式，再将x=1代入直线AB解析式中求出C坐标；
(2)将C点坐标代入中即可求出反比例函数解析式；
(3)由(1)中A(-1，0)，B(0，1)即可求解．
(1)
解：∵OA＝OB＝OD＝1，
∴A(-1，0)，B(0，1)，代入直线AB解析式y＝kx+b中，
∴，
解得：，
∴直线AB解析式的为y＝x+1，
将x=1代入y＝x+1中，得到y=2，
∴C(1，2)．
(2)
解：将C(1，2)代入中，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
(3)
解：由(1)中A(-1，0)，B(0，1)求得直线AB的解析式为y＝x+1，
故一次函数的解析式为：y＝x+1．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点及待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
11．(2022·江苏溧阳·八年级期末)如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD与x轴的交点，连接CF．

(1)点C坐标为____________；
(2)求直线AD的函数表达式_______________________；
(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．
【答案】(1)(10，)
(2)
(3)、
【解析】
【分析】
(1)根据点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，得出OA=8，OB=10，根据长方形AOBC，AC=OB=10，BC=OA=8，根据点C在第一象限，得出点C(10，8)即可；
(2)先根据勾股定理求出OE=，再利用勾股定理，列出方程，解方程得，然后利用待定系数法AD解析式为：即可；
(3)当CP1⊥AF时，△CP1F为直角三角形，直线CE与AF的交点为点P1，利用待定系数法CE解析式为，联立方程组解方程组得出点P1(8，4)，当CP2⊥CF时，△CFP2为直角三角形，连结P2E，可证P2E⊥OF，利用函数值求出点P2坐标即可．
(1)
解：∵点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，
∴OA=8，OB=10，
∵长方形AOBC，
∴AC=OB=10，BC=OA=8，
∵点C在第一象限，
∴点C(10，8)，
故答案为(10，8)；
(2)
解：∵将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，
∴AE=AC=10，ED=CD，
在Rt△AOE中，OE=，
∴EB=OB-OE=10-6=4，
∴设BD=m，
∴ED=CD=8-m，
在Rt△EBD中，，即，
解方程得，
∴点D(10，3)，
设AD解析式为：，代入坐标得：
，
解得，
∴AD解析式为：，
故答案为：；
(3)
当CP1⊥AF时，△CP1F为直角三角形，
∵点C关于AF的对称点为E，
∴直线CE与AF的交点为点P1，
设CE解析式为，代入坐标得

解得
∴CE解析式为
∴
解得，
∴点P1(8，4)
当CP2⊥CF时，△CFP2为直角三角形，
连结P2E，
∵AF为对称轴，
∴△FCP2≌△FEP2，
∴CF=EF，P2E⊥OF，
当x=6时，，
∴点P2(6，5)，
∴当△CFP是直角三角形时，点P的坐标为(8，4)或(6，5)．

【点睛】
本题考查矩形性质，图形与坐标，待定系数法求一次函数解析式，折叠性质，勾股定理，解二元一次方程组，求函数值，分类思想的应用使问题得以完整解决是解题关键．
12．(2021·辽宁沈阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于、两点，将沿直线折叠，使点落在点处．

(1)求点A和点B的坐标；
(2)求OC的长；
(3)若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时请直接写出直线的函数表达式．
【答案】(1)，
(2)
(3)点沿射线运动，与面积相等，直线的函数表达式为：或
【解析】
【分析】
(1)在中，令得，令得，即可得，；
(2)设直线与轴交于点，连接，在中，令得，得，即得，故，可得；
(3)分两种情况：①当在第一象限时，由与面积相等，得，即可得点的坐标为，，直线的解析式为：；②当在第二象限时，设点到轴的距离为，可得，可求得点的坐标为，直线的解析式为：．
(1)
解：在中，
令，则，
令，则，
，；
(2)
解：设直线与轴交于点，连接，如图：

在中，令得，
，
，
沿直线折叠，使点落在点处，
，
；
(3)
解：①当在第一象限时，如图：

与面积相等，
，
点的纵坐标为3，
当时，，
解得：，
点的坐标为，，
直线的解析式为：；
②当在第二象限时，如图：

，
设点到轴的距离为，
则

，
与面积相等，
，
解得，
点的横坐标为，
当时，，
点的坐标为，
直线的解析式为：；
综上所述，点沿射线运动，与面积相等，直线的函数表达式为：或．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法、三角形面积的计算等，解题的关键是掌握折叠的性质及根据已知列方程，求出到轴的距离．
13．(2022·福建宁德·八年级期末)如图，已知直线经过点，与x轴交于点B，点C在x轴上，且，直线与y轴交于点D．


(1)求点A，B的坐标；
(2)求直线的表达式；
(3)若点P是线段上的一点，求与面积之差的最大值．
【答案】(1)，
(2)直线的表达式为；
(3)△PBO与△PCO面积之差的最大值为12.
【解析】
【分析】
(1)将代入直线中，得出a值，即可求得点A坐标，令y=0，得x值，即可得到点B坐标；
(2)过A作AE⊥x轴于点E，则E(-2，0)，由等腰三角形三线合一性质，可得EC=8，进而OC=EC-OE=6，可得点C坐标，待定系数法即可求直线的表达式；
(3)过点P作PF⊥x轴于点F，连接PO、PB，可得S△PBO- S△PCO=2PF，当点P与A重合时，PF最大，即可求得△PBO与△PCO面积之差的最大值.
(1)
解：将代入直线中，
得：=6，
，
令y=0，得=0，
解得x=-10，
，
即：，
(2)
解：过A作AE⊥x轴于点E，则E(-2，0)，


∵AB=AC，
∴EC=BE=(-2)-(-10)=8，
∴OC=EC-OE=8-2=6，
∴C(6，0)，
设直线的表达式为y=kx+b，
把、C(6，0)代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为；
(3)
解：过点P作PF⊥x轴于点F，连接PO、PB，


∵S△PBO=OB·PF，S△PCO=OC·PF，
∴S= S△PBO- S△PCO=PF·(OB-OC)=×(10-6)·PF=2PF，
∵点P在线段AD上，
∴当点P与A重合时，PF=AE最大，
∴S最大=2×6=12，
因此△PBO与△PCO面积之差的最大值为12.
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、直线与坐标轴的交点、等腰三角形三线合一等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线．
14．(2022·广东紫金·九年级期末)如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线CD相交于点D，其中AC＝14，C(﹣6，0)，D(2，8)．

(1)求直线l的函数解析式；
(2)如图2，点P为线段CD延长线上的一点，连接PB，当△PBD的面积为7时，将线段BP沿着y轴方向平移，使得点P落在直线AB上的P'处，求点P′到直线CD的距离；
(3)若点E为直线CD上的一点，则在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线l的函数解析式为
(2)点到直线的距离为
(3)存在点或或或，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【解析】
【分析】
(1)用待定系数法即可求解；
(2)由△PBD的面积求出点P的坐标，进而求出点P'( 5, 4)，构建△P' DN用解直角三角形的方法即可求解；
(3)分AD是菱形的边、AD是菱形的对角线两种情况，利用图象平移和中点公式，分别求解即可．
(1)
解：∵，点A在点C右侧，
∴．
∵直线l与直线相交于点，
∴解得   
∴直线l的函数解析式为．
(2)
解：如图1，过点P作轴于点N，作轴，交于点，过点作于点M，过点D作轴于点E，设与y轴交于点F，

设直线的解析式为，
∵，
∴
解得
∴直线的解析式为．

∴．
∴
∵，
∴
∵直线l的解析式为，
∴．
∴．
∴．
设，
∵，
∴，即，解得．
∴．
∵将线段沿着y轴方向平移，使得点P落在直线上的处，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，

∴是等腰直角三角形．
∴，即点到直线的距离为．
(3)
解：①如图2，当、为边时，

∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为．
∵，
∴，解得．
∴直线的解析式为．
设，
∴，
解得．
∴．
当、为边时，
∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．
∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为．
∵，
∴-，解得．
∴直线的解析式为．
设，
∴，
解得或(舍去)，
∴．
②如图3，当为对角线时，则．

由①得直线的解析式为．
设，
∵，
∴，
解得．
∴．
综上所述，存在点或或或使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、 面积的计算等，分类求解解题的关键．
15．(2022·浙江·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，过点B(﹣6，0)的直线AB与直线OA相交于点A(﹣4，2)，动点N沿路线O→A→C运动．

(1)求直线AB的解析式；
(2)求OAC的面积；
(3)当ONC的面积是OAC面积的时，求出这时点N的坐标．
【答案】(1)
(2)12
(3)N1(﹣2，1)或N2(﹣2，4)
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式；
(2)求得的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解；
(3)当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标．
(1)
解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：；
(2)
解：在中，
令，解得：，
；
(3)
解：设的解析式是，则，
解得：，
则直线的解析式是：，
当的面积是的面积的时，
的横坐标是，
在中，当时，，则的坐标是；
在中，当时，，则的坐标是．
综上所述，的坐标是：或．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了一次函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出符合的所有情况也是解(3)的关键．
16．(2022·浙江·九年级专题练习)如图，直线l1的函数表达式为y＝x+2，且l1与x轴交于点A，直线l2经过定点B(4，0)，C(﹣1，5)，直线l1与l2交于点D．

(1)求直线l2的函数表达式；
(2)求△ADB的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使△CDE的周长最短？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x+4
(2)S△ADB=6
(3)存在，E的坐标是(，0)
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法即可直接求得l2的函数解析式；
(2)首先解两条之间的解析式组成的方程组求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
(3)求得D关于x轴的对称点，然后求得经过这个点和C点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
(1)
解：设l2的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，解得：，
则函数的解析式是：y=-x+4；
(2)
解：在y=x+2，中令y=0，解得：x=-2，则A的坐标是(-2，0)．
解方程组，得：，
则D的坐标是(2，2)．
则S△ADB=×6×2=6；
(3)
解： D(2，2)关于x轴的对称点是D′(2，-2)，
则设经过(2，-2)和点C的函数解析式是y=mx+n，
则，
解得：，
则直线的解析式是y=-x+．
令y=0，-x+=0，解得：x=．
则E的坐标是(，0)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积以及对称的性质，正确确定E的位置是本题的关键．
17．(2022·江苏宜兴·八年级期末)已知：如图，一次函数的图像分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过x轴负半轴上的点C的一次函数y＝kx＋b的图像相交于点D，直线CD与y轴相交于点E，E与B关于x轴对称，OA＝3OC．

(1)直线CD的函数表达式为______；点D的坐标______；(直接写出结果)
(2)点P为线段DE上的一个动点，连接BP．
①若直线BP将△ACD的面积分为两部分，试求点P的坐标；
②点P是否存在某个位置，将△BPD沿着直线BP翻折，使得点D恰好落在直线AB上方的坐标轴上？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(-4，-6)
(2)①点坐标为或；②存在，点坐标为或
【解析】
【分析】
(1)由求出与的交点坐标，进而得到E，C两点坐标，然后代入，求解的值，进而可得直线CD的函数表达式；D点为直线AB与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
(2)①分情况求解：情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M，将代入求解得到点M的坐标，根据，求解的值，进而得到点坐标；情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G ，根据，解得的值，得到点坐标，设直线的解析式为，将B，G点坐标代入求解的值，得直线的解析式，P为直线与直线CD的交点，联立方程组求解即可．
②分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上(记为)时，作DH⊥y轴于点H，BH＝OB＝3，由翻折可知，，证明 ，，可得，PB∥x轴，可得P点纵坐标，代入解析式求解即可得点的坐标；情况二，如图4，当D落在y轴上(记为)时，作PM⊥BD，PN⊥OB，由翻折可知：，证明，有PM＝PN，由，，，解得的值，将代入中得的值，即可得到点坐标．
(1)
解：将代入得
∴点B的坐标为
将代入得，解得
∴点A的坐标为
∴由题意知点E，C坐标分别为，
将E，C两点坐标代入得
解得：
∴直线CD的函数表达式为；
联立方程组
解得
∴D点坐标为；
故答案为：；．
(2)
①解：分情况求解，情况一，如图1，当P在CD上，设，过B作轴交CD于点M


∴将代入中得
解得
∴点M的坐标为
由题意得
∴
解得
∴点坐标为；
情况二，如图2，当P在CE上，设PB与x轴交于G


由题意知：
解得
∴点坐标为
设直线的解析式为
将B，G点坐标代入得
解得
∴直线的解析式为
联立方程组
解得
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
②解：分情况求解：情况一，如图3，当D落在x轴上(记为)时，作DH⊥y轴于点H


∴BH＝OB＝3
由翻折可得：，
∵°
在和中

∴
∴
∵
∴
∴°
∴PB∥x轴
∴P点纵坐标为
将代入中得
解得
∴点的坐标为；
情况二，如图4，当D落在y轴上(记为)时，作PM⊥BD于M，PN⊥OB于N


由翻折可得：
在和中

∴
∴PM＝PN
∵，，
∴解得
将代入中得
解得
∴点坐标为；
综上所述，存在点，且点坐标为或．
【点睛】
本题考查了一次函数的解析式，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组．解题的关键在于对知识的灵活运用．
18．(2022·辽宁龙港·八年级期末)如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(4，0)，(0，4)，P为线段AB上的一点．

(1)如图1，若S△AOP＝6，求点P的坐标．
(2)如图2，若P为AB的中点，点M，N分别是OA，OB边上的动点，点M从顶点A出发向点O运动，点N从顶点O同时出发向点B运动，且它们的速度都为1单位长度/秒，在点M，N运动的过程中，探究线段PM，PN之间的关系并证明．
(3)如图3，若P为线段AB上异于A，B的任意一点，过点B作BD⊥OP，分别交OP、OA于F，D两点，E为OA上一点，且∠PEA＝∠BDO，探究线段OD与AE的关系并说明理由．
【答案】(1)(1，3)
(2)PM=PN，PM⊥PN，证明见解析
(3)OD=AE，见解析
【解析】
【分析】
(1)用待定系数法求出直线AB的解析式，设点P的坐标为(m，n)，由已知面积及点P在直线AB上，即可求得m与n的值，从而求得点P的坐标；
(2)连接OP，由等腰直角三角形的性质及已知条件可得△APM≌△OPN，由全等的性质可得PN与PM的关系；
(3)作∠AOB的平分线交BD于点G，先证明△BGO≌△OPA，再证明△OGD≌△APE即可．
(1)
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)
把A、B两点的坐标代入得：
解得：
即直线AB的解析式为y=−x+4
设点P的坐标为(m，n)，则n=−m+4
∵OA=4，
∴n=3，即−m+4=3
∴m=1，n=3
即点P的坐标为(1，3)
(2)
PM=PN，PM⊥PN
理由如下：
连接OP，如图
由题意知，AM=ON
∵OA=OB=4，OA⊥OB
∴∠MAP=45゜
∵P为AB的中点   
∴OP⊥AB，且OP=PA=PB，∠NOP=45゜
∴∠MAP=∠NOP
在△APM与△OPN中

∴△APM≌△OPN(SAS)
∴PM=PN，∠NPO=∠MPA
∵∠OPA=∠OPM+∠MPA=90゜
∴∠NPM=∠NPO+∠OPM=∠MPA+∠OPM=90゜
∴PM⊥PN
即PM与PN的关系为：PM=PN，PM⊥PN

(3)
OD=AE
作∠AOB的平分线交BD于点G，如图

则∠BOG=∠GOD=45゜
∴∠BOG=∠OAP=45゜
∵BD⊥OP，OB⊥OA
∴∠AOP+∠BOF=∠BOF+∠OBG=90゜
∴∠OBG=∠AOP
在△BGO与△OPA中

∴△BGO≌△OPA(ASA)
∴OG=AP
在△OGD与△APE中   

∴△OGD≌△APE(ASA)
∴OD=AE
【点睛】
本题考查了求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，构造适当的辅助线证明三角形全等是问题的关键．
19．(2022·四川简阳·八年级期末)如图，已知直线y=x-2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y=kx(k＜0)交AB于点D．

(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF=AE时，
①求EF的长；
②在x轴上找一点P，使PE+PD的值最小，求出P点坐标．
(3)如图2，若k＝﹣，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在坐标平面内是否存在点M，使△BCM是以BC为腰的等腰直角三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)A(2，0)，B(0，-2)；
(2)①EF=；②P(，0)；
(3)M点坐标为(2，-)或(-2，-)或(，)或(-，-)．
【解析】
【分析】
(1)令x=0，求B点坐标，令y=0，求A点坐标；
(2)①过F点作FW⊥y轴交于点W，证明△AOE≌△OWF(AAS)，即可求F点坐标，从而可求EF；
②作E点关于x轴的对称点E'，连接E'D交x轴于点P，当E'、D、P三点共线时，PE+PD的值最小，再由F(1，-2)在直线OG上，求出GO的直线解析式y=-2x，联立可求D点坐标，再求直线E'D的解析式，即可求点P的坐标；
(3)由题意求出点C坐标，设M(x，y)，分两种情况讨论：①以B为直角顶点时，BC=BM，过点B作y轴的垂线，过C、M分别作x轴的垂线，两垂线交于点P、Q，由△BCP≌△MBQ(AAS)，求M点的坐标；②以C为直角顶点时，BC=CM，过点C作x轴的垂线，过B、M分别作y轴的垂线，两垂线交于点R、S，由△BCS≌△CMR(AAS)，求M点的坐标．
(1)
解：令x=0，则y=-2，
∴B(0，-2)，
令y=0，则x=2，
∴A(2，0)；
(2)
解：①∵点E是线段OB的中点，
∴E(0，-1)，
如图，过F点作FW⊥y轴交于点W，

∵OG⊥AE，
∴∠AOF+∠OAE=90°，
∵∠AOF+∠EOF=90°，
∴∠OAE=∠EOF，
∵OF=AE，
∴△AOE≌△OWF(AAS)，
∴OE=FW=1，OA=OW=2，
∴F(1，-2)，
∴EF==；
②作E点关于x轴的对称点E'，连接E'D交x轴于点P，
∴EP=E'P，
∴PE+PD=PE'+PD≥E'D，
当E'、D、P三点共线时，PE+PD的值最小，
∵E(0，-1)，
∴E'(0，1)，
∵F(1，-2)在直线OG上，
∴直线OG的解析式为y=-2x，
联立，
∴x=，
∴D(，-)，
设直线E'D的解析式为y=k'x+b，
∴，
∴，
∴y=-x+1，
令y=0，则x=，
∴P(，0)；
(3)
解：存在，理由如下
∵k=-，
∴直线OG的解析式为y=-x，
∵BC∥OG，
∴BC的直线解析式为y=-x-2，
令y=0，则x=-，
∴C(-，0)，
设M(x，y)，
①如图1，以B为直角顶点时，BC=BM，
过点B作y轴的垂线，过C、M分别作x轴的垂线，两垂线交于点P、Q，

∵∠CBM=90°，
∴∠CBP+∠QBM=90°，
∵∠CBP+∠BCP=90°，
∴∠QBM=∠BCP，
∵BC=BM，
∴△BCP≌△MBQ(AAS)，
∴CP=BQ，PB=MQ，
∴CP=2=x，BP==2+y，
∴M(2，-)，
当点M在第三象限时，M1(-2，-)；
②如图2，以C为直角顶点时，BC=CM，
过点C作x轴的垂线，过B、M分别作y轴的垂线，两垂线交于点R、S，

∵∠BCM=90°，
∴∠RCM+∠SCB=90°，
∵∠RCM+∠RMC=90°，
∴∠SCB=∠RMC，
∵BC=CM，
∴△BCS≌△CMR(AAS)，
∴CS=RM，SB=RC，
∵C(-，0)，B(0，-2)，
∴S(-，-2)，
∴CS=RM=2，SB=RC=，
∴M(，)，
当点M在第三象限时，M2(-，-)；
综上所述，M点坐标为(2，-)或(-2，-)或(，)或(-，-)．
【点睛】
本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．